Модуль 3.8.2. Методичні вказівки. Індивідуальне завдання №2

Модуль 3.8.2. Методичні вказівки. Індивідуальне завдання №2

Задача 1.

В кожному із 11 незалежних випробувань подія А відбувається з ймовірністю 0,31. Обчислити ймовірність (К), де , – найімовірніше число успіхів.

Розв'зок:

, де

– єдине ціле число, що задовільняє нерівність є , отже

За теоремою Бернуллі:

За біномним розподілом:

Відповідь: 0,54

Задача 2.

В кожному із 800 незалежних випробувань подія А відбувається з ймовірністю 0,55. Знайдіть ймовірність того, що подія А відбудеться:

а) точно370 разів;

б) не більше, ніж 370 і не менше, ніж 320 разів;

в) більше, ніж 370 разів.

Розв'язок:

а) Оскільки в умові задачі n досить велике, для обчислення ймовірності того, що подія А відбудеться точно 370 разів використаємо вокальну теорему Муавра-Лапласса:

, де - функція Гауса

, оскільки , то

Оскільки функція - парна, то

Отже, використовуючи таблицю значень функції Гауса

Відповідь:

б) , де знайдемо за формулою

З пункта а :

, оскільки функція непарна.

Відповідь: 0

в) Оскільки взагалі проводиться 800 випробувань, то нас цікавить проміжок від 370 до 800.

Аналогічно пункту б.

Відповідь:

Задача 3.

В схемі Бернуллі ймовірність появи події А дорівнює 0,41. Знайдіть ймовірність того, що подія відбудеться:

а) точно 320 разів;

б) точно 290 разів;

в) не менше, ніж 350 і не більше, ніж 290 разів;

г) менше, ніж 335 разів.

Розв'язок:

а) за теоремою Локальної теореми Муавра-Лапласа.

,де функція – функція Гауса

Відповідь:

б) аналогічно пунктуа:

Відповідь:

в) , де

Відповідь: 0

г) За інтегральною теоремою Муавра-Лапласса

Відповідь:

Задача 4.

На телефонній станції помилкове з'єднання відбувається з ймовірністю 0,0008. Знайдіть ймовірність того, що серед 4800 з'єднань має місце:

a) Точно 1 помилкових з'єднань;

b) Менше ніж 7 помилкових з'єднань;

c) Більше ніж 4 помилкових з'єднань.

Розв'язок:

а) Оскільки ймовірність появи події А досить маленька, використовуємо теорему Пуассона:

, де

За таблицею значень функції Пуассона:

b) За Пуассонівським розподілом:

Відповідь:

с)

Відповідь:

Задача 5.

В кожному з 500 незалежних випробувань, подія А відбувається із ймовірністю 0,84. Знайти ймовірність того, що відносна частота цієї події відрізняється за абсолютною величиною від ймовірності 0,84 не більше, ніж на 0,0054>0 (0,0108>0).

Розв'язок:

I спосіб:

Використовуємо перетворену теорему Лапласса:

Використовуючи чаблицю значень функції Лапаласса

II спосіб

Звідси:

Отже, ; використовуючи інтегральну теорему Муавра-Лапласса:

, при ;

Задача 6

Випадкова величина Х задана законом розподілу:

X
P	0.111	0.143	0.496	0.25

Знайдіть інтегральну функцію розподілу F(x) випадкової величиниХ і побудуйте графік. Знайдіть математичне сподівання М(Х), дисперсію D(X), середньоквадратичне відхилення.

Розв'язок:

Використовуючи закон розподілу дискретної величини:

1)

, за формулою інтегральної випадкової величини:

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

Графік розриву в точках, які співпадають із значеннями данної величини.

Інтегральна функція нормального розподілу має вигляд:

, де ,

за формулою

Задача 7.

Випадкова величина X задана функцією щільності ймовірності

Знайдіть функцію (інтегральну) розподілу F(x) випадкової величини X. Побудуйте графіки функцій f(x) і F(x). Обчисліть числові характеристики M(X), D(X), σ(X), моду та медіану.

Функція зростає на проміжку

Задача 8.

Випадкову величину X задано інтегральною функцією розподілу:

Знайдіть функцію щільності ймовірності розподілу ймовірності f(x) випадкової величини X. Побудуйте графіки функцій f(x) і F(x). Обчислить числові характеристики випадкової величини X, а саме: M(X), D(X), σ(X).

Розв’язок:

Звідси функція щільності розподілу ймовірностей:

Задача 9.

Випадкова величина X розподілена за нормальним законом N (10;4). Знайдіть ймовірність того, що ця випадкова величина набуває значення:

А) в інтервалі

Б) менше за 9;

В) більше за 12.

Яке відрізняється від свого середнього значення за модулем не більше ніж на 1.

Розв’язок:

Оскільки функція Лапласа – непарна, то

Задача 10.

Задано випадкову величину Х, яку розподілено за нормальним законом,

і точки -9, -4, 1, 8, 14, х₆ = на числовій осі. Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х набуває значення в отриманих шести інтервалах числової осі.

Розв'язок:

Знайдемо ймовірність того, що нормальна розподілена величина Х прийме значення на кожному з інтервалів числової прямої з точками -9, -4, 1, 8, 14.

Дата добавления: 2015-11-04