Теоретическая часть. Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x_n, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Число А называется пределом функции f(x) при х→х_0, если для ε>0 такое δ >0, что для всех х, удовлетворяющих условиям |х-х₀|<δ, х≠х₀, имеет место неравенство |f(x)-A|<ε.

В том случае, если последовательность {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Можно также находить пределы функции на бесконечности.

Определение.Число A называется пределом функции y=f(x) на бесконечности (или при х, стремящимся к бесконечности), если для всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.

рис.1

На рис.1 изображен график функции Видно, что ординаты изображающие значения функции, сколь угодно мало отличаются от числа 0 для любых достаточно больших значений х, т.е.

Замечание. Выражения вида 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥, являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Основные теоремы о пределах функции:

,

,

где c=const.

Первый замечательный предел функции:

Второй замечательный предел функции:

.

Удобно пользоваться также следующими следствиями замечательных пределов:

; , ;

; , .

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она непрерывна в некоторой окрестности точки х₀ (следовательно, и в самой точке х₀), существует предел функции при х→х₀ и он равен значению функции в этой точке:

.

Если равенство нарушено, то говорят, что при x = x_o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множествоR, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x_o)= f(0) не определено, поэтому в точке x_o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x_o, если

,

и непрерывной слева в точке x_o, если

.

Непрерывность функции в точке x_o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того чтобы функция была непрерывна в точке x_o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x_o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Точка х=х₀ называется точкой разрыв первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но различные одностороннее пределы. А разность называется скачком функции в точке х₀.

2. Точка х=х₀ называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке функция имеет равные между собой конечные пределы, но сама в этой точке либо принимает другое значение, либо вообще не определенна.

???3. Если равен ∞ или не существует, то говорят, что в точке x_o функция имеет разрыв второго рода.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Добавить неопределенность

Дата добавления: 2015-07-08