1. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет

Вариант 4

1. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет

1) хотя бы один раз;

2) не менее 2-х раз и не более 3-х раз.

Решение.

Опыт удовлетворяет схеме Бернулли.

Пусть успехом будет событие выпадения «герба» при одном бросании, тогда:

, где n – количество испытаний, m – количество успехов.

Согласно условию задачи:

1) вероятность того, что "герб" выпадет хотя бы один раз.

2) вероятность того, что "герб" выпадет не менее 2-х раз и не более 3-х раз.

Ответ: .

2. Из букв разрезной азбуки составлено слово "определение". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем часть их собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что

1) буква "е" появится раньше "о";

2) у него получится слово "деление".

Решение.

1) вероятность того, буква "е" появится раньше "о".

Т. к. в слове "определение" 4 буквы "е" и 1 буква "о", то используя классическое определение вероятности, получаем вероятность заданного события А:

2) вероятность того, что у него получится слово "деление".

Всего количество различных размещений из 11 букв по 7 равно:

В слове "определение" четыре буквы "е", в слове "деление" три буквы "е", следовательно, всего способов, которыми может быть составлено слово "деление", равно:

.

Используя классическое определение вероятности, получаем вероятность заданного события В:

Ответ: .

3. Группа студентов состоит из 5 отличников, 10 хорошо успевающих, 15 занимающихся слабо. Отличники на экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад два студента. Найти вероятность того, что

1) среди них окажется хотя бы один хороший студент;

2) были вызваны один слабый студент и один отличник, если они получили удовлетворительную и отличную оценки.

Решение.

1) вероятность того, что среди них окажется хотя бы один хороший студент.

Пусть А - событие, что среди выбранных окажется хотя бы один хороший студент.

Всего студентов 30, из них 20, либо отличники, либо занимаются слабо.

Число сочетаний из 30-ти студентов по 2 равно:

Число сочетаний из 20-ти студентов по 2 равно:

Используя классическое определение вероятности, получаем:

2) вероятность того, что были вызваны один слабый студент и один отличник, если они получили удовлетворительную и отличную оценки.

Пусть В - событие, что студенты получили удовлетворительную и отличную оценки, - события, что были вызваны, соответственно:

два занимающихся слабо;

один хорошо успевающий и один занимающийся слабо;

один отличник и один занимающийся слабо;

два хорошо успевающих;

один хорошо успевающий и один отличник;

два отличника.

Согласно условия:

Вероятность события В, с учетом того, что событие произошло:

Вероятность события В, с учетом того, что событие произошло:

Вероятность события В, с учетом того, что событие произошло:

Используя формулу полной вероятности, получаем:

Ответ: .

4. Автомобиль едет по маршруту, на котором установлено 8 независимо работающих светофора. Каждый светофор с интервалом в 1.5 мин подает красный и зеленый сигналы. Найти среднее значение и стандартное отклонение числа остановок автомобиля на этой улице. Найти функцию распределения указанной случайной величины и построить ее график.

Решение.

Случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Опыт удовлетворяет схеме Бернулли.

Пусть успехом в схеме Бернулли будет событие, остановки автомобиля на одном светофоре:

, где , а m – количество успехов.

Тогда:

Таким образом, закон распределения случайной величины Х:

Х
Р	0,004	0,031	0,109	0,219	0,273	0,219	0,109	0,031	0,004

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Функция распределения выглядит следующим образом:

График функции распределения:

5. Рост женщины в некоторой местности является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 25 см². Считая, что средний рост равен 168 см, найти вероятность того, что наугад выбранная женщина будет иметь рост

1) от 163 до 166 см;

2)более 166 см. Записать нормальный закон.

Решение.

Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины, равна:

Параметры распределения:

Тогда:

Функция распределения нормально распределенной случайной величины:

, где Ф – функция Лапласа.

1) вероятность того, что женщина будет иметь рост от 163 до 166 см.

Вероятность попадания случайной величины распределенной по нормальному закону в интервал равна:

2) вероятность того, что женщина будет иметь рост более 166 см.

Ответ: .

6. Задан закон распределения системы двух дискретных случайных величин (X, Y).

Y\X
	0,1	0,2	0,15
	a	0,15	0,25

6.1. Найти постоянную а.

6.2. Составить ряд распределения дискретной СВ X и построить полигон распределения.

6.3. Вычислить вероятности событий А={Х<4} и В={Х 4}.

6.4. Найти среднее значение СВ X.

6.5. Найти математическое ожидание функции СВ U=X-5X+3.

6.6. Найти степень разбросанности СВ X относительно ее среднего значения.

6.7. Найти дисперсию функции СВ U=X-5X+3.

6.8. Найти ковариацию СВ X и У. Что означает положительная ковариация?

6.9. Найти коэффициент корреляции СВ X и У. Может ли коэффициент корреляции равняться 2?

6.10. Найти коэффициент корреляции СВ X и V=-6+2X.

Решение.

6.1. Найти постоянную а.

Т. к. сумма вероятностей возможных значений пар равно единице, то:

6.2. Составить ряд распределения дискретной СВ X и построить полигон распределения.

Дополним таблицу данными законов распределения случайных величин X и Y:

Y\X				PY
	0,1	0,2	0,15	0,45
	0,15	0,15	0,25	0,55
PX	0,25	0,35	0,4

Т. е. ряд распределения дискретной СВ X:

X
PX	0,25	0,35	0,4

Полигон распределения:

6.3. Вычислить вероятности событий А={Х<4} и В={Х 4}.

6.4. Найти среднее значение СВ X.

6.5. Найти математическое ожидание функции СВ U=X-5X+3.

6.6. Найти степень разбросанности СВ X относительно ее среднего значения.

6.7. Найти дисперсию функции СВ U=X-5X+3.

6.8. Найти ковариацию СВ X и У. Что означает положительная ковариация?

Положительная ковариация случайных величин означает, что отклонение одной из этих случайных величин в большую сторону от своего среднего значения вызывает отклонение другой случайной величины от ее среднего значения, также скорее в большую сторону, чем в меньшую.

6.9. Найти коэффициент корреляции СВ X и Y. Может ли коэффициент корреляции равняться 2?

Коэффициент корреляции СВ X и Y, равен:

Одно из основных свойств коэффициента корреляции:

Следовательно, коэффициент корреляции не может равняться 2.

6.10. Найти коэффициент корреляции СВ X и V=-6+2X.

Т. к. случайные величины Х и V линейно связаны, то:

Т. к. в СВ V множитель перед Х равен , то:

7. Данныео месячной заработной плате 25 случайно отобранных рабочих завода приведены в таблице.

Зарплата, ден.ед.	1700-1750	1750-1800	1800-1850	1850-1900	1900-1950
Число рабочих

Вычислите выборочную среднюю зарплату и несмещенную оценку стандартного отклонения.

Решение.

Объем выборки: .

Вычислим середины интервалов :

Зарплата, ден.ед.	1700-1750	1750-1800	1800-1850	1850-1900	1900-1950
Число рабочих

Выборочное среднее:

Несмещенная оценка стандартного отклонения:

8. Из 200 человек 95 поддерживают данного кандидата. Найти 95% доверительный интервал доли всех избирателей, поддерживающих данного кандидата. Сколько человек нужно опросить, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что доля избирателей, поддерживающих этого кандидата, отличается от истинной не более чем на 0,01?

Решение.

Считаем, что случайная величина Х – количество поддерживающих данного кандидата - распределена нормально.

Относительная частота количества, поддерживающих данного кандидата, равна:

Доверительный интервал, оценивающий долю р, поддерживающих данного кандидата, в генеральной совокупности с надежностью :

Параметр t для надежности определим из условия:

, где - табулированная функция Лапласа.

По таблицам определяем:

Тогда:

Величина отклонения доли всех, поддерживающих данного кандидата, от истинной, равна:

Тогда количество человек, которое нужно опросить, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что доля всех, поддерживающих данного кандидата, отличается от истинной не более чем на 0,01:

9. Производительность труда ткачих X и стаж работы Y характеризуется таблицей.

X, годы
Y, м на 1 чел./ч

Найдите уравнение зависимости между X и Y. Какую производительность труда можно предположить у ткачихи со стажем работы 7 лет?

Решение.

Уравнение линейной регрессии Y на X, ищем в виде:

Коэффициенты линии регрессии найдем из системы:

Используя формулы Крамера, получаем:

или

Находим соответствующие суммы:

В итоге, получаем: .

Предполагаемая производительность труда у ткачихи со стажем работы 7 лет:

(м на 1 чел./ч)

Дата добавления: 2015-11-04