Теоретическая часть. Любой направленный отрезок называется вектором

Любой направленный отрезок называется вектором. Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Например, вектор или является нулевым.

Два вектора называется коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если направление коллинеарных векторов совпадают, то они называются сонаправленными. Если они противоположно направлены, то они называются противоположно направленными.

Суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец --с концом второго вектора, при условий, что начало второго, перенесено в конец первого (рис 1). Можно также сложить два вектора способом параллелограмма (рис 3).

Сложение более двух векторов производится по так называемому правилу многоугольников. Суммой нескольких векторов называется вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго вектора (рис 2).

рис.1 рис. 2

Разностью векторов и называется сумма векторов и ,т.е. .

Свойства суммы векторов:

1. --переместительный закон;

2. --сочетательный закон;

3. .

рис. 3 рис. 4

Вектор можно умножить (и разделить) на скаляр. При этом модуль вектора соответственно умножается (делится) на данное число, а направление результирующего вектора определяется знаком множителя (делителя): если множитель положительный, то направление вектора сохраняется, а если множитель отрицательный, то направление вектора меняется на противоположное.
На рисунке 5 изображён результат умножения вектора на 2: направление вектора не изменилось, модуль увеличился в 2 раза. При делении вектора на

-2 его направление изменилось на противоположное, а модуль уменьшился в два 2 раза.

Рис 5.

Произведением вектора на вещественное число k называется вектор , который имеет длину , и коллинеарен вектору , при этом если k>0, то векторы и ; а если k<0, то векторы и противоположно направлены.

Свойства умножения векторов:

1. --переместительный закон (коммутативность);

2. --сочетательный закон (ассоциативность);

3. --распределительный закон (дистрибутивность).

Любой вектор на плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов и , т.е. .

Упорядоченная пара неколлинеарных векторов и на плоскости называется векторным базисом.

Числа x и y называются координатами вектора в базисе .

В пространстве понятие вектора вводится, так же как и на плоскости. Введем новое понятие - компланарные векторы.

Определение:Три и большее число ненулевых вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат на прямых, параллельных одной плоскости.

Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки и левую, если по часовой стрелке. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Вектор. Базис и координаты. Тройка некомпланарных векторов вR³ называется базисом, а сами векторы - базисными. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде

числа x₁, x₂, x₃ в разложении (1.1) называются координатами вектора в базисе и обозначаются (x₁, x₂, x₃).

Вектор. Ортонормированный базис. Если векторы попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x1, x2, x3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать .

Будем предполагать, что в пространстве R³ выбрана правая система декартовых прямоугольных координат .

Пусть даны вектора ,

· Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов, т.е.

(1)

· Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов

(2)

· Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.

(3)

Запомните, также, что

- координаты нулевого вектора равны нулю

- координаты равных векторов соответственно равны:

Длину вектора можно вычислить по формуле (4)

Рассмотрим точки A₁ (x₁; y₁; z₁) и A₂ (x₂; y₂; z₂) и найдем расстояние между этими точками.

Расстояние между точками A₁ и A₂ можно вычислить по формуле

(5)

Если нужно найти координаты вектора , то можно пользоваться формулой (5), т.е

(5)^/

или же сначала найти координаты вектора по формуле , а затем воспользоваться формулой (4).

Пусть даны точки А(х₁;у_1;z₁), B(x₂;y₂;z₂), а т.С(х;y;z) является серединой отрезка АВ, тогда

(6).

Координаты точки М, делящей в заданном отношении λ отрезок АВ, находится по формулам:

,

где .

Если λ=1, то получим формулу (6).

Скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними:

(7)

· Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

· Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

· Скалярное произведение двух векторов , и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле (8)

Перечислим основные свойства скалярного произведения

Для любых векторов , и и любого числа λ справедливы равенства:

1. причем ;

2. (переместительный закон).

3. (распределительный закон).

4. (сочетательный закон).

Найдем теперь угол между векторами через их координаты. Мы знаем, что

, откуда . Учитывая имеем

(9)

Рассмотрим два произвольных вектора: и

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами:

1. Его длина равна

2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и

3. Векторы , и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается квадратными скобкамиили

Свойства векторного произведения:

· векторное произведение произвольного вектора на нулевой вектор равно нулевому вектору;

· векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулевому вектору;

· координаты векторного произведения векторов и следующие

·

· Если векторы и коллинеарные, то и [ ] = 0, в частности, [ ] = 0. Векторные произведения ортов: , , .

Если векторы и заданы в базисе координатами ,

, то

(10)

Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах и применяется формула

.

Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов и скалярноумножается на третий вектор , то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом

.

Если векторы , и в базисе заданы своими координатами
(a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃), (c₁, c₂, c₃), то

(11)

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка
, , - левая, то <0 и V = - , следовательно, ê.

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах , и равен:

.

Практическая часть

Пример 1. Зная векторы ивычислите длину высоты AD треугольника ABC.

Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:
. Тогда , где .

Рис.

Площадь можно найти также по формуле

Как видим из рисунка значит, вектор имеет координаты

,

, откуда .

Пример 2.

Даны координаты вершины пирамиды DАВС. A(5;1;-4), B(1;2;-1), C(3;3;-4), D(2;2;2). Найдите:

1. длины ребер пирамиды AB, DB.

2. углы треугольника ABC;

3. площадь основания;

4. объём пирамиды;

5. высоту пирамиды

Решение.

1. Используем формулу (5)

(можно также применить формулу (5)^/)

2. Найдем координаты векторов .

Воспользуемся формулой (9)

Аналогично находятся остальные углы треугольника:

,

Угол С найдите самостоятельно.

3. Зная, что площадь треугольника ABC равняется половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , имеем .

4. Находим объём пирамиды: ;

Согласно формуле (12) имеем:

.

5. Т.к. объём пирамиды V есть , то .

Дата добавления: 2015-07-08