Итак, в модульной работе будут представлены 7 вариантов, каждый из которых состоит из 5 типовых задач. По слухам, есть пара неудачных вариантов, в которых типовые задачи не совсем типовые Задачи,

Итак, в модульной работе будут представлены 7 вариантов, каждый из которых состоит из 5 типовых задач. По слухам, есть пара неудачных вариантов, в которых типовые задачи не совсем типовые... Задачи, в которых надо будет подумать.

Но не будем о грустном!

№1. Преобразовать дифференциальное уравнение 2-го порядка %бла-бла-бла% в систему уравнений 1-го порядка. Записать систему в матрично-векторном виде. Выяснить, является ли система гиперболической.

%бла-бла-бла% - это конкретное условие задачи, как вы понимаете.

Алгоритм:

1) делаем замену вида V_y=U_x (или аналогичную);

2) интегрируем обе части уравнения по y (или по x, если замена была иной); справа, на месте 0, появится f(x) (или f(y), в зависимости от переменной интегрирования);

3) получим систему из двух уравнений первого порядка: V_y - U_x = 0 (это наша замена) и результата шага 2);

4) представляем систему в виде A¹ + A² = , подбираем A¹ и А² - матрицы 2х2 - так, чтобы получилось выражение, эквивалентное нашей системе;

5) ищем корни уравнения det (ξ₁A¹ - A²) = 0. Если корни получились действительными и различными, то система гиперболическая по х. Если получатся кратные корни, то ищем для них собственные вектора; если собственные вектора линейно независимы, то система опять же гиперболическая по х, иначе - не гиперболическая по х.

6) ищем корни уравнения det (ξ₂A² - A¹) = 0 и действуем аналогично пункту 5).

№2. Определить диапазон параметра p, при котором система %бла-бла-бла% будет гиперболической.

Алгоритм:

1) ищем det (A - λE) = 0, получаем квадратное уравнение, корни которого зависят от p;

2) ищем дискриминант. Составляем неравенство D>0. p, при которых это неравенство верно, удовлетворяют условию гиперболичности;

3) отдельно рассматриваем случай D=0. Полученные p просто проверяем, подставляя найденное при них λ и находя собственные вектора. Если они линейно независимы, то данное p удовлетворяет условию гиперболичности, иначе - нет.

№3. Дан график решения уравнения в момент времени t=0, надо изобразить решение в t=1.

В данной задаче нужно просто понять, что означает рисунок. Ось U - изменение скорости движения; таким образом, можно сказать, что это расстояние, которое пройдёт точка за 1 с. Если скорость отрицательна (то есть график проходит ниже оси X), то точка будет двигаться влево, иначе - вправо.

Алгоритм же следующий:

1) сдвигаем все точки сгиба вправо или влево на определённое количество единиц (в зависимости от расположения по оси U);

2) соединяем всё это добро пунктирной линией;

3) все кусочки в виде буквы Z (верхняя часть выпирает вперёд, левая отстаёт) - это разрывы. Поэтому рисуем на их месте прямую, разрубающую нашу импровизированную букву Z пополам:

№4. Решить задачу Римана %бла-бла-бла% для системы с условиями φ^L и φ^R.

Алгоритм:

1) ищем корни уравнения det (A - λE) = 0, где A - матрица из условия;

2) находим собственные вектора для найденных собственных чисел;

3) составляем из собственных векторов матрицу R;

4) ищем матрицу R^-1 методом Гаусса (самое простое в данной ситуации); если совсем уж лень - идём в Яндекс и вбиваем "поиск обратной матрицы онлайн";

5) ищем sign(Λ) = матрице, у которой на диагонали стоят sign (λ₁),..., sign (λ_n), n - размерность задачи, в нашем случае n=2. Остальные элементы этой матрицы = 0;

6) u(x*, t) = (φ^L + φ^R) / 2 + R sign(Λ) R^-1 (φ^L - φ^R) / 2 - ответ.

№5. Вычислить скорость движения в виде одиночного скачка (U^L=..., U^R=...) для уравнения %бла-бла-бла%.

Самая простая задача, которая решается в одну формулу.

Алгоритм:

1) в условии есть функция, которая дифференцируется по x. Это наша f;

2) D - скачок, D = [f (U^R) - f (U^L)] / [U^R - U^L] - ответ.

Удачи нам на модуле:3

Дата добавления: 2015-11-05