для практических занятий по курсу «Начертательная геометрия» для студентов заочной формы обучения

Раздаточный материал

для практических занятий по курсу «Начертательная геометрия» для студентов заочной формы обучения

Метод замены плоскостей проекций для решения практических задач

Многие задачи в начертательной геометрии имеют сложное решение в общем виде. Но те же задачи в частном случае решаются просто. Есть способы преобразования проекций, позволяющие уходить от решения задач в общем виде. Одним из этих методов является метод замены плоскостей проекций.

Рассмотрим основные преобразования. Одним из них является преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость. Проецирующая плоскость проецируется в прямую на ту плоскость проекций, которой она перпендикулярна. В этом случае одна из главных линий плоскости горизонталь или фронталь будет проецирующей прямой.

Решение проводится в следующем порядке:

1. В плоскости проводится, например горизонталь

2. Затем новая ось проекций для плоскостей П1 и П4 выбирается перпендикулярно h1

3. Строятся проекции точек плоскости на новую плоскость проекций П4

4. В результате треугольник проецируется на плоскость проекций П4 в прямую, т.е. плоскость треугольника перпендикулярна П4.

Задача 1. Пересечение прямой и плоскости

Частный случай

Общий случай.

Для решения этой задачи надо привести ее к частному случаю, рассмотренному выше.

Для этого надо преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость.

1. Проведем в треугольнике ABC горизонталь. И выберем новую ось проекций перпендикулярно ей. Т.е. Х14 возьмем перпендикулярно h1.

2. Затем строим проекции всех точек на плоскость П4.

3. В системе плоскостей проекций П1-П4 решаем предыдущую задачу.

Задача 2. Пересечение плоскостей

Частный случай

В данной задаче даны две плоскости, которые пересекаются между собой – плоскость треугольника АСЕ и плоскость треугольника КВД.

Плоскость треугольника КВД перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, т.к. на эту плоскость треугольник проецируется в прямую. Следовательно, все точки этого треугольника КВД проецируются в эту прямую.

Линия пересечения треугольников принадлежит обоим треугольникам. Из этого условия находятся точки общие для плоскостей.

Общий случай

Для решения этой задачи надо преобразовать чертеж и сделать одну из плоскостей проецирующей. Тогда решение сводится к предыдущей задаче.

Задача 3. Найти точку, удаленную от плоскости на расстоянии 50 мм.

Частный случай

Для лучшего понимания задачи сначала решим задачу по определению расстояния от точки до плоскости треугольника АВС.

Рассмотрим исходный чертеж. Плоскость треугольника АВС перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, т.к. она проецируется на нее в прямую.

Для определения расстояния от точки до плоскости надо из точки провести прямую, перпендикулярную плоскости, найти точку пересечения прямой с плоскостью. Полученный отрезок и есть расстояние от точки до плоскости.

В данной задаче плоскость треугольника перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а значит, перпендикуляр к ней есть горизонталь.

Проведем из точки К горизонталь перпендикулярную плоскости и найдем точку пересечения ее с плоскостью.

На горизонтальной плоскости проекций получится натуральная величина расстояния от точки до плоскости.

Задача 3а. Задача найти точку, удаленную от плоскости на 50 мм.

Для того чтобы найти точку, удаленную от плоскости на расстоянии 50 мм, надо из любой точки плоскости восстановить перпендикуляр длиной 50мм.

Т.к. плоскость проецирующая, то перпендикуляр к ней есть горизонталь (см. предыдущую задачу).

Поэтому из любой вершины восстанавливаем перпендикуляр длиной 50мм.

Общий случай

Найти точку, удаленную от плоскости на расстоянии 50 мм.

Дана плоскость треугольника АВС. Эта плоскость есть плоскость общего положения, а следовательно, восстановить перпендикуляр к ней задача сложная. Но, если преобразовать плоскость в плоскость проецирующую, то решение сведется к предыдущему частному случаю.

Решение задач 1,2 и 3 поможет при выполнении контрольной работы №1.

Задача 4. Преобразование поверхностей с помощью замены плоскостей проекций

Для решения многих задач полезно преобразовать поверхность, т.е задать чертеж поверхности в новой системе плоскостей проекций.

Задача 5. Построение линии пересечения поверхности проецирующей плоскостью

Решение задачи по построению линии пересечения поверхности плоскостью, перпендикулярной плоскости проекций, сводится к нахождению точки на поверхности. Это связано с тем, что линия пересечения поверхности с проецирующей плоскостью принадлежит как поверхности, так и плоскости. Т.к. она принадлежит плоскости, то она проецируется в прямую, в которую проецируется плоскость. Отсюда, одна проекция линии пересечения известна – это прямая. Другую проекцию линии пересечения строят из условия, что все точки этой линии принадлежат поверхности.

Решение этих задач 4 и5 по построению линии пересечения поверхности с проецирующей плоскостью и метод преобразования поверхностей поможет в решении контрольной работы №2.

Дата добавления: 2015-11-04