1.Две матрицы А и В называются равными (А-В), если они

1.Две матрицы А и В называются равными (А-В), если они

имеют одинаковую размерность, т.е. одинаковое количество строк и столбцов, и их соответствующие элементы равны.

Матрица, состоящая из одной строки (т = 1), называется

матрицей-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца (п = 1) матрицей-столбцом.

Квадратной называется матрица, в которой число строк равно числу столбцов (т = п). Порядком квадратной матрицы называется число её строк или столбцов.

Единичной называется квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е.

Произведением матрицы А на число X называется матрица Bm,n=A*Cm,n, элементы которой равны произведению числа А, на

соответствующие элементы матрицы C.

Суммой двух матриц АиБ называется матрица той же размерности Сm,n=Am,n+Bm,n элементы которой равны сумме соответствующих элементов матрица АиБ.

2.Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. В результате перемножения двух матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов - числу столбцов второй матрицы.

Разменрность: Число mxn-количество элементов матрицы называется размерностью матрицы.

3.Каждой квадратной матрице соответствует определённая числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом). Определитель матрицы А обозначается символом |A|.

4.Минором Mij элемента Aij. определителя N-то порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного определитсяя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

При транспонировании магрицы её определитель не изменяется.

Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

При перестановке местами двух строк или с толбцов определитель меняет знак на противоположный.

Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

Определитель, содержащий две одинаковых строки (столбца) равен нулю.

Определитель, содержащий две пропорциональных строки \ (столбца), равен нулю.

5.равило Сарруса называют также правилом треугольников Оно применяется только к определителям третьего порядка.

Суть этого правила состоит в следующем. Сначала со знаком «+» берётся произведение элементов главной диагонали. Затем также с плюсом перемножаются элементы, стоящих на диагонали, параллельной главной диагонали: аи и агъ | это произведение домножаегся на противоположный угловой элемент аъх. Так же составляется произведение Аналогично, со знаком «-» перемножают элементы другой (побочной) диагонали и элементы, параллельные побочной диагонали, умноженные на оставшиеся угловые элементы. Все полученные произведения складывают. Правило называется правилом треугольников потому, что любые два элемента, параллельные диагонали и элемент, расположенный в противоположном углу, являются вершинами треугольника.(Правило Сарруса для вычисления определителей

третьего порядка).

Tеорема разложения. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Теорема аннулирования. Сумма произведений элементов любой строки на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

6.Теорема Крамера. Если определитель системы линейных уравнений (1.6.3) отличен от нуля, то она имеет решение, и притом единственное.определитель, получаемый из определителя А заменой к -го столбца столбцом свободных членов.Определитель А называется главным определителем системы, а определители А1,А2,...,Аn - частными определите лями.

7.Элементарные преобразования:1) перестановка строк; •

2) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

3) отбрасывание строки, полностью состоящей из нулей;

4) прибавление к одной строке другой строки, умноженной й произвольное число.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. При помощи элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе трапециевидной формы (под главной диагональю соответствующей расширенной матрицы должны стоять только нули). Из этой системы последовательно, начиная с последнего уравнения, находятся все переменные. Переход от системы к равносильной ей системе называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из трапециевидной системы - обратным ходом.

Элемен тарные преобразования удобно проводить не с самими уравнениями, а со строками расширенной матрицы системы. А. Матрицы, получающиеся одна из другой при элементарных преобразованиях, называются эквивалентными.

8.Матрицей В называется обратной к квадратной матрице А, или АВ=ВА=Е, где Е- соответствующая еденична матрица.Обозначение А(в минус первой).Если detA(!=)0, то существует А(в минус первой).

9.Минором матрицы Мк называется определитель Ак порядка составленный из эл-ов матрицы, стоящих на пересечении л.бых к строк и к столбцов.

В отличии от М отпределителя, имевшего два индекса, Мк-матрицы имеет один индекс, называющий его порядком.

Для нахождения ранга матрицы её нужно свести к трапецевидной (треуг) форме.

Кроникер-каппели.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестн

10.Для данной матрицы A,?(?) = det(A??E), где Е — единичная матрица, является многочленом от?, который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение Av =?v имеет не нулевое решение, то (A??E)v = 0, значит матрица A??E вырождена и ее определитель det(A??E) =?(?) равен нулю.

n=2 1(?)=(-1)?^2+(-1)^(2+1)(a11+a22)?^(2-1)+...|A|=?^2-(a11-a22)?+...+|A|;1(?)=?^2-spA*?+detA

n=3

1(?)=-?^3+(a11+a22+a33)?^2+...+|A|;1(?)=(-?)^3+spa?^2-(M11+M22+M33)+detA

11.собственные значения и собственные векторы.

Любой нулевой вектро х, удовелтворяющий условию АХ+?Х, называется собственным вектором линейного преобразования А или матрицы А.Число? назыывается собственным значением(характеристическим числом)А.Собственные значения? является корням характерестического многочлена Р(?)=|А-?Е|.Есди каждое собственное значение преобразования А является корнем характерестического многочлена, то и каждый корень характерестического многочлена преобразования А будет его собственным значением.следует отметить, что любая квадратная матрица является "корнем" своего характерестического многочелна, т.е. 1(А)=0, здесь под нулем понимается нулевая матрица.

НАХОЖДЕНИЕ.

По определению собственный вектор -это Х, удовлетворяющий равенству АХ+?Х, где А-нв матрица, а?-собственное значение этой матрицы.

Х-нулевой вектор.

АХ-?Х=0

(А-?Е)Х=0(Х!=0)

А-?Е=0

пусть А=(а11а12)

(а21а22);?=?1?=?2

А-?Е=0

А-?Е=(а11-? а12) = (00)

(а21 а22-?) (00)

12.

пусть для квадратной матрица А существует вектро Х и число?, такие что выполняется равенство АХ=?Х, тогда х называется собственным вектором, а?-собвственным значением матрица А.

Теорема1.

Собственное значение матрицы является корнями ее характерестичесого многочлена.

теорема2.

Сумма собственных значений матрцы равна ее следу, а их произведение равно ее определителю.

Теорема3

Любая квадратная является корнем своего характерестического многочлена.

Здесь имеется виду асширение понятия корня многочелна.

13.

Координатной осью(числовой осью. или просто осью) называется прямая, накоторой установлены начало отсчета, положительно направление или масштаб.

Равные (свободные) векторы — Векторы, которые коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевых коллинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы?>a,?>b и?>c называются компланарными, если существует плоскость, которой они

параллельны.

Длина вектора, модуль (абсолютная величина): |AB| |a|

Единичный вектор, или Орт — вектор, норма (длина) которого равна единице выбранного масштаба.

14.Декартова система координат на плоскости

Две взаимно перпендикулярные оси с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову систему координат на плоскости. Первую из указанных осей обозначают Ох и называют осью абсцисс, вторую обозначают Оу и называют осью ординат. Положение любой точки М на координатной плоскости однозначно определяется её координатами: абсциссой х и ординатой у. Если абсцисса точки М равна х, а ордината - у то пишут: М(х; у).

Радиус-вектор (обычно обозначается или просто) — вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

15.Правило вычитания векторов можно сформулировать следующим образом. Чтобы вычесть из одного вектора (а) другой (Ь) нужно эти векторы свести к общему началу, а концы соединить вектором, который и будет являться разностью причём конец нового вектора должен быть направлен к уменьшаемому (а).

Векторы складываются по правилу многоугольника начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего параллельным переносом. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, является суммой данных векторов.

Умножение вектора а на скаляр m даёт вектор, модуль которого в m раз отличается от модуля вектора а, и направленный в сторону а, если m > 0 и в противоположную, если m < 0.

СВОЙСТВА БЛЯТЬ.

Переместительный,сочетательный,распределительный.

16.Проекция точкни на прямую называется точка пересечения перпендикуляра, проведенного из данной точки на данную прямую.

Определение. Проекцией вектора а на вектор - б

называется число, которое находится по следующему правилу:

1)его модуль равен расстоянию между проекциями начала и конца вектора а на прямую, на которой лежит вектор б;

2)знак этого числа "+", если угол между векторами а и б, и "-" если тупой.

СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ

1)Прроекция вектора а на вектор б равна произведению модуля вектора а на косинус угла между ними.

2)Проекция вектора а на ось х равна разности координат х2-х1 конца и начала вектора.

3)ПРоекция суммы векторов на вектор(или ось) равна сумме проекций на этот вектор (или ось)

слагаемых векторов.

4)Числовой множитель можно вынести за знак проекции.

17.Линейной комбинацией векторов а1,а2,...,аn называется сумма произведений вида

?1а1+?2а2+...+?nАn, где?ы вещественные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. 17го ВОПРОСА У ЛЕНЫ НЕТ

18.Ортонормированный базис (ОНБ) в трёхмерном пространстве - это совокупность единичных векторов (ортов) Ц* осей ОХ, ОУ, 02 прямоугольной правой системы координат.

Координаты вектора совпадают с его проекциями на координатные орты(оси координат).

19.Моудль это длина вектора.Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора а и вектора б является существование такого числа х, которое удовлетворяет равенству б=х*а.

Читай. 15<<<<(слож выч векторов, умнож на скаляр)

20.Задать координаты вектора.

Задать координаты начала, координаты конца.

Геометрически, когда нет координат - задать точку начала, точку конца.

Направляющие косинусы вектора (в пространстве) – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам.

21.Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

СВойства скалярного произведения:коммуникативность, дистрибутивность(а(б+с)=аб+ас),скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора,условие ортонормированности векторов(ортонормированность это более широкое понтие, чем перпендикулярность а(перпендикулярно)б<=>а*б=0(надо чтобы скалярное проихведение было равно нулю)

22.Скалярное произведение НЕ НАШЕЛ!!!!

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

23.Тройкой векторов называется совокупность трех не коллинеарных векторов сведенных к общему началу и рассматриваемых в определнном порядке.

Векторное произведение двух векторов а и б называется вектор Д, обладающий тремя свойствами:

1)он ортогонален и а и б

2)он направлен так, что тройка а.б,д правая.

3)его длина равно произведению длины а и б и на синус угла между ними.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

S(паралелограмма)=|a|*h=|f|*|b|*sin(альфа)

Таким образом длина векторного произведения численно равна площади паралелограмма, построенного на исходных векторах.

МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

СВОЙСТВА

1)антикоммутативность а*б=-а*б

2)дистрибутивность

3)асаициатвность(?) относительно скаляра

4)асаициатвность(?) (а*б)*с(!=)ф*(б*с)

5)а||б <=> a*b=0

6)а*а=0(т.к. а||а)

7)вектторное произведение координатных ортов

24.

25.

26.

условие абс=0 (а*(б*с)=0)

27.

28.

А(х-х0)+б(у-у0)=0

n-нормальный вектор прямой l или нормой

2)Ах+Бу-Ах0-Бу0=0

Ах+Бу-С=0

Повиду общего уравнения прямой можно сразу увидеть координаты нормали.

3)Нормаль к прямой -прямая проходящая через току и перпендикулярна к касательной прямой.

29.Если в общем уравнении прямой касательной прямой.

Ах + Ву + С = 0

один или два из трёх коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1) С = 0; уравнение имеет вид Ах +By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2) B = 0 (A?0); уравнение имеет вид Ах + С = 0 и определяет прямую,

перпендикулярную к оси Ох. Это уравнение может быть записано в виде х = а, где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала координат.

3) B = 0, С = 0 (A?0); уравнение может быть записано в виде х = 0 и определяет ось ординат.

4) А=0 (B?0); уравнение имеет вид By + С = 0 и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может быть записано в виде y = b, где является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

5) А = 0, С = 0 (B?0); уравнение может быть записано в виде у = 0 и определяет ось абсцисс.

Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

где и суть величины отрезков, которые отсекает прямая

на координатных осях.

Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».

Если две прямые даны уравнениями

A1 + B1 y + C1 = 0,

то могут представиться три случая:

а) — прямые имеют одну общую точку;

б) — прямые параллельны;

в) — прямые сливаются, т. е. оба уравнения

определяют одну и ту же прямую.

30.Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть S={m,n} - направляющий вектор прямой проходящей через точку Мо(Хо,Уо).Рассмотрим вектор МоМ={Х-Хо,У-Уо} где М(х,у)произвольная точка плоскости.Имеем

-------->S

_____.Mo_______>M______l

М(х,у)пренадлежит l <=> МоМ||S<=>(X-Xo)/m=(Y-Yo)/n

таким образом:(X-Xo)/m=(Y-Yo)/n уравнение прямой проходящей через току (Хо,Уо) и имеющей направляющий вектор {m,n}.Уравнение называется каноническим уравнением прямой.

Замечание:Равенство следует понимать в смысле выполнения пропорции.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. Они имеют механический смысл: если параметр t рассматривать как время, а x, y, z — как координаты материальной точки, то параметрические уравнения описывают равномерное прямолинейное движение точки со скоростью > v = {l, m, n}, (x0, y0, z0) —начальное положение точки (при t = 0).

31.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A1x + B1y + C1 = 0,

A2x + B2y + C2 = 0, (6)

угол между ними определяется по формуле

tg(F)=(A1B2-A2B1)/(A1A2+B1B2)

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k1 = k2.

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

А1/А2=В1/В2

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

к=-1/к1

32. Расстояние от точки до прямой.

Деление отрезка в данном отношении.

Нахождение точки:

33. 34.

35.

B=C=D=0 => Ax=0 является координатной плоскостью Oyz.

Если же общее уравнение плоскости является полным(т.е. ни один из коэффициентов не равен 0), его можно привести к виду:

x/a+y/b+z/c=1 называемому уравнением в отрезках; параметры a,b,c равны велечинам отрезков, онсекаемых плоскостью на координатных осях

36/.

выведением уравнение плоскости А, проходящей через три точки М1(х1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), не лежащие на одной прямой (рис.24).пусть М(х,y,z) произвольная точка пространства.Рассмотрим векторы М1М = {x-x1,y-y1,z-z1}, M1M2 = {x2-x1,y2-y1,z2-z1} и М1М3 = {x3-x1,y3-y1,z3-z1} Имеем: М принадлежит А следовательно М1М,М1М2 и М1М3 комплонарны следовательно их смешанное произведение равно нулю.Это можно записать в виде определителя третьего порядка(рис.25)

Таким образом (рис 25)-это уравнение плоскости,проходящей через три заданые точки.

Пример: Написать уровнение плоскости проходящей через точки М1(1,0,0), М2(0,2,0),М3(0,0,3)

Решение: по формуле (рис25) запишем уравнение искомой плоскости (рис 26)

Разложим определитель по первой строке:

6(х-1)+3у+2z=0 следовательно 6x+3y+2z-6=0

получим общее уровнение плоскости.Напишем уровнение отрезках

x/1-y/2+z/3=1

Дата добавления: 2015-11-04