Типовой расчет по теме «Основы теории вероятности»

Типовой расчет по теме «Основы теории вероятности»

1. Задача по теме «Алгебра событий»

2. Задача по теме «Элементы комбинаторики»

3. Задача по теме «Непосредственный подсчет вероятности»

4. Задача по теме «Теоремы сложения и умножения вероятности»

5. Задача по теме «Формула полной вероятности. Формула Байеса»

6. Задача по теме «Повторение опытов»

Вариант 1

1.1. Пусть . Упростить выражения

А*В, А+В, А*В*С, А+В+С.

2.1. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных оттенков?

2.2. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?

3.1 Найти вероятность того, что наудачу выбранное двухзначное число делится на 8.

3.2 Из шести букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «ананас».

4.1 Три исследователя, независимо друг от друга, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит сшибку.

5.1. В ящик, содержащий три детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей первоначально находившихся в ящике

6.1. Агрегат содержит 5000 деталей. Вероятность отказа детали за время работы агрегата равна 0,001. Найти вероятность того, что за время работы агрегата откажет более чем одна деталь. Предполагается взаимная независимость отказов.

Вариант 2

1.1. Бросаются две игральные кости. Пусть А – событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная; В – событие, состоящее в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события А*В, .

2.1. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную из слова «студент»?

2.2. Группа студентов изучает восемь различных дисциплин. Скольким числом способов можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть три различных дисциплины (порядок дисциплин роли не играет)?

3.1 Имеется десять шариков, которые разбрасываются по 5 лункам. Найти вероятность того, что в первую лунку попадет ровно 3 шарика, во вторую – 2 шарика, в третью – 3 шарика, в четвертую – 1 шарик, в пятую – 1 шарик.

3.2 Чему равна вероятность того, что у 12 человек дни рождения приходятся на разные месяцы?

4.1 Экспедиция газеты направила газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в каждое из почтовых отделений равна 0,9. Найти вероятность того, что

- оба почтовых отделения получат газеты вовремя;

- оба почтовых отделения получат газета с опозданием;

- одно отделение получит газеты вовремя, а второе - с опозданием.

5.1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором ящике 10 белых и 10 черных шаров. В третьем ярке 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

6.1. Из 150 изделий, среди которых 50 штук первого сорта, отбирается 6 по схеме возвращенного шара. Найти вероятность того, что первосортная деталь появится 5 раз.

Вариант 3

1.1. Дана система S, состоящая из блоков а₁, а₂, в₁, в₂, d. Записать событие S, состоящее в том, что система S исправна.

2.1. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из четырех горизонтальных полос, имея четыре различных цвета?

2.2. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

3.1. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются в две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что четверо сильнейших противников попадут по два в разные группы.

3.2. На карточках написаны числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Наугад берутся две карточки. Найти вероятность того, что образованная из двух чисел дробь сократима.

4.1 Дана система S, состоящая из двух независимых блоков a1 и a2, такая, что она исправна тогда и только тогда, когда исправен хотя бы один из блоков: a1 или a2. Надежность каждого блока равна 0,8. Найти надежность системы.

5.1. Три торпедных катера атакуют авианосец. Каждый катер выпускает по одной торпеде. Вероятность попадания торпеды в авианосец равна 0,7. Потопление авианосца при попадании трех торпед происходит с вероятностью 0,9, двух торпед - с вероятностью 0,6 и одной торпеды - с вероятностью 0,2. Определить вероятность потопления корабля.

6.1. Вероятность выхода из строя за некоторое время Т одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что из 100 конденсаторов в течение времени Т выйдет из строя не более 20 конденсаторов.

Вариант 4

1.1. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражения, если:

- произошло только событие А;

- произошло одно и только одно событие;

- произошло два и только два события;

- все три события произошли;

- произошло не более двух событий.

2.1. Четверо студентов получают оценки A, B, C, D. Сколькими различными способами можно расставить оценки так, чтобы никакие два студента не получили одну и ту же оценку?

2.2. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами из урны наугад можно вынуть три шара, чтобы при этом два шара оказались белыми, а один – черным?

3.1. В лотерее 100 билетов, из которых 20 выигрышные. Участник купил 5 билетов. Какова вероятность того, что из 5 купленных билетов выигрышных будет 3?

3.2. На девяти одинаковых карточках написаны цифры от 0 до 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число. Найти вероятность того, что образованное число будет четным.

4.1 Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле 0,8, а вторым стрелком - 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

5.1. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 0,1 % бракованных, со второго - 0,2%, с третьего - 0,25%, с четвертого -0,5%. Производительности их относятся как 4:3:2:1. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом; втором; третьем; четвертом автоматах.

6.1. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров не менее 35 выдержат гарантийный срок.

Вариант5

1.1. Пусть событие А – падает снег, событие В – идет дождь. Выразить через А и В следующие события:

- дождь со снегом;

- дождь или снег;

- нет дождя;

- ясная погода;

- падает снег без дождя.

2.1. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0; 1; 3; 5; 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

2.2. Укротителю диких зверей предстоит выпустить на арену одного за другим 5 львов и 4 тигра. Сколькими способами он это может сделать?

3.1. Из партии, содержащей 10 одинаковых изделий, случайным образом отбирают три. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий все исправны, если известно, что партия содержит два неисправных изделия.

3.2. На одинаковых карточках написаны буквы А, А, А, К, Р, Д, Н, Ш. Карточки перемешиваются и случайным образом раскладываются. Какова вероятность того, что получится слово КАРАНДАШ?

4.1. Вероятность попадания бомбы в цель равна 0,4. Бомбардировщик

сбрасывает три бомбы. Какова вероятность того, что все бомбы

попадут в цель; ни одна не попадет в цель; по крайней мере одна попадет в цель?

5.1. В группе спортсменов 20 лыжников,6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна: для лыжника 0,9; велосипедиста 0,8 и для бегуна 0,75. Haйти вероятность того, что спортсмен, названный наудачу, выполнит норму.

6.1. Вероятность своевременного прибытия каждого поезда дальнего следования равна 0,95. Найти вероятность того, что из пяти последовательно прибывающих поездов 4 прибудут без опоздания.

Вариант 6

1.1. Бросаются две игральные кости: одна черная, а другая белая. Отмечается число очков, выпавших на каждой кости. Сколько элементарных событий соответствует тому, что сумма очков больше 10? Сумма очков – четная?

2.1. На вершину горы ведут семь дорог. Сколькими способами турист может поднятся на гору и вернуться назад?

2.2. Вратарь 10 раз выбрасывает мяч в игру. Предположим, что тренер рекомендовал подавать мяч каждый раз другому игроку своей команды. Сколько возможных вариантов может выбрать вратарь?

3.1. В урне 6 белых и 4 черных шара. Какова вероятность того, что среди 5 шаров, наудачу вынутых из урны, будет 3 белых и 2 черных?

3.2. 10 человек случайным образом садятся за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

4.1. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов 1,2, 3 элементов соответственно разны P1 =0,1; Р2 = 0,15; Р3 =0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

5.1. На трех автоматических линиях изготавливаются одинаковые детали. Первая линия даёт 70%, вторая- 20% и третья – 10% всей продукции. Вероятность получения бракованной продукции на каждой линии соответственно равны 0,02; 0,01; 0,05. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь была изготовлена на первой линии.

6.1. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Вариант 7

1.1. Машино-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие А – исправна машина, событие В_К (К=1,2) – исправен К – й котел. Событие С означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправна машина и хотя бы один котел. Выразить события С и через А и В_К.

2.1. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5, если каждую можно использовать любое число раз7

2.2. Сколько можно набрать комбинаций из 6 карт, каждая из которых содержит два короля, одну даму, если в колоде 36 карт?

3.1. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 наудачу выбирают два числа. Найти вероятность того, что их сумма делится на 3.

3.2. В лотерее 100 билетов, из них 40 выигрышных. Какова вероятность, что ровно один из трех взятых билетов окажется выигрышным?

4.1. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании / предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же.

5.1. Имеются 4 партии деталей. В первой партий 3% брака, во второй-4%, в третьей и четвертой брака нет. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь принадлежит первой партии, если она оказалась бракованной?

6.1. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что цель будет поражена от 200 до 250 раз в серии из 600 выстрелов.

Вариант 8

1.1. Образуют ли полную группу следующие наборы событий (дать полный ответ, доказать):

испытание – бросание двух монет; события

А₁ – появление двух гербов,

А₂ – появление двух цифр;

Испытание – два выстрела по мишени; события

В₁ – хотя бы одно попадание,

В₂ – хотя бы один промах?

2.1. Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом,поездом и автобусом, причем между этими пунктами существует два авиамаршрута, один железнодорожный и три автобусных. Скольким числом способов можно добраться из пункта А в пункт В?

2.2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности?

3.1 Найти вероятности того, что при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков не превзойдет 5.

3.2 Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

4.1. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех независимых выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность четырех попаданий при четырех выстрелах.

5.1. При разрыве снаряда образуется 10% крупных осколков, 60 % средних и 30% мелких. Вероятность пробивания брони крупным осколком равна 0,7, средним –0,2 и мелким - 0,05. Известно, что в броню попал один осколок. Определить вероятность того, что броня пробита.

6.1. В цехе имеется 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент а) включено 4 мотора, б) включены все моторы, в) выключены все моторы.

Вариант 9

1.1. Образуют ли полную группу следующие группы событий (дать полный ответ, доказать):

испытание – бросание игральной кости; события

А₁ – появление не менее трех очков,

А₂ – появление не более четырех очков;

испытание – два выстрела по мишени; события

В₁ – ни одного попадания,

В₂ – одно попадание,

В₃ – два попадания?

2.1. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0; 3; 4; 5; 7; 8, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

2.2. В хирургическом отделении работают 20 врачей и 25 медсестер. Сколькими способами можно организовать бригаду в составе двух врачей и пяти медицинских сестер?

3.1. В забеге участвуют 6 одинаково подготовленных спортсменов. Трое из них получают призовые места. Какова вероятность того, что болельщик угадает тройку лидеров? (без учета их мест)

3.2. В студсовете 15 человек, из которых 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава выбирают наугад 5 человек на предстоящую конференцию. Какова вероятность, что все первокурсники попадут на конференцию?

4.1. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединённых элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя с вероятностями 0,3; 0,4; 0,6. Как изменится искомая вероятность, если первый элемент не выходит из строя?

5.1. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 10 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

6.1. Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях ровно два раза выпадет по три единицы.

Вариант 10

1.1. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов, каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события

А – обнаружен ровно один из четырех объектов;

В – обнаружен хотя бы один объект.

Указать (с доказательством), в чем состоят события А+В, А*В.

2.1. Сколькими способами можно разложить пять монет различного достоинства по трем карманам?

2.2. Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должны быть выбраны трое кандидатов. Сколько может быть разных случаев выборов?

3.1. В партии из 100 изделий 10 изделий бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых четырех изделий три будут не бракованные?

3.2. Из чисел 1, 2, 3,…,10 наугад выбирается два числа. Какова вероятность того, что их сумма будет четной.

4.1. Из полной колоды {52 карты) вынимают одновременно три карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт найдется хотя бы одна карта красной масти.

5.1. Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на заводе № 1, 250 на заводе №2 и 150 на заводе № 3. Известны также вероятности 0,97, 0,91, 0,93 того, что лампочка окажется стандартного качества при изготовлении ее соответственно заводами №1, №2, №3. Какова вероятность, что наудачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной?

6.1. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразил мишень 8 раз.

Вариант 11

1.1. Каковы соотношения между событиями А, В и С, если

А*В*С=А; если А+В+С=А? Дать геометрическую интерпретацию.

2.1. Сколько различных способов распределения 8 студенческих путевок между тремя студенческими группами существует, если все путевки различны?

2.2. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером стартовых пятерок?

3.1 На каждой из десяти карточек написаны буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, К, И. Ребенок, не умеющий читать, складывает эти карточки в случайном порядке. Какова вероятность того, что он получит слово МАТЕМАТИКА?

3.2 Наудачу взятый телефонный номер состоит из шести цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры различные?

4.1. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № I и 4 детали - заводом № 2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № I.

5.1. Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых семь пристрелянных и 3 не пристрелянных. Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки составляет 0,8, а из не пристрелянной /при тех же условиях/ - 0,4. Какова вероятность того, что стрелок, взяв наудачу винтовку и сделав из нее один выстрел, попадет в цель?

6.1. Прядильщица обслуживает 100 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в 5 веретенах.

Вариант 12

1.1. Назвать противоположные события для следующих событий:

С – три попадания при трех выстрелах;

Д – хотя бы одно попадание при пяти выстрелах.

2.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5 при условии, что числа могут содержать одинаковые цифры?

2.2. Скольким числом способов можно распределить шесть пригласительных билетов на презентацию среди 30 человек?

3.1. Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу извлекают 4 карты. Какова вероятность того, что среди этих четырех карт будет одна дама?

3.2. На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова ТАЛАНТ – по одной букве на каждой карточке. Карточки брошены в мешок и тщательно перемешаны. Затем их вынимают наудачу и располагают на столе одну за другой в порядке появления. Какова вероятность снова получить слово ТАЛАНТ?

4.1. Испытуемому предлагается два теста. Вероятности решения тестов соответственно равны 0,75 и 0,8. Определить вероятность того, что хотя бы один тест будет решен /тесты решаются независимо друг от друга/.

5.1. Стрелок A поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью P1 =0,6, стрелок B - с вероятностью P2 — 0,5 и стрелок C - с вероятностью P3 – 0,4. Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал С в мишень или нет?

6.1. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700, если вероятность того, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,62.

Вариант 13

1.1. Назвать противоположные события для следующих событий:

А – не более двух попаданий при пяти выстрелах,

В – выигрыш первого игрока при игре в шахматы.

2.1. Пять студентов следует распределить по трем группам факультета. Скольким числом способов это можно сделать?

2.2. В группе 25 студентов. Из них 6 человек надо посадить на первый ряд. Сколько имеется таких способов, если не обращать внимания на порядок, в котором студенты сидят на скамейке, а только на фамилии их?

3.1 Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

3.2. Из шести одинаковых карточек с буквами Л, И, Т, Е, Р, А выбирается наугад в определенном порядке четыре. Найти вероятность того, что при этом получится слово ТИРЕ.

4.1. В ящике лежат 10 заклепок, отличающихся друг от друга только материалом: 5 железных, 3 латунных, 2 медных. Наугад берутся две заклепки. Какова вероятность того, что они будут из одного материала.

5.1. Первое орудие 4-х орудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания равна 0,3, остальным трем орудиям соответствует вероятность попадания 0,2. Для поражения цели достаточно одного попадания. Два орудия произвели одновременно по выстрелу, в результате чего цель была поражена. Какова вероятность, что первое орудие стреляло?

6.1. Завод выпускает 50% изделий первым сортом и, не сортируя, упаковывает все изделия в коробки по 8 штук изделий в каждой. Учитывая, что упаковываемые изделия отобраны случайно, вычислить вероятность того, что в коробке будет: а) изделий первого сорта три штуки, б) изделий первого сорта не менее 3 штук и не более 5.

Вариант 14

1.1. Событие В есть частный случай события А, т.е. из появления события В следует, что событие А произошло.

Следует ли из , что произошло?

Следует ли из событие ?

2.1. Сколько существует трехзначных номеров студенческих билетов, не содержащих цифры 8?

2.2. Четыре стрелка должны поразить 8 мишеней, по две каждый. Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?

3.1 Имеется 6 билетов в театр, из которых 4 на места первого ряда. Какова вероятность того, что из трех выбранных наугад билетов два окажутся на места первого ряда?

3.2 Набирая номер телефона абонент забыл две последние цифры и решил набрать их наугад. Какова вероятность набрать правильный номер, если абонент вспомнил, что две последние цифры различны и меньше 5?

4.1. В коробке лежат 30 электрических лампочек одинаковой величины, причем 12 из них рассчитаны на напряжение 220 B, остальные- 120 В. Какова вероятность того, что из 4-х наудачу взятых одновременно электроламп все окажутся с напряжением 220 В или с напряжением 120 В.

5.1. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

6.1. В ОТК поступила партия изделий. Вероятность того, что наудачу взятое изделие стандартного типа, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 100 проверенных изделий окажется стандартных не менее 84.

Вариант 15

1.1. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами r_к (к=1,2,…,10), причем r₁‹r₂‹…‹r₁₀. Событие А_к – попадание в круг радиусом r_к. Что означают события ; ; ? Что представляет собой событие ?

2.1. Сколькими различными способами можно распределить четыре шара по двум лункам, в которые помещается ровно один шар?

2.2. Сколько различных аккордов можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от трех до пяти звуков?

3.1 У сборщика 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, четыре первого, по две второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей окажутся три первого вида, две второго и одна третьего?

3.2 Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков четная.

4.1. При увеличении напряжения в два раза может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя одного из трех последовательно соединенных элементов соответственно с вероятностями 0,3; 0,4; 0,5, Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи.

5.1. В группе 40 стрелков, из них 10 человек стреляют отлично, 20 - хорошо, 6 - удовлетворительно, 4 - плохо. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отлично стреляющего стрелка равна 0,9; для хорошо - 0,8, для удовлетворительно - 0,6 и для плохо - 0,4. На линию огня вызывают наугад одного из стрелков. Он производит один выстрел. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель.

6.1. 10 рабочих время от времени используют энергию. В любой момент времени каждому рабочему с одной и той же вероятностью может потребоваться единица энергии, причем рабочий потребляет энергию в среднем 12 мин в течение часа. Пусть известно, что рабочие используют электроэнергию независимо друг от друга. Найти вероятность перегрузки, если снабжение рассчитано на 6 единиц энергии.

Вариант 16

1.1. События А – хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, В – все приборы доброкачественные. Что означают события А+В, А*В.

2.1. Сколько различных трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

2.2. Скольким числом способов можно выбрать три красных и два черных шара, если в коробке находится 7 красных и 5 черных шаров?

3.1. В лотереи 50 билетов, из них 10 выигрышных. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу билетов хотя бы два окажутся выигрышными?

3.2. Полная колода карт (52 листа) делится на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий: а) в каждой из пачек окажется по два туза; б) в одной из пачек будет один туз, а в другой – три.

4.1. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании /предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же/.

5.1. Конденсаторы поставляются тремя заводами, причем вероятность того, что данное изделие изготовлено на первом заводе, равна 1/5, на втором - 3/10 и на третьем - 1/2. Вероятности того, что при определенных условиях работы конденсатор сохранит работоспособность в течение времени Т, для первого, второго и третьего заводов соответственно равны 0,9, 0,92, 0,8. Чему равна вероятность того, что наудачу взятый конденсатор из имеющегося запаса сохранит работоспособность в течение времени Т? Известно, что конденсатор не выдержал установленного срока работы, и отказал. Какова вероятность того, что он был с первого завода?

6.1. В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работает с полной нагрузкой.

Вариант 17

1.1. Пусть А и В – случайные события. Доказать, что А, , образуют полную группу.

2.1. Шесть пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах. Скольким числом способов это можно сделать?

2.2. Вам надо выбрать два факультатива из 6. скольким числом способов это можно сделать?

3.1 В группе 20 студентов, среди которых 8 девушек. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять девушек.

3.2 В урне находятся карточки с номерами 1, 2, 3, 4. 5, 6. Наугад вынимают карточки одна за другой. Найти вероятность появления карточек в порядке возрастания.

4.1. Машина выходит из строя, если выходит из строя любая из трех независимых деталей. Если вероятности выхода из строя за год работы деталей А, В, С равны соответственно 1/3, 1/4 и 1/5, то какова вероятность того, что машина выйдет из строя в течение года?

5.1. Станок одну треть своего времени обрабатывает деталь А и две трети - деталь В. При обработке детали А он простаивает 10% времени, а детали В - 15%. Какова вероятность застать станок простаивающим?

6.1. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз.

Вариант 18

1.1. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Записать событие, которое должно иметь место для того, чтобы был произведен четвертый выстрел? Будет ли это событие противоположно тому событию, что произведено не более трех выстрелов?

2.1. Три автомобиля, №1, №2, №3, должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами это можно сделать, если грузоподъемность каждого из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если два автомобиля в один и тот же магазин не направляются?

2.2. Шесть человек рассаживаются на скамейке. Скольким числом способов это можно сделать так, чтобы два определенных человека оказались рядом?

3.1 В одном ящике 4 белых и 6 черных шарика. Во втором 3 белых и 7 черных. Из каждого ящика наугад вынимается по одному шарику. Чему равна вероятность того, что оба шарика окажутся черными?

3.2 Из колоды карт в 52 листа извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятность того, что будут извлечены карты следующего состава: валет, дама, два туза.

4.1. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,42, 0,5, 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

5.1. Имеются две одинаковые урны. В первой урне находятся 3 белых и 5 черных шаров, во второй 3 белых и 7 черных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекается один шар. Определить вероятность того, что шар черный.

6.1. Телеграфная станция принимает цифровой текст. В силу наличия помех вероятность ошибочного приема любой цифры не изменяется в течение всего приема и равна 0,01. Считая приемы отдельных цифр независимыми событиями, найти вероятность того, что в тексте, содержащим 1100 цифр, а) будет ровно 7 ошибок, б) число неверно принятых цифр будет меньше 20.

Вариант 19

1.1. Имеется электрическая схема

Выразить через события А_i – i-й контакт замкнут и _i – i-й контакт разомкнут следующие событие: - С – лампочка горит и – лампочка не горит.

2.1. Сколько может быть номеров телефона, если известно, что они пятизначные? (Считается, что номера 00000 и 99999 возможны).

2.2. В хирургическом отделении работают 40 врачей. Сколькими способами из них можно организовать бригаду в составе хирурга и ассистента?

3.1 Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. какова вероятность того, что вытянутый студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

3.2 Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, окажется равной 8?

4.1. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует его внимание первый станок равна 0,7, второй - 0,75, третий- 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены потребует внимания рабочего какие-либо два станка.

5.1. В ящике содержится 12 деталей завода №1, 20 деталей завода №2, 18 деталей завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 отличного качества, равна 0,9; для деталей заводов №2 и №3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

6.1. В цехе имеется 125 станков, работающих независимо друг от друга. Каждый станок оказывается включенным 0,85 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся включенными не менее 100 станков?

Вариант 20

1.1. Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа. Событие А_i (i=1,2,3) – исправен i-й блок первого типа; В_j (j=1,2,3,4) – исправен j -й блок второго типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Найти выражение для события С, которое соответствует работе прибора.

2.1. Сколько существует различных семизначных номеров телефона? (Телефонный номер может начинаться с нуля).

2.2. На собрании присутствуют 40 человек. Необходимо избрать председателя, секретаря и двух членов президиума. Скольким числом способов это можно сделать?

3.1 В первом ряду театра сидят 3 женщины и 27 мужчин. Какова вероятность, что все три женщины сидят рядом?

3.2. Найти вероятность того, что среди 12 карт, вынутых из колоды в 36 карт, будет по 3 карты каждой масти?

4.1. Вероятность того, что книга имеется в фондах первой библиотеки, равна 0,5, второй - 0,7, третьей - 0,4. Определить вероятность наличия книги в фондах хотя бы одной библиотеки.

5.1. После предварительного контроля деталь проходит одну из трех операций обработки с вероятностью 0,25; 0,35; 0,40. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02, на второй-0,04 и на третьей - 0,05. Найти вероятность получения не бракованной детали после обработки.

6.1. При вращении антенны радиолокатора за время облучения точечной цели от нее успевает отразиться 5 импульсов. Найти вероятность обнаружения цели за один оборот антенны, если для этого необходимо получить не менее трех отраженных импульсов. Вероятность подавления импульса помехой равна 0,2. Подавление импульсов помехами происходит независимо друг от друга.

Вариант 21

1.1. Пусть А_i – событие, состоящее в том, что при i-м повторении эксперимента осуществилось событие А; В_mn – событие, состоящее в том, что при n первых повторениях эксперимента событие А осуществилось m раз. Выразить В₂₄ через А_i.

2.1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, если каждое из них можно использовать не более одного раза?

2.2. В ящике 12 деталей, из которых 4 окрашены. Скольким числом способов можно из ящика выбрать три детали таким образом, чтобы среди них было две окрашенных?

3.1 Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом их наугад собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово «книга»?

3.2 В играх на турнире по футболу участвуют 16 команд, которые будут распределены по жребию на две группы по 8 команд. Какова вероятность того, что две команды-победительницы прошлогоднего турнира войдут в одну группу?

4.1. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара /не возвращая вынутый шар в ящик/. Найти вероятность того, что оба шара белые.

5.1. Три самолета-штурмовика ведут огонь по наземной мишени, ориентируясь на команду «огонь», подаваемую с командного пункта. Вероятности попадания для каждого из самолетов равны соответственно 0,2, 0,4, 0,6. Команда «огонь» подается в два раза чаще первому самолету, чем второму и третьему в отдельности. Найти вероятность того, что мишень окажется непораженной.

6.1. Вероятность поражения цели стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 60 раз и не более 90 раз.

Вариант 22

1.1. Два шахматиста играют одну партию. Событие А – выиграет первый игрок, В – выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

2.1. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

2.2. Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вытаскивают 5 карт. Сколько существует таких наборов, в которых содержится три туза?

3.1 В ящике имеются 10 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимают 3 из них. Какой состав шаров по цвету извлечь наиболее вероятно?

3.2 Чему равна вероятность того, что два лица А и В окажутся рядом, если они рассаживаются вместе с 15 остальными произвольным образом в ряд из 17 мест?

4.1. В мешке смешаны нити, среди которых 30 % белых, а остальные

красные. Определить вероятность того, что вынутые на удачу две

нити будут одного цвета.

5.1. Попадание случайной точки в любую часть области S пропорционально площади этой части, а область S состоит из четырех частей, составляющих соответственно 50, 30, 12 и 8 процентов всей области. При испытании имело место событие А¸ которое происходит только при попадании случайной точки в одну из этих частей с вероятностями соответственно 0,01, 0,05, 0,2 и 0,5. В какую из частей области вернее всего произошло попадание?

6.1. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что а) в коробке не окажется бракованных сверл, б) число бракованных сверл окажется не более 3-х.

Вариант 23

1.1. Опыт – передача двух сигналов. Относительно перечисленных событий указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий:

А – хотя бы один сигнал искажен,

В – хотя бы один сигнал не искажен.

2.1. Сколько существует шестизначных чисел, делящихся, на пять?

2.2. Десять книг расставляются на одной полке. Сколькими способами их можно расставить так, чтобы при этом две определенные книги оказались рядом?

3.1 На первом курсе студенты слушают лекции по восьми предметам. Первого сентября в расписание включают 4 лекции по разным предметам. Какова вероятность того, что студент, не знающий расписания, угадает все предметы, по которым будут прочитаны лекции 1 сентября?

3.2 В партии из 26 калькуляторов имеется 6 неисправных. Из партии наугад выбирают 4 калькулятора. Какова вероятность того, что в числе отобранных четырех калькуляторов два будут исправными?

4.1. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

5.1. Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы: Н₁, Н₂, Н₃, Н₄. Согласно статистике, р(Н₁)=0,2; р(Н₂)=0,4; р(Н₃)=0,3; р(Н₄)=0,1. Обнаружено, что в ходе катастрофы произошло воспламенение горючего, причем вероятности воспламенения горючего по каждой из четырех гипотез, согласно той же статистике, соответственно равны 0,9, 0, 0,2, 0,3. Найти апостериорные вероятности гипотез.

6.1. На базе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин.

Вариант 24

1.1. Опыт – эксплуатируются два прибора в течение времени τ. Рассматривая события

А – ни один прибор не вышел из строя;

В – один прибор вышел из строя, а другой нет;

С – оба прибора вышли из строя,

ответить на следующие вопросы: образуют ли они полную группу; являются ли несовместными; являются ли равновозможными.

2.1. Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое изображалось бы тремя различными цифрами?

2.2. На станке должны быть последовательно обработаны пять различных деталей. Сколько вариантов должен проанализировать технолог для выбора наилучшей очередности их обработки?

3.1 Батарея из трех орудий ведет огонь по группе, состоящей из пяти целей. Орудия выбирают себе цели последовательно, случайным образом, при условии, что никакие два орудия стрелять по одной цели не могут. Найти вероятность того, что будут обстреляны цели с номерами 1, 2, 3.

3.2 Брошены две игральные кости одновременно. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

4.1. Вероятность того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны Р1 =0,8; Р2 = 0,4; Р3= 0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей.

5.1. Объект, за которым ведется наблюдение, может находиться в одном из двух состояний: Н₁ и Н₂; априорные вероятности этих состояний р(Н₁)=0,3; р(Н₂)=0,7. Имеются два источника информации, которые дают разноречивые сведения о состоянии объекта: первый источник сообщает, что объект в состоянии Н₁, второй – в состоянии Н₂. Первый источник вообще дает правильные сведения о состоянии наблюдаемого объекта в 90% случаев и только в 10% ошибается. Второй источник менее надежен: он сообщает правильные сведения в 70% случаев, а в 30% ошибается. На основе анализа донесений найти новые (апостериорные) вероятности состояний Н₁ и Н₂.

6.1. В некоторых районах летом в среднем 20% дней бывает дождливыми. Какова вероятность того, что в течение одной летней недели число дождливых дней будет не более четырех?

Вариант 25

1.1. Равны ли события А и В, если

а) ? б) А+С=В+С? в) АС=ВС?

2.1. Сколько различных трехзначных чисел может быть составлено из цифр 1; 2; 3; 4; 5, если в каждом числе нет одинаковых цифр?

2.2. Вам надо выбрать два факультатива из шести. Скольким числом способов это можно сделать, если занятия на двух факультативах начинаются с 10 часов, еще двух других – с 12 часов, а остальные не пересекаются во времени?

3.1 Из партии из 20 деталей, среди которых 2 бракованных, проверяют половину и признают годной всю партию, если среди проверенных изделий бракованных не более одного. Какова вероятность, что партия этих изделий будет признана годной?

3.2 8 шаров, пронумерованных от 1 до 8, находятся в урне. Наугад берутся два шара. Найти вероятность того, что на одном из шаров окажется число, большее чем 6, а на другом – меньшее чем 6.

4.1. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

5.1. Три стрелка готовятся к выстрелу. Каждый раз вызывается только один стрелок. Вероятность вызова на рубеж первого стрелка составляет 0,3; второго – 0,5 и третьего – 0,2, а вероятности попадания соответственно 0,4; 0,3; 0,5. Для уничтожения цели достаточно одного попадания. Какова вероятность того, что цель окажется поражённой?

6.1. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна р=0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

Вариант 26

1.1. Среди студентов, собравшихся на лекцию, выбирают наудачу одного. Пусть событие А заключается в том, что выбранный окажется юношей. Событие В – в том, что он играет на гитаре, а событие С – в том, что он живет в общежитии.

Описать событие АВС.

При каком условии будет иметь место тождество АВС=А?

Когда будет равенство А=В? Будет ли оно иметь место, если все юноши играют на гитаре?

2.1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 10⁴, в записи которых в десятичной системе все числа различны?

2.2. Из слова «дом» перестановками букв можно получить слова «дмо», «одм», «мдо», «омд», «мод», которые называют анаграммами. Сколько анаграмм можно получить из слова «полдень»?

3.1 Найти вероятность того, что среди трех выбранных наудачу цифр: а) все одинаковые; б) две одинаковые; в) все разные.

3.2 Из полной колоды карт (52 листа) наудачу извлекают три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

4.1. В студии телевидения имеется три телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

5.1. Передаваемое сообщение закодировано таким образом, что 1 соответствует передаваемое “тире”, а 0 – “точка”. На линию связи накладываются помехи таким образом, что искажаются сообщений “точка” и сообщений “тире”. Известно, что “точки” и “тире” встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принят сигнал “точка”.

6.1. Фабрика выпускает 75% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что из 300 изделий число первосортных заключено между 219 и 234?

Вариант 27

1.1. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события

В – обнаружен хотя бы один объект;

С – обнаружено не менее двух объектов;

Д – обнаружено ровно два объекта;

Е – обнаружено ровно три объекта;

F – обнаружены все четыре объекта.

Указать, в чем состоят события Д+Е+F, ВС.

2.1. Сколько существует различных трехцветных флагов с тремя вертикальными полосами одинаковой ширины, если можно использовать материю семи цветов?

2.2. Вам надо выбрать два факультатива из шести. Скольким числом способов это можно сделать, если два факультатива совпадают по времени?

3.1 Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайным образом на две части. Найти вероятность того, что в каждой части мужчин и женщин одинаково.

3.2 Десять студентов условились ехать с определенным электропоездом, но не договорились о вагоне. Какова вероятность, что ни один из них не встретится с другим, если в составе электропоезда 10 вагонов? Предполагается, что все возможности в распределении студентов по вагонам равновероятны.

4.1. На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых 3 женщины. В смену занято 3 человек. Найти вероятность того, что в случайно выбранной смене окажется мужчин не менее двух человек.

5.1. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями P1, P2, P3, где P1= P3=0,25; P2=0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1, 0,2, 0,4. Определить вероятность того что лампа проработает заданное число часов.

6.1. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух электроэлементов за год?

Вариант 28

1.1. Событие А – хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие В – бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события и ?

2.1. Сколько различных способов распределения шести пирожных между тремя людьми, если все пирожные разные?

2.2. Сколькими способами можно рассадить группу студентов из 25 человек в аудитории, имеющей 30 мест?

3.1 Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше, чем их произведение.

3.2 В урне находятся 5 белых, 8 черных и 7 синих шаров. Наугад извлекаются 4 шара. Найти вероятность того, что среди них 3 черных и один белый.

4.1. Найти наименьшее число монет, которое необходимо бросить, чтобы вероятность утверждения, что выпадет хотя бы один герб, превосходила 0,999.

5.1. У рыбака имеются три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещается с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью 0,6, на втором месте – с вероятностью 0,45, на третьем – с вероятностью 0,4. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

6.1. Если в среднем левши составляют 1%, каковы шансы на то, что среди 200 человек а) окажется ровно четверо левшей; б) найдется четверо левшей?

Вариант 29

1.1. Опыт – передача (в одинаковых условиях) трех сообщений разной длины. Рассматривая события

А – искажено первое сообщение;

В – искажено второе сообщение;

С – искажено третье сообщение,

ответить на следующие вопросы: образуют ли они полную группу; являются ли несовместными, являются ли равновозможными.

2.1. На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору, а потом спуститься с нее, если спуск и подъем происходит по разным дорогам?

2.2. В колоде 52 карты. Сколько существует возможных способа извлечь наугад из них три карты: «тройку», «семерку», «туза»?

3.1 Среди имеющихся 10 одинаковых по внешнему виду телевизоров половина неисправных. Наугад выбирают три телевизора. Какова вероятность того, что из 3 выбранных наугад телевизоров 2 окажутся исправными?

3.2 Определить вероятность того, что при одновременном подбрасывании двух игральных костей произведение выпавших очков равно 6.

4.1. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что эти четыре карты будут разных мастей.

5.1. Имеются две одинаковые урны. В первой урне находятся 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекается один шар. Он оказывается черным. Какова вероятность того, что он извлечен из первой урны?

6.1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Производится 100 выстрелов. Какова вероятность числа попаданий а) не менее 20, б) не больше 75, в) от 45 до 75.

Вариант 30

1.1. Опыт – бросание двух игральных костей. Относительно событий

А – на обеих костях шестерки;

В – ни на одной кости нет шестерки,

С – на одной из костей шестерка, на другой – нет, указать, образуют ли они в данном опыте полную группу.

2.1. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?

2.2. Восемь авторов должны написать книгу из 16 глав. Сколькими способами возможно распределение материала между авторами, если два человека напишут по три главы, четыре – по две, и два – по одной главе книги?

3.1 9 пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах. Найти вероятность того, что в один вагон сядут 4, в другой – 3 и в третий – 2 пассажира.

3.2 Четырехтомное сочинение стоит на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что номера томов образуют монотонную последовательность?

4.1. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга элементов. Вероятность безотказной работы первого элемента равна 0,85, второго-0,72. Определить вероятность безотказной работы прибора.

5.1. В ящике имелось 10 деталей первого сорта и 15 деталей второго сорта. Из ящика утеряны две детали, сорт которых неизвестен. Для определения сорта потерянных деталей из ящика наудачу извлекли две детали, которые оказались второго сорта. Определить вероятность того, что были утеряны детали второго сорта.

6.1. Вероятность приема отдельного радиосигнала равна 0,15. Прием ведется в течение времени, за которое радиосигнал подается 10 раз. Найти вероятность того, что принятых радиосигналов будет не менее 2 и не более 8.

Дата добавления: 2015-11-04