Вопросы по математическому анализу 1
1. Область рациональных чисел. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел.
2. Непрерывность области вещественных чисел. Основная теорема (Дедекинда). Для всякого сечения А\А' в области вещественных чисел существует вещественное число β, которое производит это сечение. Это число β будет 1) либо наибольшим в нижнем классе А, 2) либо наименьшим в верхнем классе А'. Полнота множества вещественных чисел. Теорема. Если множество X = { х } ограничено сверху (снизу), то оно имеет и точную верхнюю (нижнюю) границу.
3. Введение иррациональных чисел. Арифметические действия над вещественными числами.
4. Предел последовательности (или варианты). Критерий Коши сходимости последовательности.
5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема: Постоянное число а называется пределом варианты an, если разность между ними есть бесконечно малая величина. Арифметические действия с бесконечно малыми (сумма, разность и произведение бесконечно малых — бесконечно малая, умножение бесконечно малой на константу — бесконечно малая, аналогичные теоремы про бесконечно большие).
6. Некоторые теоремы о последовательности, имеющей предел:
1° Если варианта an стремится к пределу а, и а > р (a < q), то и все значения переменной, начиная с некоторого, тоже будут больше p (< q)
2° Если варианта an стремится к пределу a > 0 (<0), то и сама переменная an > 0 (< 0), начиная с некоторого места.
3° Если варианта an стремится к пределу а, отличному от нуля, то, по крайней мере, достаточно далекие значения an по абсолютной величине превзойдут некоторое положительное число r: | an | > r > 0 (для n > N).
4° Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
5° Последовательность не может одновременно стремиться к двум различным пределам.
7. Предельный переход в равенстве и неравенстве.
8. Арифметические операции над последовательностями.
9. Предел монотонной последовательности. Число е.
10. Лемма о вложенных промежутках.
11. Частичные последовательности и частичные пределы. Лемма Больцано — Вейерштрасса.
12. Наибольший и наименьший пределы.
13. Понятие функции, график функции, важнейшие классы функций, понятие обратной функции, суперпозиция функций. Предел функции. Сведение к случаю предела последовательности.
14. Предел функции. Первый замечательный предел.
15. Предел функции. Второй замечательный предел.
16. Свойства пределов функции, предел монотонной функции.
17. Общий признак Больцано—Коши.
18. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин. О-большое и о-малое.
19. Непрерывность функции. Арифметические операции над непрерывными функциями. Примеры непрерывных функций.
20. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов. Непрерывность и разрывы монотонной функции.
21. Непрерывность элементарных функций. Суперпозиция непрерывных функций.
22. Свойства непрерывных функций. Первая теорема Болъцано — Коши. (с двумя доказательствами)
23. Теорема о промежуточном значении. Вторая теорема Больцано— Коши.
24. Существование обратной функции.
25. Теорема об ограниченности функции. Первая теорема Вейерштрасса. Наибольшее и наименьшее значения функции. Вторая теорема Вейерштрасса.
26. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора. Следствие. Пусть функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [ а, b ]. Тогда по заданному e > 0 найдется такое d > 0, что если промежуток произвольно разбить на частичные промежутки с длинами, меньшими d, то в каждом из них колебание функции f (x) будет меньше е.
27. Лемма Бореля.
28. Доказательство при помощи леммы Бореля основных теорем о непрерывных функциях Больцано-Коши, Вейерштрасса и Кантора.
29. Производная и ее вычисление. Физический и геометрический смысл производной. Определение производной. Производная элементарных функций.
30. Производная обратной функции. Производная обратных тригонометрических функций. Формула для приращения функции. Список стандартных производных.
31. Простейшие правила вычисления производных. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной функции.
32. Дифференциал. Определение дифференциала. Связь между дифференцируемостью и существованием производной.
33. Основные формулы и правила дифференцирования. Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы как источник приближенных формул.
34. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Теорема Дарбу. Теорема Ролля.
35. Формула Лагранжа. Предел производной. Формула Коши.
36. Производные высших порядков. Общие формулы для производных любого порядка. Формула Лейбница.
37. Дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков.
38. Формула Тейлора для многочлена. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано. Примеры.
39. Формула Тейлора. Другие формы дополнительного члена — Шлемильха и Роша, Лагранжа, Коши.
40. Условие постоянства функции. Условие монотонности функции.
41. Максимумы и минимумы; необходимые условия. Достаточные условия. Первое правило.
42. Максимумы и минимумы; Достаточные условия. Второе правило. Использование высших производных. Разыскание наибольших и наименьших значений.
43. Определение выпуклой (вогнутой) функции. Простейшие предложения о выпуклых функциях. Условия выпуклости функции. Точки перегиба.
44. Исследование функций. Построение графиков функций. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты.
45. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя (0/0).
46. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя (∞/∞). Другие виды неопределенностей.
Дата добавления: 2015-11-05; просмотров: 27 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| сметной стоимости научно-технической продукции | | |