|
Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса
2010 – 2011 учебный год
(5 баллов)
(6 баллов)
(6 баллов)
(7 баллов)
(7 баллов)
(9 баллов)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса
2010 – 2011 учебный год
1. Решите уравнение:
(5 баллов)
(6 баллов)
(6 баллов)
(7 баллов)
(7 баллов)
(9 баллов)
Решения и ответы
Задание 1. (5 баллов) Решите уравнение:
Решение. ОДЗ: все значения переменной, кроме 3 и -3.
Преобразуем данное уравнение к виду
Ответ: 0; 4.
Задание 2. (6 баллов) Найдите значение выражения соs260ºsin130ºcos160º.
Решение.
соs260ºsin130ºcos160º=cos(270º-10º)sin(180º-50º)cos(180º-20º)=sin10ºsin50ºcos20º= =0,5(cos40º-cos60º)cos20º = 0,5·(cos40º- 0,5)cos20º = 0,25·(2cos40º -1)cos20º= =0,25·(2cos40ºcos20º-cos20º)=0,25·(cos20º+cos60º-cos20º)=0,25cos60º=0,25·0,5=0,125.
Ответ: 0,125.
Задание 3. (6 баллов) В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см и 4см, вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.
Решение:
Площадь четырехугольника найдем по формуле S = p ∙ r, где p – полупериметр четырехугольника, r – радиус вписанной окружности. Так как в четырехугольник вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна, т.е. 2 + 4 = 3 + х, где х – четвертая сторона. Отсюда х = 3см. Тогда p = ½ (2 + 3 + 3 + 4) = 6см. По условию r = 1,2 см. Таким образом, S = 6 ∙ 1,2 = 7,2 см².
Ответ: 7,2 см2.
Задание 4. (7 баллов) Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения
(а – 2)х2 – 2ах + а + 3 = 0 положительны. В ответе записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих условию |а| ≤ 10.
Решение:
Заметим, что заданное уравнение не для всех значений а является квадратным. При а = 2 это уравнение первой степени - 4х + 5 = 0, которое имеет положительный корень х = 1,25. Следовательно, значение а = 2 удовлетворяет условию задачи.
При а ≠ 2 данное уравнение является квадратным.
Чтобы корни рассматриваемого уравнения были положительны, необходимо выполнение условий .
Кроме того, нужно чтобы дискриминант исходного уравнения D = (2а)2 – 4(а – 2)(а + 3) = 4(6 – а) был неотрицательным. Получим а (-∞;6].
Общая часть полученных интервалов а ∈ (-∞;-3) ∪ (2;6]. Учитывая значение а = 2, полученное при рассмотрении линейного уравнения, находим окончательно а (-∞;-3) ∪ [2;6].
Условию |а| ≤ 10 соответствует а [-10;10]. Выпишем целые значения параметра а, удовлетворяющие полученному решению и указанному условию: {-10; -9; -8; -7; -6; -5; -4; 2; 3;4; 5; 6} – таких значений оказалось двенадцать.
Ответ: 12.
Задание 5. (7 баллов) Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.
Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
Показать решение
Решение: Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, - это 498.
Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.
Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300. В результате у него будет 498 долларов.
Задание 6. (9 баллов) В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать!
Решение:
Двузначные числа, делящиеся на 17 - это 17, 34, 51, 68, 85.
Двузначные числа, делящиеся на 23 - это 23, 46, 69, 92.
По условию задачи выписываем после цифры 3 такую цифру, чтобы образовавшееся двузначное число делилось на 23 или на 17. Это может быть только цифра 4 (т.к. 34 делится на 17, других двузначных чисел, где цифра десятков 3, делящихся на 17 или 23, нет). После цифры 4 может быть только 6, а после 6 может быть 9 или 8.
Рассмотрим первый случай, когда после цифры 6 запишем цифру 9. Тогда получим последовательность 34692│34692│34692…. Замечаем, что цифры с периодом Т = 5, повторяются. Всего цифр по условию задачи 2007, значит 2007: 5 = 401 (остаток 2). Поэтому в этом случае на последнем месте будет стоять вторая цифра из периода – это цифра 4.
Рассмотрим второй случай, когда после цифры 6 запишем цифру 8, тогда получим 3468517, а дальше ряд обрывается, т.к. нет двузначного числа, делящегося на 17 или 23, где цифра десятков равна 7. Но эта цепочка цифр может заканчивать последовательность 346992│34692│…..34685│17 и тогда на последнем месте будет цифра 7.
Ответ: 4 или 7.
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 33 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Предмет «Окружающий мир» изучается в начальной школе с 1 по 4 класс. Особое значение данного предмета заключается в формировании у детей 6—10 лет целостного и системного представления о мире и месте | | | Всі програми показуються в емоційно вражаючому сферичному форматі на внутрішній поверхні купола планетарію, що створює глядачам ефект занурення в події, що розгортаються всередині купола, будить |