Построение графика функции

Построение графика функции

1. Покажем, как, зная график функции , построить график функции , где и . При этом нам достаточно рассмотреть только положительные значения , поскольку, для построения, например, графика функции , достаточно построить график функции , а затем симметрично отразить его относительно оси ординат.

Построим график функции путем преобразования графика функции .

При функция . принимает значение . То же самое значение функция принимает при . Значение 1 функция . принимает при , а функция - при .

Оба раза оказалось, что то же значение, что и , функция принимает при в два раза меньшем значении аргумента. Это верно и в общем случае: то значение, которое функция принимает при , то есть , функция принимает при . Действительно, при значение функции равно .

Рисунок 1

Рисунок 2

Это означает что, если на графике функции выбрана точка , то тогда точка плоскости принадлежит графику . Эта точка имеет такую же ординату, что и точка , а абсциссу в два раза меньшую. Точку можно получить, взяв середину перпендикуляра, опущенного из точки на ось ординат. Такой переход от точки к точке называют сжатием вдоль оси Ox с коэффициентом 2. Проделав аналогичное преобразование со всеми точками графика функции , получаем точки графика функции (рис.2).

Следует убедиться, что таким способом мы получим все точки этого графика. Возьмем точку графика функции с абсциссой , то есть точку . Эта точка получается из точки , принадлежащей графику функции , в результате сжатия вдоль оси Ox с коэффициентом 2точки.

Возьмем теперь , то есть построим график функции . Рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к выводу, что

Рисунок 3

Рисунок 4

то значение, которое функция принимает при , то есть , функция принимает при . Таким образом, график функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Ox с коэффициентом .

2. В общем случае при построении графика функции на основе графика функции применимы те же рассуждения, что и в предыдущем примере. Пусть точка графика функции с абсциссой , тогда ее ордината равна (рис.4). Точка плоскости принадлежит графику функции , так как . Точка имеет такую же ординату, что и точка , а абсциссу равную . Это значит, что из каждой точки графика функции «получается» точка графика функции , причем таким образом можно построить все точки графика функции (п.1).

Отметим, что, если коэффициент , то точка лежит ближе к оси в сравнение с точкой , а если , то – дальше (рис.4). Поэтому в первом случае говорят о сжатии графика функции , а во втором – о его растяжении.

Таким образом, правило построения графика функции из графика функции формулируется следующим образом:

График функции ,где

, получается сжатием

графика функции вдоль

оси абсцисс Ox в раз

Если , то вместо выражения «сжатие графика в раз» предпочтительнее употребить выражение «растяжение графика в раз»

Множество значений функции совпадает с множеством значений функции . Область определенияфункции составляет множество чисел , где (рис.5).

Рисунок 5

3. Пример. Дан график функции . С помощью преобразования графиков построить график функции .

Формулу функции представим в виде , тогда последовательность преобразований графиков будет выглядеть следующим образом: . Первое преобразования представляет собой сжатия в два раза вдоль оси абсцисс, а второе – сдвиг полученного графика вправо на единиц тоже вдоль оси абсцисс (рис.6).

Рис. 6

Упражнения

1. Уравнение имеет корни . Решите уравнение .

2. Постройте график функции.

a)	b)
c)	d)

3. На рисунке изображен график функции . Постройте график функции , где . Сравните области определения и множество значений функций.

a)

b)

Постройте график функции ; .

4. Найдите область определения функции , если известна область определения функции .

D(f)	k	D(f)	K
a)		b)
c)	-2	d)	-0,2
e)	0,5	f)	-3

5. Пусть функция – периодическая с периодом . Докажите, что функция также является периодической с периодом .

6. Будет ли обратимой функция , если функция обратима?

Дата добавления: 2015-11-04