Матрицею наз. прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпців. ЇЇ можна скласти з сис-ми:

Коефіцієнти при невідомих і утворюють ел-нти матриці.

Матриця, що має m рядків, n стовпців m≠n наз. прямокутною.

Рангом матр. наз. найбільший х порядків її мінорів, що не дор. 0. Щоб знайти ранг матр. використовують метод обвідного мінора. Це такий мінор (k+1)-го порядку, яктй повністю містить у собі мінор k-того порядку.

Сумою матриць і є матриця з елементами

Операція додавання матриць можлива лише для матриць однакового розміру.

Добутком матриці на число є матриця з елементами .

Добутком матриці розміру на матрицю розміру є матриця , розміром , елементи якої обчислюються за формулою

Операція множення двох матриць можлива лише за умови, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці . Операція множення матриць не комутативна, тобто при множенні матриць не можна міняти місцями множники:

22.

Вектором наз. напрямлений відрізок. Вектор, в якого початок і кінець збігаються, наз нульовим вектором. Два вектори наз. колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Добутком на число λ наз. вектор

= λ| |.

Сумою векторів і наз. , який має початок спільний з початком і , є діагоналлю паралелограма, побуд. на і .

18.

1. Відстань між двома точками.

Нехай задано дві точки

М₁(х₁;у₁) і М₂(х_2;у₂).

|М₁К|=|x₁-x₂|, |M₂K|=|y₂-y₁|. Трикутник М₁М₂К- прямокутний, тому за т. Піфагора:

2. Поділ відрізка у заданому відношенні.

Число λ- наз. віднош., в якому точка М ділить відрізок М₁ М₂. Нехай задано λ, треба знайти координати М(х,у).З теореми про пропорційні відрізки, що відтинають паралельні прямі на сторонах кута, випливають у співвідн.: .

Оскільки числа і одного і того самого знака, то , х= . Аналогічно знах. координати у.

3. Площа трикутника.

Нехай задано координати вершини деякого т-ка А(х₁;у₁), В(х_2;у₂), С(х₃;у₃). Знайдемо площу як

= = = Записавши у вигляді визначникка дістанемо остаточну ф-лу:

20.

Проекцією вектора на вісь l наз. довжина A’B’ напрямленого відрізка на осі l. Познач. пр_l . Знах. за ф-лою пр_l =| |cosφ.

Проекція суми двох векторів на вісь дор. сумі їхніх проекцій на цю вісь. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також множиться на це число.

Нехай задано деяку пряму. Точка М (х, у) лежить на прямій тоді і тільки тоді, коли виконується умова: . Позначимо tgα=k і назвемо кутовим коефіцієнтом прямої лінії, тоді, враховуючи, що NM=y-b, BN=x, маємо р-ня прямої з кутовим коеф. y=kx+b.

Зі зміною кут. коеф. утв. різні прямі, що прох. через т. М₁ (х₁, у₁).

у-у₁=k(x-x₁)- р-ня в’язки прямих.

24.

Розглянемо дві прямі l₁: y=k₁x+b₁ I l₂: y=k₂x+b₂. Кутом між прямими l₁і l₂ наз. кут φ, поворот на який від першої прямої до другої відносно точки їх перетину до суміщення цих прямих відбувається на найменший кут проти год. стрілки. Але кут між l₁ і l₂ не дор. куту між l₂ і l₁. Маємо . Тому кут φ – це кут між l₁ і l₂, то кут між l₂ і l₁дор. π-φ. Можна дістати умови паралельності і перепенд. Коли l₁||l₂, кут φ між ними дор. 0. tg φ = 0a k₁=k₂. Якщо l₁^l₂, φ=

Підставляючи кут. коеф. маємо:

мал.

21.

Скалярним добутком двох ненульових векторів і наз. число, яке дор. добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

1. = ۠

5. =0

Векторним добутком вектора вектор наз. вектор , якщо довжина вектора , вектор перпенд. Д кожного з векторів і , вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори, то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти год. стрілки.

1. =0

2. =-

3. (λ )=λ()

Мішаним добутком векторів , , наз. таке число, яке дор. скал. добутку вектора на векторний добуток і .

2. = -

32.

33.

25.

У прямокутній сис-мі координат пряма лінія задається р-ням першого степеня відносно х і у. Загальне р-ня прямої лінії

Ax+By+C=0. Дослідимо це р-ня.

1. С=0, А≠0, В≠0, Ах+Ву=0, визначається як пряма, що проходить через початок координат.

2. В=0, А≠0, С≠0, тоді Ах+С=0, або

, де а- довжина відрізка, що його пряма відтинає на осі Ох, а сама вона розміщена паралельно осі Оу.

3. А=0, В≠0, С≠0, тоді Ву+С=0, або

, де b- довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Ох.

26.

Нехай деякі точки М₁(х₁;у₁) і М₂(х_2;у₂) належать прямій, тоді

У₁=kx₁+b, у₂=kx₂+b. Знайдемо з цього р-ня значення b і, підставивши його в р-ня прямої дістанемо:

у-у₁=k(x-x₁), у₂-у₁=k(х₂-х₁). Знайдемо значення k з останнього співвідношення і, підставивши його в р-ня прямої, дістанемо:

. Це і є р-ня прямої, що проходить через дві точки.

Щоб побуд. графік прямої, дост. знати дві її різні т. і провести через них пряму. Якщо пряма перетин. Осі корд. У т. М₁(а;0), М₂(0;b), a≠0, b≠0, то можна записати р-ням

- р-ня прямої у відрізках

28.

Нехай задано деяку точку М₀(х₀;у₀) і пряму l: Ах+Ву+С=0. Пересвідчимось, що М₀ не лежить на прямій, Ах₀+Ву₀+С≠0, тоді відстань від точки М₀(х₀;у₀) до прямої Ах+Ву+С=0 можна знайти за ф-лою:

29.

Колом наз. множина точок, що містяться на однаковій відстані від заданої точки – центра.

МАЛ

Піднісши обидві сторони до квадрата, маємо:

=R².

(a, b)-координати центра кола, R- радіус.

30.

Еліпсом наз. множина точок, для яких сума відстаней двох заданих точок, що наз. фокусами, є величина стала й така, що дор. 2а і більша, ніж відстань між фокусамми.

Ексцентрист еліпса- це відношення

, а- велика піввісь еліпса.

, то . З останньої рівності випливає геом.. зміст ексц., який полягає в тому, що він характеризує ступінь витягну тості еліпса.

Гіперболою наз. множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох заданих точок (фокусів), є величина стала, яка дор. 2а і менша за відстань між фокусами.

Параболою наз. множина точок площини, що містяться на однаковій відстані від даної точки фокуса і даної прямої, яка не проходить через фокус.

, або

31.

Загальне р-ня площини:

Ax+By+Cz+D=0, де D= - Ax₀-By₀-Cz₀.

Розглянемо тепер, як розміщена площина α відносно сис-ми Оxyz залежно від значень коефіцієнтів у р-ні.

1. Нехай D=0. Р-ня набуде вигляду

Ax+By+Cz=0. Точка О (0;0;0) задовольняє р-ня, тобто належить площині. Це означає, що площина проходить через поч. координат.

2. Нехай С=0, А≠0, В≠0, D≠0. Тоді

Ax+By+D=0. Нормальний вектор перпендикулярний до осі Оz, оскільки його проекція на цю вісь дор. 0. Отже, площина α паралельна цій осі. Якщо ще й D=0, то площина Ах+Ву=0 містить вісь Оz.

3. Нехай А=В=0, С≠0, D≠0. Тоді площина Cz+ D=0 паралельна відразу осям Ох і Оу і перпендикулярна до осі Оz.

34.

Формула від точки М₀(х₀,у_о,z_o) до площини Ax+By+Cz=0. Вона набирає вигляду:

35.

Нехай у сис-мі координат Оxyz задано пряму l і ненульовий вектор , колінеарний цій прямій. Точка М₀(х₀,у_о,z_o) належить прямій, а напрямний вектор =(m, n, p). Тоді довільна точка М(х, у,z) лежатиме на прямій тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні:

38.

Числова функція у=ƒ(n), область виз-ня якої є множина нат. ряду чисел, наз. числ. послідовністю і позн. х_n= ƒ(n).

Число а наз. границею послідовн. х_n, якщо викон. для будь-якого ε>0, яке б мале воно не було, існує номер N такий, що для всіх номерів n>N викон. нер-сть | х_n-a|< ε. Позн. .

60.

Диференціалом ф-ції наз. головна лін. частина приросту ф-ції Dу відносно Dх. Познач. dy або (d f(x)). Отже, за означ. dy=y’(x)* Dx.

61.

1.У=с; dy=0;

2. y=uv, dy=udv+vdu;

3. y=u+v, dy=du+dv;

4. y=u/v….

39.

Послідовність і наз. збіжною, якщо вона має границю (скінченну). Властивості:

Теорема 1. Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Теорема 2. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 3. Якщо і , то існує такий номер N, що при всіх n>N виконується нерівність .

40.

Послідовність α_n наз. неск. малою величиною, якщо для будь-якого з скільки завгодно малого ε>0 знайд. такого натур. N= N(ε), що для всіх n>N викон нерівність |α_n|<ε, тобто

Теорема 1. Сума двох н.м.в. є н.м.в.

Теорема 2. добуток обмеженої величини на н.м.в. є н.м.в.

Теорема 3. Добуток двох н.м.в. є н.м.в.

Теорема 4. Для існування границі ф посл. х_n необ. і достатньо, щоб послідовність α_n=х_n-а була н.м.в.

Посл. х_n наз. н.в.в., якщо для будь-якого числа 0<M<+¥, яке б велике воно не було, існує номер N, такий, що при всіх n>N викон. нерівність |x_n|>M.

Теорема. Зв'язок між н.м.в. і н.в.в.

1.Якщо α_n-н.м.в. і α_n≠0, то обернена до неї посл. буде н.в.в., і навпаки.

2. Якщо у_n – н.в.в., то обернена до неї .

43.

Число А наз. границею ф-ції у=ƒ(х) при х®а, якщо для довільного як завгодно малого числа ε>0 знайд. таке відємне число М, що для всіх х<М справдж. нерівність ,позн. (ƒ)=А.

Теорема 1. Границя сталої величини дор. сталій, тобто .

Теорема 2. Границя суми 2 фун-ій дор. сумі їх границь, якщо вони існують.

Теорема 3. Границя добутку скінч. числа ф-цій дор. добутку їх границь, якщо вони існують.

Теорема 4. Гр. частки 2 ф-цій дор. частці від ділення їхніх гр., якщо ост. існують і гр. знамен. ≠0.

41.

Теорема 1. Якщо для будь-якого n викон. нерівність x_n£y_n і x_n,y_n – збіжні, то .

Теорема 2. Якщо для будь-якого n і , то є

Теорема 3. Якщо монотонно зростаюча посл. обмежена зверху, то вона збіжна, якщо монотонно спадна посл. обмежена знизу, то вона збіжна.

44.

Невизнач. виду , що задана відношенням многочленів розкрив. діленням многоч. в чисел. і знамен. на х-х₀ і скороч. на нього. Для іррац. виразу треба позбут. іррац.

Невизн. виду , що задана відношенням степен. (показн.) ф-цій, розкр. діленням на змінну, яка має найвищ. степінь.

Невизн. виду , зводиться до невизн. виду , .

46.

Н.м.в. α(х) і β(х) наз. н.м.в. одного порядку мализни при х®а, якщо .

Н.в.в α(х) наз. н.в.в. вищого порядку малості порівняно з н.в.в. β(х) при х®а, якщо

Дві н.в.в. α(х) і β(х) наз. еквівалент. при х®а, якщо

45.

Перша особлива границя

Наслідки:

Друга особлива границя:

Наслідки:

47.

Функція у=ƒ(х) наз. неперервна в т. х₀, якщо ф-ція визначена в т. х₀ і в деякому околі, якщо існують одностор границі справа і зліва, рівні між собою, гр. ƒ(х) при х®х₀ дор. знач. ф-ції в т. х₀, тобто дор. ƒ(х₀), якщо в цій т. нескінч. малому

приросту аргум. Відповідає нескінч. малий приріст ф-ції:

48.

Теорема 1. Якщо ф-ція ƒ(х) і g(х) неперервні в т. х₀, то у цій точці будуть неперервними ф-ції ƒ(х) ±g(х), ƒ(х)۠g(х), ƒ(х)/g(х), в остан. Випадку за умови, що g(х₀)≠0.

Теорема 2. Якщо ф-ція у=F(u) – неперер. для uÎU, ф-ція u=φ(х) – неперер. для хÎХ і знач. ф-ції φ(х) ÎU, то скл. ф-ція у= F(φ(х)) – непер. для всіх хÎХ.

Теорема 3 (Коші). Якщо ф-ція у=ƒ(х) непер. на закр. проміжку [a;b] і на кінцях проміжку набуває знач. різних знаків, тоді на відкритому проміжку (а;b) існує така т. х=с, що ƒ(с)=0

Мал.. ст. 177

Теорема 4. (Вейєрштрасса). Якщо ф-ція у=ƒ(х) неперер. на закр. пром. [a;b], то вона набуває на цьому пром. своїх найб. й намен. значень.

49.

Ф-ція у=ƒ(х) наз. розривною в т. х₀, якщо поруш. хоча б одна умова з умов р-сті:

Розр. т. розриву 1-ого, 2-го роду. Розриви 1-го роду бувають усувні і неусувні, розриви 2-го неусувні.

Т. розриву І роду, якщо одност. гр. існують, але не рівні між собою або не дор. зн-ню ф-ції в точці. Т х₀ усувного розриву відзнач. тим, що існує ,але

у=ƒ(х₀) ≠А.

т. ІІ роду наз., якщо в цій т. не існує хоча б одна з остор. гр.

51.

Похідною ф-ції у=ƒ(х) за аргум. Х наз. гр. віднош. приросту ф-ції до приросту аргум., коли приріст аргум. прямує нулю.

52.

Теорема 1. Похідна сталої дор. нулю, тобто якщо у=с, де с=const, то у’=0.

Теорема 2. Похідна алг. суми скінч. числа диф. ф-цій дор. алг. сумі похідних ф-цій:

Теорема 3. Похідна від добутку двох диф. ф-цій обч. за ф-лою:

(uv)^`=u^`v+uv^`.

Теорема 4. Похідна частки двох диф. ф-цій обч. за ф-лою:

53.

Похідна оберненої ф-ції х=φ(х) по змінній у дор. оберненій величині похіднох від прямої ф-ції у=ƒ(х): .

55.

Р-ня дотичної:

Нормаллю до ф-ції в т. М₀, знаходимо кут. коеф. нормалі . і запис. У вигляді ф-ли:

57.

Для знах. пох. ф-ції у, заданої неявно, дост. продиф. обидві част. р-ня, розгл. у як ф-цію від х, а потім із здобут. р-ня знайти пох. у’.

58.

Нехай є степ.-показн. ф-ція. Прологарифмуємо ліву і праву частину. . .Продиф. праву і ліву част.

59.

Еластичність ф-ції визн. за ф-лою:

62.

Пох. І порядку від пох. І порядку наз. пох. ІІ порядку. Познач. y’’. f’’(x).

Пох. n-ого порядку наз. пох. від пох. (n-1)-ого порядку y⁽ⁿ⁾=(y⁽ⁿ^-1))^’. Нехай ф-ція у’=f(x) диф на відрізку [a;b], тоді вона має диференціал. Дифер. n-го поряку dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

63.

Теорема Ферма

У=f(x) неперер. на {a;b} і набуває його набіл. чи найменш. знач. сÎ{a;b} якщо в т. с існує похідна, то вона дор. 0. В т. с дотична паралельна до Ох.

Теорема Ролля

Якщо ф-ція f(x) неперер. на [a;b], диф. у всіх точках відрізку, на кінцях відрізку набуває однакових знач., f(a)=f(b), то всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка с, в якій аохідна дор.0.

Теорема Лагранжа

Якщо ф-ція f(x) неперер. на [a;b], диф. у всіх точках відрізку, то всередині інтервалу знайд. така т. с.

Теорема Коші

Якщо f(x) i φ(x) неперер. на [a;b], диф. у всіх точках відрізку, при чому φ(x)≠0 всередині інтервалу ≠0, тоді знайд. така т. с.

64.

Границя відношень двох н.м. або н.в.ф. дорю границі віднош. їхніх пох., якщо ост. існує.

Якщо φ’(x) і ψ’(x) при х®а прямують одночасно до 0 або ¥, то правило заст. ще раз.

65.

67.

Теорема 1.

1.Якщо диф. ф-ція зростає на деякому проміжку,то пох. цієї ф-ції невідємна на цьому проміжку.

2. Якщо диф. ф-ція спадає на деякому проміжку, то пох. цієї ф-ції недодатна на цьому проміжку.

Теорема 2.

1.Якщо пох. диф. ф-ції додатна всередині деякого проміжку, то ф-ція зростає на цьому проміжку.

2. Якщо пох. диф. ф-ції відємна всередині проміжку, то ф-ція спадає на цьому проміжку.

68.

При значенні х₁ аргументу х ф-ція f(x) має максимум f’(x₁), якщо в деякому околі точки х₁ викон. нерівність f(x₁)>f(x)(x≠x₁). При знач. х₂ аргументу х ф-ція f(x) має мінімум f’(x₂), якщо в деякому околі т. х₂ має місце нерівність f(x₂)<f(x)(x≠x₂). Максимум та мінімум ф-ції наз. екстремумом ф-ції, а ті знач. аргум., при яких досяг. екстремуми ф-ції, наз. т. екстремуму ф-ції. Необх. умова. Теорема. У т. екстремуму диф. ф-ції пох. дор. 0. Наслідок. Неперер. ф-ція може мати екстремум тільки в тих т., де пох. дор. 0. Достат. умова.

Теорема 1.

Нехай ф-ція f(x) не перерв. на деякому інтервалі, в якому міститься крит. т. х₀, і диф. в усіх т. цього інтервалу. Якщо при переході зліва на право через цю т. пох:

1) змін. знак з «+» на «-«, то при х=х₀ ф-ція має максимум;

2) змін. знак з «-«на «+», то ф-ція має у цій т. мінімум;

3) не змін. свого знака, то ф-ція в т. х=х₀ екстр. не має.

Теорема 2. Якщо для диф. ф-ції f(x) у деякій т. х₀ її перша пох. f’(x) дор. 0, а дркга існує і відмінна від 0, тобто f’(x₀)=0, f’’(x₀) ≠0, то:

1) якщо друга пох., f’’(x₀) >0, то в т. х₀ ф-ція f(x) має мінімум;

2) якщо f’’(x₀)<0- максимум;

3) якщо f’’(x₀)=0- для розв. треба застосувати пере правило.

69.

Крива на проміжку наз. опуклою (угнутою), якщо всі т. лежать нижче (вище) будь-якої дотичної на цьому пром.

Теорема 1. 1) Якщо у всіх т. проміжку (с, b) для ф-ції f(x) друга її пох. додатна, то графік ф-ції вгнутий. 2)Якщо в усіх т. проміжку (а,с) друга пох. відємна, то графік ф-ції випуклий.

70.

Т., яка відокремлює опуклу частину кривої від вгнутої, наз. т. перегину.

Якщо т. х₀ є т. перегину графіка, f’’(x)=0 або не існує.

Теорема 1. Якщо для ф-ції f(x) друга пох. її f’’(x) у деякій т. x₀перетвор. на 0 або не існує й при переході через цю т. змінює свій знак на обернений, то т. М(х₀, f(x₀)) є т. перегину.

75.

Якщо кожній сук-сті змінних (х₁, х₂,…х_n)= відпов. єдине знач. uÎU, то U наз. ф-цією багат. змінних.

Можна задати аналітично, таблично і графічно.

Витратами на вир-цтво даного виробу при даній техніці вир-цтва є ф-ція мат. витрат х і витрат на оплату роб. сили.y: z=f(x;y).

Розглян. ф-цію двох незал. змінних K, L, яка наз ф-цією Кобба-Дугласа, де K-к-ть кап., L-к-ть праці, яку вкладено у вир-цтво P=constK^αL^β, α+β=1.

71.

Пряма l наз. асимптотою кривої у=f(x), якщо відстань d від змінної т. М на кривій до цієї прямої при віддаленні т. М у нескінченність прямує до нуля. Асимптоти бувають вертикальні та похилі. Вертик., якщо , або ,або , то пряма х=а.

Пох. Нехай крива у=f(x) має пох. асимпт. y=kx+b, тоді

72.

1. Знайти область визнач. ф-ції.

2. Встановити парність (непар.) і періоди. ф-ції.

3. Знайти т. розриву та їх характер.

4. Визнач. т. перетину графіка з осями координат.

5. Знайти т. екстр. та обчисл. знач. ф-ції у цих т.

6. Визн. інтервали зрост. і спад. Ф-ції.

7. Знайти т. перегину, інтервали опуклості й вгнутості.

8. Знайти асимптоти.

9. Знайти гран. знач. ф-ції, коли х прямує до гран. т. області визнач.

Графік будують за характ. т. й лініями, отрим. в рез-ті досл. Якщо їх недост., знах. допоміжні т. ля деяких конкрет. знач. аргум.

73.

Якщо у=f(x) неперер. на проміжку [a;b], то вона набув. на цьому пром. найб. і найм. знач. Ф-ція на відрізку [a;b] досяг. свого найб. знач. на одному з кінців цього пром. Або в такій його т., яка є т. максим. Якщо треба знайти найб. знач. неперер. ф-ції на пром. [a;b], то необ:

1) знайти всі максим. ф-ції на пром.

2) визн. знач. ф-ції на кінцях пром., тобто обчисл. f(a) i f(b).

3) з усіх отрим. знач. ф-ції вибрати найб: воно найб. знач.

Аналог. треба діяти і при визнач. найм. знач.

76.

Для граф. зобр. ф-ції багат. змінних викор. сис-му координат Oxyz у тривимірному просторі. Кожній парі чисел х та у відпов. т. Р(х;у) прощини Оху. У т. Р(х;у) провод. пряму, перпенд. до площ. Оху та познач. в ній відпов. знач. z; дістаємо в просторі т. Q з координатами (x;y;z). Точки Q, які відповід. різним знач. незал. змінних, утвор. певну поверхню. Така поверхня є граф. зобр. ф-ціії: z=f(x;y).

Лінією рівня наз. множ. всіх т. площини, в яких ф-ція: z=f(x;y) набуває однакових значень.

79.

74.

Множ. т. наз. зв’язною, якщо будь-які її дві т. можна сполуч. Ламаною лінією так, щоб усі т. цієї лінії належали цій множині.

Множ. т. наз. обмеж., якщо всі її т. належать множ. Т. круга скінч. радіуса.

Множ. т., координати яких задов. нерівн. наз. δ-околом т. Р₀(х⁰₁; х⁰₂;…х⁰_n).

Т. наз. внутр. для множ. т., якщо вона лежить з деяким своїм околом, і зовн., якщо існує її окіл з т., жодна з яких не належить цій множ.

Зв’язна множ., яка склад. тільки з внутр. т., наз. відкрит. областю. Позн. Т. наз межової для обл., якщо в будь-якому її околі існують т., що не належ. області і належать їй.

Множина меж. т. наз. межею обл.

Область, з’єднана зі своєю межею, наз. замкненою обл.

75.

Якщо кожній сук-сті змінних (х₁, х₂,…х_n)= відпов. єдине знач. uÎU, то U наз. ф-цією багат. змінних.

Можна задати аналітично, таблично і графічно.

78.

Частинною пох. по х від ф-ції z=f(x;y) наз. границя віднош. частин. приросту по х до Dх, за умови Dх®0, якщо границя існує.

, z’x

Частин. пох. по у від ф-ції z=f(x;y) наз. границя віднош. частин. приросту по у до Dу, за умови Dу®0, якщо границя існує.

Диференц.

77.

Число В наз. границею ф-ції z=f(x;y) при х®х₀, у®у₀,мякщо для будь-якого ε>0 існує число δ>0 таке, що при виконанні нерів. 0<(x-x₀)²+(y-y₀)²<δ² викон. нерівність і познач.

Ф-ція z=f(x;y) наз. не перерв. в т. Р₀(х₀;у₀), якщо . Якщо неск. малим приростам Dх, Dу відповід. не скін. малий приріст ф-ції Dz. .

Властивості.

Теорема 1. Якщо ф-ція непер. в т., то вона обмежена деяким околом цієї т.

Теорема 2. Якщо ф-ції f(x;y) та g(x;y) непер. в т. , то в цій т. будуть непер. сума, добуток, частка цих ф-цій.

Теорема 3. Якщо ф-ція f(x;y) непер. на замкненій обм. множ., то серед її значень на цій множ. є як найм, так і найб.

Теорема 4. Нехай ф-ція f(x;y) не пер. на зв’язній множ. D і набуває у двох т. А і В цієї множ. значень різних знаків. Тоді у множ. D знайд. така т., що в ній ф-ція перетв. На нуль.

Теорема 5. Нехай ф-ція f(x;y)) не пер. на зв’язній множ. D і набуває у двох т. А і В цієї множ. нерівних знач. Тоді на цій множ. вона набув. Будь-яких знач. μ, яке лежить між f(A) i f(B), тобто існує така т. сÎD, що f(c)= μ.

80.

Нехай ф-ція z=f(x;y) визнач. на деякому околі т. Р₀(х₀;у₀); l - деякий промінь з поч.. у т. Р₀(х₀;у₀); Р(х;у) – т. на цьому промені, яка належить околу, що розгл. Dl- довжина відрізка Р₀Р. Границя

, якщо вона існує, наз. похід. за напрямом. Похідна характер. Швидкість змінювання ф-ції у т. Р₀(х₀;у₀) за напрямом .

81.

Вектор з координатами , який характ. напрям максим. зрост. ф-ції z=f(x;y) у т. Р₀(х₀;у₀), наз. градієнтом у цій т. .

82.

Означення: Диференціалом другого порядку від ф-ії z=f(x;y) називається диференціал від її повного диференціалу, тобто d²z=d(dz). Аналогічно визначають диференціали третього і вищого порядків.

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) визначена в області D, в цій області існують перші похідні і , другі змішані похідні і і похідні і як ф-ії від х і у неперервні в точці (х₀;у₀), тоді в цій точці

91.

Теорема: Нехай заданий

f(x) – неперервна ф-ція на відрізку [a;b] та x=j(t) – неперервна ф-ція на відрізку [a;b]. Якщо при цьому:

1) При зміні t від a до b x змінюється від а до b, тобто j(a)=a і j(b)=b

2) Складна ф-ція f(j(t)) – визначена і неперервна на відрізку [a;b], то справедлива формула:

83.

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в деякому околі точки (x₀;y₀) і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок (x;y) цього околу виконується нерівність , тоді ця точка (x₀;y₀) називається точкою максимуму (мінімуму) ф-ії z=f(x;y).

Точки максимуму і мінімуму наз. точками екстремуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму): Якщо ф-ія z=f(x;y) має екстремум в точці (x₀;y₀), тоді в цій точці частинні похідні і або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема (достатня умова екстремуму): Нехай ф-ія має екстремум у точці (x₀;y₀), неперервні частинні похідні першого і другого порядку, причому та а також . Якщо:

1) AC-B²>0 і A<0 тоді (x₀;y₀) точка максимуму

2) AC-B²>0 і A>0 тоді точка мінімуму

3) AC-B²<0 екстремуму немає

4) AC-B²=0

84.

Нехай х₁, x₂, … x_n – послідовність значень незалеж змінної, а y₁, y₂, … y_n – послідовн. значень залежної змінної. Необхідно підібрати пряму, яка найліпшим чином відображає залежність між х і у Þ відхилення фактичних значень ф-ції від підібраної прямої має бути мінімальним. Нехай y=ax+b є рівн. цієї прямої Þ y₁=ax₁+b₁ … y_n=ax_n=b_n

Відхилення складає:

y₁ – y_i = y_i – (ax_i + b) = y_i – ax_i – b.

Це відхилення має бути додат або від’ємним, тому пряма підбирається так, щоб сума квадратів відхилень була найменшою. Необхідна умова існування min полягає в тому, що ¶f/¶a = 0 ¶f/¶b = 0.

Маємо: (y₁-b-ax₁)²=y₁²+b²+a²x₁²-2abx_i-2bx_iy_i, отже:

Обчислимо: Таким чином ми отримали 2 рівн з двома змінними a і b. Розв’язання цих двох рівн дає значення a і b, які визначають пряму, яка найкраще відображає хід змінної ф-ції.

85.

Нехай на відкритій множині D Ì R² задано ф-ії u=f(x;y), v= j (x;y) і Е – множина точок, що задовольняють рівняння:

Означення: Рівняння називають рівнянням зв’язку, точку (x₀;y₀)ÎЕ називають точкою умовного строгого максимуму ф-ії u=f(x;y) при обмеженнях рівняння.

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.

Ф-ція L(x;y)=f(x;y)+lj(x;y) наз. ф-цією Лагранжа, параметр l- множн. Лагнаржа.

Теорема.

Для того, щоб т. (х₀;у₀) була т. умовного екстр. ф-ції u=f(x;y) при р-ні звязку j(х;у)=0, необ., щоб її координ. При деяких знач. l задов. сис-му р-нь:

88.

Функція F(x) називається первісною для ф-ії f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F`(x)=f(x) або dF(x)=f(x)dx.

Із означення виходить, що первісна F(x) – диференційована, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Теорема про множину первісних

Якщо F(x) – первісна для функції f(х) на проміжку І, то:

1) F(x)+С – також первісна для f(x) на проміжку І;

2) будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може біти представлена у вигляді Ф(х)= F(x)+С на проміжку І. (Тут С=const називається довільною сталою).

89.

Ф-ія F(x)+С, зо являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для ф-ії f(x) на проміжку І і позначається

де f(x) – підінтегральна ф-ія; f(x)dx – підінтегральний вираз; dx – диференціал змінної інтегрування.

Теорема Коші. Для існування невизначеного інтеграла для ф-ії f(x) на певному проміжку достатньо, щоб f(x) була неперервною на цьому проміжку.

Неінтегровні інтеграли – які неможливо записати через основні елементарні ф-ії.

Властивості, що випливають із означення невизн. інт:

І. похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії:

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ.

Властивості, що відображають основні правила інтегрування:

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла.

V. Невизн. інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують.

102.

Теорема: Якщо: 1) f(x) – неперервна для xÎ [a;b]; 2) j(a)=а, j(b)=b; 3) x=j(t) та j‘(t) – неперервні для tÎ [a;b]; 4) при tÎ [a;b]èxÎ [a;b], то

Зауваження: При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування і тому нема потреби повертатись до початкової змінної

Теорема: Якщо ф-ії u(x) та v(x) мають неперервні похідні для xÎ[a;b], то

92.

а)D>0- розклад. на елемент. дроби

б) D=0- виділення повного кв

в) D<0-

ах²+bх+c=а(х²+ + )=а(х²+2х + )=

а()

=a².

100.

Якщо ф-ія f(x) неперервна для будь-якого xÎ [a;b], то похідна від інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній ф-ії від верхньої межі інтегрування, тобто:

Наслідки: 1) Визначений інтеграл із змінною верхньою межею від ф-ії f(x) є одна із первісних для f(x). 2) Будь-яка неперервна ф-ія на проміжку [a;b] має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла із змінною верхньою межею.

93.

Означення: Відношення двох многочленів називається раціональним дробом.

Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто n<m. Якщо ж n³m, то дріб неправильний.

Найпростіші раціональні дроби (4 типи):

1. 2. 3. 4.

де k³2, kÎN, D=p²-4q<0

Теорема: Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна представити у вигляді скінченого числа найпростіших дробів використовуючи такі правила:

1) Якщо Q_m(x)=(x-a)^k×g_m-k(x), то:

2) Якщо Q_m(x)=(x²+px+q)^k×g_m-2k(x), то:

де А_і, В_і, – деякі коефіцієнти, та правильні раціональні дроби.

Методика інтегрування раціональних ф-ій:

1. Якщо підінтегральна ф-ія – неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена і правильного раціонального дробу.

2. Знаменник правильного раціон. дробу розкладають на множники. По вигляду знаменника, правильний раціон. дріб представляють у вигляді найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

3. Інтегрують цілу частину і найпростіші дроби.

9. Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо ò R(sin x,cos x)dx, де R – раціональна ф-ія відносно sin, cos, тобто над sin, cos викон. лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня. Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл ò R(sinx,cosx)dx завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної ф-ії ò R*(t)dt, загальна схема інтегрування якої розроблена.

1) Універсальна тригонометрична підстановка . На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sin x, cos x входять в невисокому степені, інакше підрахунки будуть складні.

2) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.

3) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

4) Підінтегральна ф-ія R(sin x, cos x) – парна по sinx, cosx сукупно, тобто R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). В цьому випадку використовують підстановку tgx=t або ctgx=t.

5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t.

В інтегралах ò sin²ⁿx×cos^2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.

]

95.

2) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.

3) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t.

В інтегралах ò sin²ⁿx×cos^2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.

96.

)

Підінтегральна ф-ія після виділення повного квадрата і заміни раціоналізується тригонометричними підстановками.

98.

Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при l_іà0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини Dх_і, ні від вибору точок x_і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.

Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.

1) Якщо f(x)=c=const, то

2) Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла.

3) Якщо f₁(x) та f₂(x) інтегровні на [a;b], то:

4) Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл лише змінить свій знак на протилежний.

5) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю.

6) Якщо f(x) – інтегровна в будь-якому із проміжків [a;b], [a;c], [c;b], то:

7) Якщо f(x) ³ 0 і інтегровна для xÎ[a,b], b>a, то

8) Якщо f(x), g(x) – інтегровні та f(x)³g(x) для xÎ[a;b], b>a, то:

9) Якщо f(x) – інтегровна та m£f(x)£M, для xÎ[a;b], b>a, то

99.

Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ[a;b], b>a, то знайдеться така точка x= cÎ [a;b], що:

101.

(Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:

де F’(x)=f(x)

Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:

Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральної ф-ії і виконати над нею подвійну підстановку.

103.

Нехай від заданої та непер. на [a;b] ф-ції у=f(x) треба обч. . Поділимо [a;b] т. а=х₀, х₁, х₂,…,х_n_-1, x_n=b ф-ції на n рівних частин завдовжки . Знач. ф-ції f(x) у т. х_і, і=(0,n) познач. так: у₀=f(x₀), у₁₌ f(x₁),…, у_n=f(x_n)

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
1. Понятие об абсолютных величинах, их значение в статистике. Единицы измерения абсолютных величин. Виды абсолютных величин.	\|	КАИНОВА ПЕЧАТЬ.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.209 сек.)