В качестве примера рассмотрим решение задачи оптимизации, сформулированной следующим образом: имеется каскад реакторов идеального смешения, в котором протекает химическая реакция . Число аппаратов

В качестве примера рассмотрим решение задачи оптимизации, сформулированной следующим образом: имеется каскад реакторов идеального смешения, в котором протекает химическая реакция . Число аппаратов каскада равно двум. Необходимо так подобрать соотношение объемов аппаратов при постоянном суммарном объеме, чтобы степень превращения реакции была максимальной.

В соответствии с последовательностью решения задачи оптимизации, сначала записываем математическую модель каскада реакторов:

Выбираем критерий оптимальности. Указание на то, что является критерием оптимальности, оптимизирующими факторами, какие надо выбрать ограничения, содержится в формулировке задачи оптимизации. В рассматриваемой задаче характеристикой качества работы каскада реакторов служит степень превращения – чем она больше, тем лучше, так что критерием оптимальности является степень превращения после второго аппарата каскада .

Выбираем оптимизирующий фактор. Из условия задачи видно, что воздействовать на величину критерия оптимальности можно за счет изменения соотношения объемов ячеек при постоянном общем объеме. В такой ситуации можно взять за оптимизирующий фактор объем первой или второй ячейки. Выберем объем первой ячейки.

Ограничение на величину оптимизирующего фактора берется также из условия задачи: . Отсюда диапазон изменения оптимизирующего фактора .

Целевую функцию запишем в виде алгоритма ее вычисления. Последовательность вычисления может быть следующая:

1. Задаем исходное значение , определяем .

2. Считая расход потока заданным, находим и .

3. Из первого балансового уравнения модели, используя кинетические уравнения и считая константу скорости заданной, определяем концентрацию первого вещества после первого аппарата .

4. Из баланса по первому веществу во втором аппарате находим и, наконец, ( - задано). Затем задаем новое значение и определяем новое значение критерия оптимальности .

Для анализа целевой функции будем изображать ее на графике в координатах в диапазоне изменения оптимизирующего фактора от 0 до .

При нулевом значении объема первого аппарата каскад будет состоять из одного второго аппарата идеального смешения объемом , при максимальном объеме первого аппарата, объем второго аппарата равен нулю, и снова реакция протекает в одном аппарате идеального смешения, объемом . Так что, по краям интервала степень превращения будет одинаковой и определяться характеристиками процесса. Между экстремальными точками присутствует и первый, и второй аппарат каскада и система представляет собой ячеечную модель, которая, как известно, по своим свойствам находится между аппаратом идеального смешения и идеального вытеснения. А степень превращения в аппарате идеального вытеснения больше, чем в аппарате идеального смешения. Так что, нужно ожидать появления максимума степени превращения на рассматриваемом интервале соотношения объемов аппаратов.

Количественное определение экстремума целевой функции может быть проведено одним из численных методов, например, сканированием, дихотомией или золотым сечением, что можно увидеть, воспользовавшись соответствующей расчетной программой.

Дата добавления: 2015-11-04