ЗАДАНИЯ И Методические рекомендации

ЗАДАНИЯ И Методические рекомендации

по ВЫПОЛНЕНИЮ контрольнОЙ работЫ №2

по курсу «математический анализ»

для студентов направления «Экономика»

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

В курсе «Математический анализ» студенты-заочники 2 курса изучают аналитическую геометрию, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения и ряды. Изучение этих разделов математики занимает важное место в формировании экономиста высокой квалификации и служит теоретической основой многих специальных учебных дисциплин. На втором году обучения студенты-заочники изучают элементы линейной алгебры, математическое программирование, теорию вероятностей и математическую статистику. Знание этих разделов математики имеет большое значение при решении вопросов, связанных с организацией и планированием производства. Это необходимо для общей экономической подготовки студентов, создания у них прочной базы независимо от области, в которой они в будущем будут работать. В методических указаниях к каждой контрольной работе приводится список рекомендованной учебной литературы, изучение которой необходимо для выполнения заданий. Указываются номера глав и параграфов учебников, а также номера задач, предназначенных для самостоятельной работы. В случае возникновения затруднений студент может обратиться на кафедру высшей математики за письменной консультацией. Необходимо строго придерживаться следующих правил:

1. Студент обязан делать работу только своего варианта, отсылая ее в Академию на рецензирование в сроки, предусмотренные графиком!

2. Контрольную работу следует выполнять на листах формата А4 чернилами любого цвета, кроме красного.

3. В конце работы необходимо привести список использованной литературы.

4. Перед решением задачи нужно полностью выписать ее условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывать следует только условие задачи нужного варианта.

Решение каждой задачи студент должен сопровождать подробными объяснениями и ссылками на соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата. Ответы и выводы, полученные при решении задач, следует подчеркнуть.

5. После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с не зачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке следует указать фамилию рецензента. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки. При подготовке к экзамену следует еще раз обратиться к методическим указаниям и примерам, разобранным в них, вопросам для самопроверки и задачам, которые рекомендуется решить. На экзамен студент должен являться с зачтенными контрольными работами и рецензиями на них. Каждому студенту предлагается индивидуальное задание, состоящее из пяти задач в каждой из четырех контрольных работ. Для определения индивидуального задания контрольной работы 2 нужно использовать таблицу 1.

Вариант	Первая буква фамилии	Номера заданий стр.11
Вариант 1	А,Я,В	1,21,41,61,81
Вариант 2	Г,С,Е	2,22,42,62,82
Вариант 3	Ж,З,И	3,23,43,63,83
Вариант 4	Л,Х	4,24,44,64,84
Вариант 5	М,Н	5,25,45,65,85
Вариант 6	О,Р,Ш	6,26,46,66,86
Вариант 7	Д,Т,У	7,27,47,67,87
Вариант 8	П,Ф,Ц	8,28,48,68,88
Вариант 9	Ч,К,Щ	9,29,49,69,89
Вариант 10	Б,Э,Ю	10,30,50,70,90

Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский институт управления и экономики»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Математика»

Вариант №___

Выполнил(а) студент(ка)

____________________________________________________

(Фамилия, имя, отчество)

____________________________________________________

(Адрес проживания)

Группа ______________________

Дата отправления «__» ____201_г.

Результат проверки____________________

Проверил преподаватель _______________

Дата проверки________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2

ПРОГРАММА

V. Функции нескольких переменных

18. Функции двух переменных. Линии уровня.

19. Частные производные первого и высшего порядков. Теорема о равенстве смешанных

производных.

20. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

VI. Интегральное исчисление

21. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул

интегрирования.

22. Замена переменных и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

23. Интегрирование простейших рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.

Применение таблиц интегралов.

24. Определенный интеграл и его свойства. Вычисление определенных интегралов методом

интегрирования по частям и замены переменной.

25. Несобственные интегралы.

26. Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

27. Приближенное вычисление определенных интегралов.

VII. Дифференциальные уравнения

28. Понятие дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка. Поле

направлений. Интегральные кривые. Задача Коши.

29. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Линейные

дифференциальные уравнения первого и второго порядков с постоянными коэффициентами.

VIII. Ряды

30. Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости.

31. Достаточные условия сходимости рядов с неотрицательными членами: признак сравнения,

признак Даламбера.

32. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

Абсолютная сходимость.

33. Понятие о функциональном ряде. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости.

34. Разложение функции в степенной ряд. Применение степенных рядов в приближенных

вычислениях.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Указания составлены в соответствии с учебниками [1, 2, 3]

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Уч. пособие для вузов. Ч.1,2.-М.: ОНИКС 21 век, 2002

2.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп.-М.: ЮНИТИ, 2004

3.Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2005

Темы 18-20

[1]: глава 8, §§ 1- 4.

[2]: глава 15, §§ 1-12.

[3]: глава 15, §§ 1-6.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение непрерывной функции нескольких (например, двух) переменных.

2. Дайте определение частных производных и полного дифференциала. Как они связаны?

3. Что называется градиентом функции нескольких переменных?

4. Дайте определение экстремума функции нескольких переменных и приведите необходимые условия экстремума.

5. Как определяются частные производные?

После изучения этих тем можно приступать к выполнению первой задачи контрольной работы 2.

Задача 1

Найти z^//_yx; z^//_yy; z^//_xy; z^//_xx функции z = 3х + х² у³. Написать уравнение линий уровня

f (x; y) = c при c = 0 и с = 1. Найти grad z в точке М₀ (-1; 1).

Решение

Учитывая формулы (15.1) и (15.2) § 3 главы 15 [2] и обычные правила дифференцирования функции одной переменной, находим частные производные первого порядка. При этом следует помнить, что при вычислении частной производной по х, мы считаем у постоянной. Аналогично, при нахождении частной производной по у считаем х постоянной.

∂ z ∂

z^/_x = = (3x + x² y²) = 3 + 2xy³

∂ x ∂ x

∂ z ∂

z^/_y = = (3x + x² y²) = 0 + 3x² y² = 3x² y²

∂ y ∂ y

Теперь найдем частные производные второго порядка:

∂² z ∂

z^//_xx = (z^/_x)^/_x = = (3 + 2xy⁶ ) = 0 + 2y³ = 2y³

∂ x² ∂ x

∂² z ∂

z^//_yy = (z^/_y)^/_y = = (3x² y² ) = 6x² y

∂ y² ∂ y

∂

z^//_xy = (z^/_x)^/_y = (3 + 2xy³ ) = 0 + 6xy² = 6xy²

∂ y

∂

z^//_yx = (z^/_y)^/_x = (3x² y² ) = 3y² ∙ 2x = 6xy²

∂ x

Запишем уравнения линий уровня. Как известно, линии уровня образуют на плоскости семейство параллельных кривых, на каждой из которых функция принимает постоянное значение

f (x; y) = с.

При с = 0 имеем линию нулевого уровня: 3х + х² у³ = 0.

При с = 1 уравнение линии уровня: 3х + х² у³ = 1

При переходе от одной линии уровня к другой значение функции изменяется.

∂ z ∂ z

Направление возрастания функции указывает вектор grad z =;

∂ x ∂ y

Найдем направление градиента в точке М₀ (-1; 1). Имеем

∂ z ∂ z

M₀ = 3 + 2 ∙ (-1) ∙ (1)³ = 1; M₀ = 3 ∙ (-1)² ∙ 1² = 3.

∂ x ∂ x

Поэтому grad z = {1; 3} в точке М₀.

Темы 21-23

[1]: глава 9, §§ 1-5.

[2]: глава 10, §§ 1-9.

[3]: глава 10, §§ 1-6.

Вопросы для самопроверки

1. Какая функция называется первообразной данной функции?

2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

3. Запишите таблицу простейших интегралов.

4. Как производится замена переменной в неопределенном интеграле?

5. Как производится интегрирование по частям в неопределенном интеграле?

6. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.

После разбора этих тем можно приступать к выполнению второй задачи контрольной работы 2.

Задача 2

Найти неопределенные интегралы

2 ³√х + 2х – х³

а) ∫ dx в) ∫ sin³ x cos³ x dx

x³

x dx

б) ∫ г) ∫ (2x + 1) ∙ ln x dx

x² – 1

Решение

а) Представим подынтегральную функцию в виде алгебраической суммы трех слагаемых. Для этого разделим почленно числитель на знаменатель:

2 ³√х + 2х – х³

= 2х ^3/3 + 2х ^–2 – 1

х³

Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций (формула 10.5 § 2 главы 10 [2]).

Пользуясь этим свойством неопределенного интеграла и соответствующими формулами (10.4) и (10.7) § 2 главы 10 [2], получим:

2 ³√х + 2х – х³ x ^{– 8/ 3 + 1} x ^{–2 + 1}

∫ dx = 2 ∫ x ^{– 8/ 3} ∙ dx + 2 ∫ x ^–2 ∙ dx - 2 ∫ dx = 2 + 2 - x + C =

x^{3 8}/₃ + 1 -2 + 1

= - ⁶/₅ x ^–5/3 – 2x ^–1 - x + C = - - ²/_x – x + C.

5x ³√x²

б) При нахождении этого интеграла воспользуемся методом подстановки. Введем новую переменную t = x² – 1.

Тогда dt = d (x² – 1) = (x² – 1)^/ dx = (2x – 0) dx = 2xdx.

Отсюда xdx = ½ dt.

По формуле (10.16 § 3 главы 10 [2]) имеем:

xdx ½ dt

∫ = ∫ dt = ½ ∫ = ln |x² – 1| + C

x² – 1 t t

в) Для вычисления этого интеграла преобразуем подынтегральную функцию следующим образом: sin³ x ∙ cos³ x = sin³ x ∙ cos x = sin³ x ∙ (1 – sin² x) ∙ cos x.

Поэтому: ∫ sin³ x cos³ x xdx = ∫ sin³ x ∙ (1 – sin² x) ∙ cos x xdx.

Сделаем замену t =sin x. Тогда dt = d sin x = cos x ∙ dx. Поэтому

sin⁴ x sin⁶ x

∫ sin³ x ∙ cos³ x dx = ∫ t³ ∙ (1 – t²) dt = ∫ t³dt = t⁴/4 – t⁶/6 + C = - + C

4 6

г) Для нахождения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям:

∫ u dv = u ∙ v - ∫ v du (формула (10.21) § 4 главы 10[2]).

Положим u = ln x; dv = (2x + 1) dx, тогда du = ¹/ _x dx; v = ∫ (2 x + 1) dx = x² + x (постоянную С здесь можно опустить).

Подставив значения u; du; v; dv в формулу интегрирования по частям, получаем:

∫ (2x + 1) ln x dx = ln x ∙ (x² + x) - ∫ (x² + x) ∙ ¹/_x dx = (x² + x) ∙ ln x - ∫ (x + 1) dx =

= (x² + x) ∙ ln x – x² / 2 – x + C.

Темы 24-27

[1]: глава 10, §§ 1-10.

[2]: глава 11, § 1-10.

[3]: глава 11, § 1-5.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определенным интегралом от данной функции? Каков его геометрический смысл?

2. Как связаны между собой понятия определенного и неопределенного интеграла?

3. Сформулируйте теорему о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом.

4. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

5. Дайте определение несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования.

После разбора этих тем можно приступить к выполнению третьей задачи контрольной работы 2.

Задача 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² – 2 х и у = -2 х² + х.

Решение

Чтобы наглядно представить фигуру, площадь которой надо найти, начертим графики функций у = х² – 2 х и у = -2 х² + х.

Рисунок 1

Для построения параболы у = х² – 2 х определим координаты ее вершины и точек пересечения с осями координат. Выделив полный квадрат у = х² – 2 х = (х – 1)² – 1, получим координаты вершины параболы А (1; -1). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при х ², равный 1, положителен. Точки пересечения параболы с осью абсцисс найдем, решив квадратное уравнение х² – 2 х = 0. Корни этого уравнения х ₁ = 0; х ₂ = 2. Получили точки О (0; 0); А (2; 0). Точка пересечения с осью ординат находится при х = 0. Эта точка совпадает с точкой А. Для построения второй параболы у =-2 х² + х необходимо провести аналогичные действия. Получим вершину В (¹/₄; ¹/₈) и точки О (0; 0); В ₁ (½; 0). Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при х ² отрицателен. На рисунке 4 построены обе параболы. Заштрихованная часть плоскости является фигурой, площадь которой надо найти. Для определения абсцисс точек пересечения парабол решим уравнение х² – 2 х = -2 х² + х или

3 х ² – 3 х = 0, откуда х ₁ = 0; х ₂ = 1.

Площадь фигуры вычислим по формуле

b

S = ∫ [ f (x) – g (x)] dx, где f (x) ≥ g (x) для всех x € [a; b]

a

(формула (11.21) §6 главы 11 [2]).

В нашем случае а = х ₁ = 0; b = x ₂ = 1. На отрезке [0; 1] имеем: -2 х ² + х ≥ х ² – 2 х.

Поэтому f (x) = -2x² + x и g (x) = x² – 2x.

Следовательно,

1 1

S = ∫ [(-2x² + x) – (x² – 2x)] dx = ∫ (-3x² + 3x) dx

0 0

Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

b b

∫ f (x) dx = F (x) = F (b) – F (a),

a a

где F (x) – первообразная подынтегральной функции f (x) (формула (11.15) § 4 главы 11 [2]).

Окончательно

1 1

S = ∫ (-3x² + 3x) dx = (-x³ + ³/₂ x²) = -(1)³ + ³/₂ ∙ 1 – 0 = ½

0 0

Темы 28-29

[1]: глава 4, § 1-5 (часть 2).

[2]: глава 12, § 1-9.

[3]: глава 12, § 1-7.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение дифференциального уравнения и основных понятий, связанных с ним (порядок решения, общее решение, частное решение и интегральная кривая).

2. Как можно геометрически истолковать общее и частное решение?

3. Изложите методы решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных и линейных).

После разбора этих тем можно приступить к выполнению четвертой задачи контрольной работы 2.

Задача 4

Найдите решение дифференциального уравнения у ^// + 4 у ^/ + 3 у = е ^{–2 х} , удовлетворяющее начальным условиям у (0) = 2, у ^/ (0) = 0.

Решение

В соответствии с теоремой 3 §8 главы 12 книги [2] общее решение данного неоднородного линейного уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения у ^// + 4 у ^/ + 3 у = 0.

Ищем общее решение однородного уравнения. В соответствии с формулами 12.38 из § 8 главы 12 книги [2] это решение записывается в виде у ₀ = С₁ е^к₁^х + С е^к₂^х, где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, а k ₁ и k ₂ – корни характеристического уравнения ak ² + bk + c = 0 данного уравнения ay ^// + by ^/ + cy = 0. В нашем случае а = 1, b = 4, c = 3. Характеристическое уравнение принимает вид: k ² + 4 k + 3 = 0, его корни k ₁ = -3, k ₂ = -1, значит, общее решение однородного уравнения имеет вид: у ₀ = С₁ е^-3х + С₂ е^-х.

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть данного уравнения содержит в показателе степени коэффициент (-2), не являющийся корнем характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде: у ₁ = de ^–2x. Найдем неизвестный коэффициент d. Так как у^/ ₁ = 2 de ^–2x, у^// ₁ = -4 de ^–2x, подставив значения у₁, у^/₁, у^//₁ в данное уравнение, получим равенство 4 de ^–2x – 8 de ^–2x + 3 de ^–2x = e ^–2x откуда – de ^–2x = e ^–2x, т.е.

d = -1.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

у = у₀ + у₁ = С₁ е ^–3х + С₂ е ^–х – е ^–2х

Найдем то решение, которое удовлетворяет данным начальным условиям. Так как

у^/ = -3 С₁ е ^–3х + С₂ е ^–х – 2е ^–2х, у (0) = С₁ + С₂ – 1, у^/ (0) = -3 С₁ – С₂ + 2,

то решая систему уравнений: С₁ + С₂ – 1 = 2, -3 С₁ – С₂ = 0, находим С₁ = -0,5; С₂ = 3,5.

Следовательно, у = -0,5 ^–3х + 3,5е ^–х – е ^–2х - искомое решение.

Темы 30-34

[1]: глава 3, §§ 1-9 (часть 2).

[2]: глава 13, §§ 1-5, глава 14, §§ 1-4.

[3]: глава 13, §§ 1-3, глава 14, §§ 1-3.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите пример ряда, у которого общий член стремиться к нулю, а сам ряд расходится.

2. Сходится ли ряд при х = R, где R – радиус сходимости?

3. Можно ли разложить в ряд Маклорена функцию f (x), если при х = 0 она не имеет производной?

4. Можно ли из формулы для ряда Тейлора получить формулу для ряда Маклорена?

После разбора этих тем можно приступить к выполнению пятой задачи контрольной работы 2.

Задача 5

Вычислите приближенно sin 0,9, используя разложение функции у = sin x в ряд Маклорена, взяв два первых члена разложения; оцените погрешность вычислений.

Решение

x³ x⁵ x^{2n – 1}

Поскольку sin x = x - + - … + (-1)^{n – 1} …(формула 14.9 §2 гл.14 [2]).

3! 5! (2n – 1)!

Подставив х = 0,9 в эту формулу и ограничившись двумя первыми членами разложения, получим: sin 0,9 ≈ 0,9 – 0,1215 = 0,7785.

Данный ряд Маклорена удовлетворяет условиям следствия признака Лейбница (§4 главы 13 [2]), поэтому допущенная при вычислениях погрешность не превосходит абсолютной вели-

х⁵ 0,9⁵

чины первого отброшенного члена ряда,, откуда ∆ ≤ ≤ 0,0049… ≤ 0,005.

5! 120

Задачи контрольной работы № 2

Задачи 01-20

Найти z ^//_xx ; z ^//_yy; z ^//_xy; z ^//_yx функции z = f (x; y). Написать уравнение линии уровня f (x; y) = С при С = 0 и С = 1. Найти grad z в точке М ₀.

01. z = ½ x²y – 2y²; M₀ (0; -2);

02. z = -xy³ + 3x²; M₀ (2; 1);

03. z = 3xy – x²y³; M₀ (1; 1);

04. z = 5x²y³ – 3y²; M₀ (-1; 1);

05. z = -3xy⁴ + x²y; M₀ (2; 0);

06. z = xy² + ³/₂ x²y⁴; M₀ (-2; 1);

07. z = - ¹/₃ x³ + 2xy³; M₀ (2; -1);

08. z = ²/₃ x³y⁶ – 2xy; M₀ (1; -1);

09. z = 3x²y – 2xy²; M₀ (2; 1);

10. z = -2xy + 4x³y³; M₀ (1; 1);

11. z = ½ x² + ¼ xy⁴; M₀ (1; 0);

12. z = ¹/₃ y³ – ½ x²y²; M₀ (2; 1);

13. z = 3x²y – ¼ x⁴; M₀ (1; 2);

14. z = -x²y + ¹/₃ y³; M₀ (1; -2);

15. z = -¹/₃ x³ + xy; M₀ (0; 2);

16. z = xy + 5x²y; M₀ (1; 0);

17. z = ½ y² – x²y; M₀ (-1; 3);

18. z = xy – ½ x²y²; M₀ (2; 1);

19. z = x²y – xy²; M₀ (0; -1);

20. z = 2y³ + 3x²; M₀ (2; -1).

Задачи 21-40

Найти неопределенный интеграл:

(x + 1)²

а) ∫ dx в) ∫ cos (x + 2) sin² (x + 2) dx

√x

ln x dx

б) ∫ г) ∫ x ∙ e^3x dx

x√1 + ln x

x ∙ e^x – x cos x dx

а) ∫ dx в) ∫

x ³√sin² x

dx

б) ∫ г) ∫ x ∙ arcsin x dx

cos² x ∙ (2 ∙ tg x + 1)

sin 2x

а) ∫ (√x + ³√x)³ dx в) ∫ dx

³√1 + cos² x

x + arctg x

б) ∫ dx г) ∫ x ∙ e ^–2x dx

1 + x²

(1 + √x)³

а) ∫ dx в) ∫ 2 ∙ sin² x ∙ cos² x dx

³√x

e^{tg x} ln x

б) ∫ dx г) ∫ dx

cos² x √x

(1 + ³√x) sin x

а) ∫ dx в) ∫ dx

√x ³√cos² x

б) ∫ e ^-x² ∙ xdx г) ∫ √x ∙ ln x dx

(1 – x)³

а) ∫ dx в) ∫ sin⁴ x ∙ cos³ x dx

x√x

√arcsin x

б) ∫ dx г) ∫ x ∙ cos x dx

√1 – x²

(√2x - √6x)² sin 2x

а) ∫ dx в) ∫ dx

³√x √1 + sin² x

cos ln x

б) ∫ dx г) ∫ arctg x dx

x

x² – 1

а) ∫ dx в) ∫ sin³ x ∙ cos² x dx

x² + 1

dx

б) ∫ г) ∫ ³√x ∙ ln x dx

arccos x ∙ √1 – x²

4x² – 3x + 1

а) ∫ dx в) ∫ sin 2x ∙ sin x dx

⁴√x

dx

б) ∫ г) ∫ x ∙ arctg x dx

cos² x ∙ √1 + tg x

(1 - ³√x)² cos x

а) ∫ dx в) ∫ dx

√x ³√sin ² x

ln x

б) ∫ e^{cos x} ∙ cos x dx г) ∫ dx

x²

(1 - √2x)³

а) ∫ dx в) ∫ sin² (1 – x) ∙ cos (1 – x) dx

³√x

sin x

б) ∫ dx г) ∫ x² ∙ e^x dx

√cos⁵ x

2 (x + 1)³

а) ∫ dx в) ∫ sin (4x + 1) ∙ cos² (4x + 1) dx

√x

sin x

б) ∫ dx г) ∫ x ∙ ln (x² + 1) dx

√1 + 5cos x

(x – 1)² cos (2x – 1)

а) ∫ dx в) ∫ dx

x + 1 ³√sin (2x – 1)

ln² (2 – x)

б) ∫ dx г) ∫ x ∙ sin x dx

2 – x

(x + 4)²

а) ∫ dx в) ∫ sin³ x dx

2√x

cos x

б) ∫ dx г) ∫ x ∙ ln² x dx

³√2 + 3sin x

x - 2√x + 2

а) ∫ dx в) ∫ cos⁴ x dx

x² ∙ ³√x

√1 + 2 ln x

б) ∫ dx г) ∫ arctg 3x dx

x

(2√x – 1)² cos³ x

а) ∫ dx в) ∫ dx

³√x sin⁴ x

√ln (x – 1)

б) ∫ dx г) ∫ x² ∙ e ^{x/ 3} dx

x – 1

3√x – x ^–2 sin³ x

а) ∫ dx в) ∫ dx

³√x √cos x

√1 + 2tg x

б) ∫ dx г) ∫ ln² x ∙ dx

cos² x

2x² – 5x – 3

а) ∫ dx в) ∫ (sin x + cos x)² dx

x – 3

б) ∫ ^x/₂ ∙ sin x² dx г) ∫ x² ∙ arccos x dx

(1 + x)²

а) ∫ dx в) ∫ tg³ x ∙ dx

x² + 1

sin x

б) ∫ dx г) ∫ x² ∙ sin 2x dx

⁵√1 + 2 cos x

x + 2 sin³ x

а) ∫ dx в) ∫ dx

2x – 1 cos⁶ x

e ^{ctg x}

б) ∫ dx г) ∫ x⁵ e ^x³ dx

sin² x

Задачи 41-60

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = ах² + bx и у = сх² + dx

Номер	a	b	c	d
		-1	-1
			-1
	-1	-5
	½		-1
	-1		½	-2
	-2		½	-1
	-1			-4
		-4	-2
	½			-1
		- 2	- ½
			-1
	-1			-4
		-3	-1
	½		-3
	-2			-3
		-1	-2
	-3			-2
		-5	- ½
		-6	-2
	-2			-3

Задачи 61-80

Найдите решение дифференциального уравнения ау^// + by^/ + cy = e^kx,

удовлетворяющее начальным условиям: у (0) = р, у^/ (0) = g.

Номер	a	b	с	k	p	g
			-1
				0.5

Задачи 81-100

Вычислите приближенно f (x₀), используя разложение функции у = f (x)

в ряд Маклорена, вязв два первых члена разложения; оцените погрешность вычислений

Номер
f (x0)	cos 1,1	ln 0,8	arcctg 0,7	sin 0,3	√0,6	^3√0,9	cos 0,3	sin 0,6	cos 0,9	arcsin 0,1

Номер
f (x0)	cos 1,2	^3√0,2	ln 0,6	arctg 0,9	ln 1,2	^3√1,1	sin 0,5	√1,2	sin 0,7	ln 1,5

Дата добавления: 2015-11-04