Алгоритм розв’язання звичайного неоднорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Алгоритм розв’язання звичайного неоднорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Вигляд рівняння:

.

(1)

Початкові умови: при .

1. Записати характеристичне рівняння для відповідного (1) однорідного рівняння () у вигляді

.

(2)

2. Знайти корені характеристичного рівняння (2)

.

(3)

В залежності від величини параметрів і можливі наступні чотири частинних випадка:

а) корені і дійсні різні, коли :

, ;

б) корені і дійсні рівні при :

;

в) корені і комплексно-спряжені при :

,

де ;

г) корені і чисто уявні при

.

3. Скласти, виходячи із знайдених в п. 2 коренів, загальний розв’язок однорідного рівняння, який відповідає вказаним вище частинним випадкам:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Частковий розв’язок вихідного неоднорідного рівняння (1) слід шукати у вигляді, що відповідає правій частині :

· якщо , то у вигляді сталої , тобто ;

· якщо , то ;

· якщо або (і при цьому , ), то у вигляді

;

якщо ж , то

для слід взяти ,
а для ;

якщо разом з (випадок резонансу), то у вигляді

.

Примітка: якщо права частина являє собою суму вказаних вище функцій , то і загальний шуканий частинний розв’язок треба шукати у вигляді суми відповідних кожній функції часткових розв’язків .

5. Підставити вираз у вихідне рівняння (взявши необхідні похідні) і, прирівнявши коефіцієнти при однакових функціях зліва і зправа від знаку рівності, знайти шукані коефіцієнти , , и т. д.

6. Отримані вище і об’єднати в загальний розв’язок вихідного рівняння .

7. Знайти (першу похідну від за часом).

8. Підставити у знайдені вирази для і значення і знайти із отриманих виразів сталі інтегрування і , використовуючи початкові умови.

9. Записати і проаналізувати отриманий вираз .

10. При необхідності знайти інші шукані величини.

Дата добавления: 2015-11-04