1. Понятие числового ряда. Необходимые признаки сходимости ряда. Простейшие свойства числовых рядов.

3 семестр 1 коллоквиум

Содержание варианта

1. Понятие числового ряда. Необходимые признаки сходимости ряда. Простейшие свойства числовых рядов.

2. Признаки сходимости знакоположительных рядов.

3 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

4. Функциональные ряды. Область сходимости, свойства.

5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда.

6. Разложение функций в степенные ряды.

7. Вопрос с доказательством.

Вариант 0

1. Найдите сумму ряда .

2. Исследуйте на сходимость ряд .

3. Из перечисленных ниже рядов условно сходятся ряды: А) ; В) ; С) ; D) ; E) нет правильного ответа.

4. Найдите все значения х, при которых ряд сходится абсолютно.

5. Найдите область сходимости степенного ряда

6. Сумма ряда равна: А) ; В) ; С) ; D) ; Е) нет правильного ответа

7. Признак сравнения для знакоположительного ряда в форме неравенства.

Список доказательств

1. Исследовать на сходимость геометрическую прогрессию при любом вещественном q.

2. Доказать, что ряд расходится.

3. Два необходимых признака сходимости ряда.

4. Признак сравнения для знакоположительного ряда в форме неравенства.

5. Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость ряд при любом значении α (см. задачник, пример 10, с.197).

6. Доказать, что если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то он сходится.

7. Теорема Абеля.

8. Доказать, что разложение функции в степенной ряд единственно.

9. Получить разложения по степеням х для функций для функций .

Ответы на вопросы варианта 0

1. Найдите сумму ряда .

►Данный ряд является геометрической прогрессией. Известно, что ряд сходится при к сумме . В данном случае , , поэтому .◄

2. Исследуйте на сходимость ряд .

►Исследование проведём с помощью радикального признака Коши (см.). Имеем:

,

так как , , а . Поскольку то данный ряд сходится по радикальному признаку Коши.◄

3. Из перечисленных ниже рядов условно сходятся ряды: А) ; В) ; С) ; D) ; E) нет правильного ответа.

► А) . Поскольку , то . Составим ряд из модулей членов данного ряда: . Полученный ряд с положительными членами исследуем на сходимость с помощью интегрального признака Коши (см.). Для этого рассмотрим функцию , которая при даёт выражение для общего члена этого ряда. Выбранная функция является непрерывной и монотонно убывающей при , тогда по интегральному признаку Коши указанный ряд и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно. Имеем: = . Таким образом, несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд . Приходим к выводу, что данный ряд абсолютно не сходится. Для исследования на условную сходимость применяем признак Лейбница, так как данный ряд является знакочередующимся (см.). Поскольку для модуля общего члена имеем равенство: , а дробь монотонно убывает с ростом , то данный ряд сходится условно по признаку Лейбница.

В) . Составим ряд из модулей членов данного ряда: . Ряд из модулей членов данного является обобщённо гармоническим рядом вида при . Известно, что

при ряд сходится, поэтому данный ряд сходится абсолютно.

С) . Составим ряд из модулей членов данного ряда: и исследуем на сходимость полученный ряд с положительными членами с помощью интегрального признака Коши. Для этого рассмотрим функцию , которая при даёт выражение для общего члена этого ряда. Выбранная функция является непрерывной и монотонно убывающей при ( при ), тогда по интегральному признаку Коши указанный ряд и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно. Имеем: – интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится по интегральному признаку Коши. Таким образом, ряд абсолютно не сходится. Этот ряд сходится условно по признаку Лейбница, поскольку модуль его общего члена стремится к нулю, монотонно убывая (см. выше).

D) . Это рядс положительными членами, поэтому понятие условной сходимости для него не рассматривается. Ответ: А); C).◄

4. Найдите все значения х, при которых ряд сходится абсолютно.

►Имеем: неравенство верно для N и R. Поскольку ряд сходится как обобщённый гармонический ряд при , то данный функциональный ряд сходится абсолютно на всей вещественной оси. Ответ: .◄

5. Найдите область сходимости степенного ряда

►Члены ряда определены на всей вещественной оси, в каждой её точке данный ряд превращается в числовой ряд. Проведём исследование на абсолютную сходимость, для этого рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: и применим признак Даламбера. Имеем: (после сокращения множители, не зависящие от n, вынесены за знак предела). В соответствии с признаком Даламбера:

– ряд сходится,

– ряд расходится,

–?.

Разрешим относительно х первое неравенство:

.

Таким образом, на интервале данный степенной ряд сходится абсолютно, за пределами отрезка расходится. Осталось провести исследование на сходимость на концах интервала сходимости.

Пусть , подставим это значение х в данный ряд: . Полученный числовой ряд абсолютно не сходится, поскольку ряд из модулей его членов: расходится (см., например, лекции). Но этот ряд сходится условно по признаку Лейбница, так модуль его общего члена при стремится к нулю, монотонно убывая.

Пусть , подставим это значение х в данный ряд: . Полученный числовой ряд, как выше упомянуто, расходится.

Таким образом, полуинтервал – область сходимости данного ряда, причём на интервале он сходится абсолютно, а точке – условно. ◄

6. Сумма ряда равна: А) ; В) ; С) ; D) ; Е) нет правильного ответа.

►Имеем:

, (1)

, x = (-¥, +¥). (2)

А) Сравнив ряды (1) и (2), приходим к выводу, что ряд не может сходиться к .

В) Используя ряд (2), приходим к равенству: , . Очевидно, что ряд из правой части последнего равенства не совпадает с рядом (1).

С) Используя ряд (2), приходим к равенству: . Очевидно, что ряд из правой части последнего равенства не совпадает с рядом (1).

D) Используя ряд (2), приходим к равенству: . Полученный ряд совпадает с рядом (1).

Ответ: D).◄

---

Дата добавления: 2015-11-04