Теоретическая часть. В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, есть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1⁰. Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0. (1)

Вектор(А,В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю.

Частные случаи:

1) При А=0 имеем: By + C = 0 . Положим , получим y=b -- прямая параллельна оси Ox (рис.1)

2) При В=0 имеем: Ax + C = 0 Положим , получим - прямая параллельна оси Oy (рис.2)

Рис.1. рис.2.

3) При С=0 имеем: Ax + By = 0 или где - прямая проходит через начало координат; k-угловой коэффициент прямой. Он равен тангенсу углу наклона прямой к положительному направлению оси Ох.

.

рис.3.

4) При A=C=0, то y = 0 - ось Ox;

5) При B=C=0, то x = 0 - ось Oy.

2⁰. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y - y_o = k (x - x_o), (2)

где k - угловой коэффициент прямой, M(x_o,y_o) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

3⁰. Уравнение прямой в отрезках:

(3)

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат

Рис.4 Рис.5.

4⁰. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂ ), где .

Возьмем произвольную точку М(х;у) на прямой (рис.. Т.к. точки М, М₁, М₂ лежат на одной прямой, то векторы и коллинеарные. А из условия коллинеарности следует:

. (4)

5⁰. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(x₁, y₁) параллельно данному вектору .

Рис. 6 рис.7

На данной прямой возьмем произвольную точку М(х;у) (рис.6). Рассмотрим вектор . Т.к. векторы и коллинеарные, то имеем:

. (5)

6⁰. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(x₁, y₁) с заданным нормальным вектором:

(6)

Данное уравнение отражает условие перпендикулярности векторов и (рис. 7).

Величина угла между прямыми y = k₁x+b и y = k₂x+b₂ задается формулой:

.

Если даны общие уравнения прямых, то угол между ними находим по формуле

, (7)

где и --нормальные векторы прямых.

Взаимное расположение прямых:

Пусть даны уравнения прямых

A₁ x + B₁ y + C₁= 0, (8)

A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, (9)

Прямые (8) и (9) параллельны, или

пересекаются, или

задают одну и ту же прямую или

перпендикулярны или

Дата добавления: 2015-07-08