Теоретическая часть. От алгебраической формы z=a+bi комплексного числа можно перейти к тригонометрической

От алгебраической формы z=a+bi комплексного числа можно перейти к тригонометрической

z=r(cos φ+i sin φ), (1)

и показательной

(2)

где – модуль комплексного числа, длина соответствующего ему вектора ;

Множество всех чисел z, для которых , представляет собой круг радиусом r с центром в начале координат.

Множество всех чисел z, для которых , представляет собой окружность радиусом r с центром в начале координат.

φ – аргумент комплексного числа (угол, который образует вектор с положительным направлением оси абсцисс).

(2)

Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме:

z₁= r₁(cos φ₁+i sin φ₁); z₂= r₂(cos φ₂+i sin φ₂).

1) При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

z₁z₂=r₁r₂[cos(φ₁+φ₂)+i sin(φ₁+φ₂)].

2) При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

z₁/z₂=r₁/r₂[cos(φ₁-φ₂)+i sin(φ₁-φ₂)].

3) При возведении комплексного числа в степень n модуль этого числа возводится в степень n, а аргумент умножается на n.

zⁿ=rⁿ(cos φn+i sin φn).

Данная формула называется формулой Муавра.

4) Для любого z≠0 извлечение корня n-й степени, n≥2, из числа z всегда возможно и имеет n различных значений.

,

где k=0, 1, 2,…, n-1.

Дата добавления: 2015-07-08