Розвязок нульового варіанту контрольної роботи.

Розвязок нульового варіанту контрольної роботи.

Завдання 1. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

- загальний інтеграл

- загальний розв’язок

Завдання 2. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Це лінійне неоднорідне диференціальне ріваняння першого порядку. Розв”яжемо відповідне йому однорідне рівняння.

Для неоднорідного рівняння загальний розв”язок має вигляд:

Диференцируя, отримаємо:

Для знаходження функції С(х), підставимо отримане значення в ісходне диференціальне рівняння:

Таким чином, загальний розв”язок:

Завдання 3. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Заміна змінної:

1)

Для розв”зку отриманого диференціального рівняння зробимо заміну змінної:

Враховуючи те, що , отримаємо:

Загальний інтеграл має вигляд:

2)

Таким чином, отримали два загальних розв”зка.

Завдання 4. Розв’язати задачу Коші:

Розв’язання:

Запишемо характеристичне рівняння для відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння:

Загальне рішення однорідного рівняння:

Тепер знайдемо часткове рішення неоднорідного рівняння у вигляді:

Скористуємося методом невизначних кофіцієнтів.

Підставляя в ісходне рівняння, отримаємо:

Частковий розв’язок має вигляд:

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння:

Завдання 5. Розв’язати систему:

Розв’язання:

Запишемо характеристичне рівняння:

Розв”яжемо систему рівнянь:

Для k₁:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Для k₂:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Загальний розв’язок системи:

Це завдання можливо розвязати іншим методом:

Продиференцируємо перше рівняння:

Підставимо в цей вираз похідну у¢ = 2 x + 2 y з другого рівняння.

Підставимо сюди у, виражене з першого рівняння:

Обозначив , отримуємо розв’язок системи:

Дата добавления: 2015-11-04