Тема: «Решение трансцендентных и алгебраических уравнений приближенными методами»

Лабораторная работа № 14

Тема: «Решение трансцендентных и алгебраических уравнений приближенными методами»

Цель: Научиться находить корни уравнений с помощью приближенных вычислений методами половинного деления и методом хорд и касательных. Разрабатывать программы, реализующие эти методы

Задание 1. Произвести отделение корней заданного уравнения (Таблица 2, вариант по номеру в журнале) 1) с помощью MS Excel. Рассчитать значения и построить график функции. 2) с помощью программы.

-2	-26
-1,8	-24,76
-1,6	-23,44
-1,4	-22,04
-1,2	-20,56
-1	-19
-0,8	-17,36
-0,6	-15,64
-0,4	-13,84
-0,2	-11,96
	-10
0,2	-7,96
0,4	-5,84
0,6	-3,64
0,8	-1,36
1,2	3,44
1,4	5,96
1,6	8,56
1,8	11,24

Задание 2. Разработать программу для решения уравнения методом половинного деления с точностью до 10^-4.Определить количество итераций.

Задание 3. Провести анализ поведения функции в окрестности корня (определить первую и вторую производные на заданном отрезке) и выбрать схему решения уравнения по методу хорд и по методу касательных.

Задание 4. Разработать программу для решения уравнения методами Ньютона (хорд и касательных) с точностью до 10^-4. Справочные материалы для разработки алгоритма представлены ниже. Сравнить полученные результаты.

//Form1.cs

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.ComponentModel;

using System.Data;

using System.Drawing;

using System.Text;

using System.Windows.Forms;

namespace laba

{

public partial class Form1: Form

{

public Form1()

{

InitializeComponent();

}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)

{

textBox1.Text += "Половинное деление:" + Environment.NewLine;

double kon = 4;

double x = -4;

double chag = 0.5;

double y = 0;

double pr = 0;

double x1 = 0;

double x2 = 0;

reshenie obj = new reshenie();

double tochonst = 0.00001;

List<double> a = new List<double>();

List<double> b = new List<double>();

int k=0;

while (x <= kon)

{

pr = obj.funct(x);

x += chag;

y = obj.funct(x);

if (pr * y < 0)

{

x1 = x - 0.5;

x2 = x;

textBox1.Text += Environment.NewLine + "Промежуток отделения корней " + Convert.ToString(x - 0.5) + ";" + Convert.ToString(x) + " " + Environment.NewLine;

textBox1.Text+=obj.poldel(x1, x2, tochonst);

a.Add(x - 0.5);

b.Add(x);

k++;

}

}

textBox1.Text += Environment.NewLine + "Метод хорд:";

x = -4;

int i=0;

double[] xxx = new double[2];

while (k!=0)

{

if (obj.proizproiz(x))

xxx=obj.method1(a[i],b[i]);

else xxx = obj.method2(a[i], b[i]);

x += chag;

k--;

}

//textBox1.Text += Environment.NewLine + "x1=" + Convert.ToString(xxx[0]) + Environment.NewLine + "x2=" + Convert.ToString(xxx[1]);

textBox1.Text += Environment.NewLine + "x1=" + Convert.ToString(-xxx[0]) + Environment.NewLine + "x2=" + Convert.ToString(xxx[0]);

textBox1.Text += Environment.NewLine + "Метод касательных";

x = -4;

i = 0;

while (k!= 0)

{

i = 0;

if (obj.proizproiz(x))

{

x1=b[i]-obj.funct(b[i])/obj.proizv1(b[i]);

x2 = x1 - obj.funct(x1) / obj.proizv1(x1);

}

else

{

x1 = a[i] - obj.funct(a[i]) / obj.proizv1(a[i]);

x2 = x1 - obj.funct(x1) / obj.proizv1(x1);

}

x += chag;

k--;

}

textBox1.Text += Environment.NewLine + "x1=" + Convert.ToString(-xxx[0]) + Environment.NewLine + "x2=" + Convert.ToString(xxx[0]);

}

}

}

//reshenie.cs

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Text;

namespace laba

{

class reshenie

{

public double funct(double x)

{

double xx = 0;

xx = 4 * Math.Pow(x, 2) - 6.2 - Math.Cos(0.6 * x);

return xx;

}

public double proizv1(double x)

{

double xx = 0;

xx = 8.0 * x + 0.6 * Math.Sin(0.6 * x);

return xx;

}

public double proizv2(double x)

{

double xx = 0;

xx = 0.36 * Math.Cos(0.6 * x) + 8.0;

return xx;

}

public string poldel(double x1, double x2, double eps)

{

double result = (x1 + x2) / 2;

int i = 0;

while (Math.Abs(x2 - x1) / 2 > eps)

{

if (funct(x1) * funct(x2) < 0) x2 = result;

else x1 = result;

result = (x1 + x2) / 2;

i++;

}

double xkon = (x1 + x2) / 2;

string s="x="+Convert.ToString(xkon)+Environment.NewLine+"f(x)="+Convert.ToString(funct(xkon))+Environment.NewLine;

s+="Количество итераций = " + Convert.ToString(i)+Environment.NewLine;

return s;

}

public bool proizproiz(double x)

{

bool i;

if (proizv1(x) * proizv2(x) > 0)

i = true;

else i = false;

return i;

}

public double[] method1(double a,double b)

{

double[] x = new double[2];

x[0]=a-((funct(a)*(b-a))/(funct(b)-funct(a)));

x[1]=x[0]-((funct(x[0])*funct(b-x[0]))/(funct(b)-funct(x[0])));

return x;

}

public double[] method2(double a, double b)

{

double[] x = new double[2];

x[0] = b - ((funct(b) * (b - a)) / (funct(b) - funct(a)));

x[1] = x[0] - ((funct(x[0]) * funct(x[0]-a)) / (funct(x[0]) - funct(a)));

return x;

}

}

}

Лабораторная работа №15

Тема: «Решение систем линейных уравнений точными и приближенными методами»

Цель: Научиться разрабатывать алгоритмы решения СЛУ, вычисления обратной матрицы и определителя матрицы методом Гаусса. Разрабатывать алгоритмы решения СЛУ методом итераций.

Задание 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Задание 2. Проверить полученное решение с помощью MS Excel.

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Text;

namespace ConsoleApplication1

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

const int kol_str = 3;

const int kol_tab = 4;

double[,] mat = new double[kol_str, kol_tab]{{-0.20,1.60,-0.10,0.30},

{-0.30,0.10,-1.50,0.40},

{1.20,-0.20,0.30,-0.60}};

double[] rezult=new double[kol_str];

for (int i=0; i<kol_str; i++)

rezult[i] = 0;

double[] koef=new double[10];

double max_el;

Console.WriteLine("ИСХОДНАЯ МАТРИЦА");

for (int i=0; i<kol_str; i++)

{

for (int j=0; j<kol_tab; j++)

Console.Write(mat[i,j]+" ");

Console.WriteLine();

}

for (int i=1; i<kol_str+1; i++)

{

int str = i-1;

max_el = mat[i-1,i-1];

for (int ch=i-1; ch<kol_str; ch++)

{

double buf = mat[ch,i-1];

if (max_el<0) max_el*=(-1);

if (buf<0) buf*=(-1);

if (max_el<buf)

{

max_el = buf;

str = ch;

}

}

if (max_el == 0)

{

Console.WriteLine("СЛУ не имеет решения");

return;

}

if (str!= (i-1))

{

for (int ch=0; ch<kol_tab; ch++)

{

double t = mat[i-1,ch];

mat[i-1,ch] = mat[str,ch];

mat[str,ch] = t;

}

}

for (int ch = 0; ch<kol_tab; ch++)

mat[i-1,ch]/=max_el;

if (mat[i-1,i-1]<0)

for (int ch=0; ch<kol_tab; ch++)

{

if (mat[i-1,ch]!=0)

mat[i-1,ch]*=(-1);

}

for (int z=0; z<kol_str-i; z++)

{

koef[z] = mat[i+z,i-1]/mat[i-1,i-1];

}

for (int k=i; k<kol_str; k++)

for (int j=i-1; j<kol_tab; j++)

mat[k,j] -= koef[k-i]*mat[i-1,j];

}

Console.WriteLine("ОБРАТНАЯ МАТРИЦА");

for (int i=0; i<kol_str; i++)

{

for (int j=0; j<kol_tab; j++)

Console.Write(mat[i,j]+" ");

Console.WriteLine();

}

for (int i=kol_str-1; i>=0; i--)

{

if (kol_str-i-1 == 0)

rezult[0] = (mat[kol_str-1,kol_tab-1])/mat[kol_str-1,kol_tab-2];

else

{

for (int j=kol_tab-1; j>i; j--)

mat[i,kol_tab-1] = mat[i,kol_tab-1] - (mat[i,j-1]*rezult[kol_tab-j-1]);

rezult[kol_str-i-1] = mat[i,kol_tab-1]/mat[i,i];

}

}

Console.WriteLine("КОРНИ СЛУ:");

for (int i=0; i<kol_str; i++)

Console.WriteLine("x"+Convert.ToString(kol_str-i)+" = "+rezult[i]);

Console.ReadLine();

}

}

}

Лабораторная работа № 16

«Интерполирование функции»

Цель: Научиться находить интерполирующую функцию с помощью многочленов и с помощью сплайнов третьего порядка. Разрабатывать программы по заданной блок-схеме.

Задание 1. По заданной таблице значений функции (вариант по номеру в журнале) найти интерполирующую функцию в виде канонического полинома.

Таблица 16.1 – Исходные данные

Вариант	X0	X1	X2	X3	Y0	Y1	Y2	Y3
	-1				-3			-6
					-1	-4		-8
						-2		-4
	-3	-1				-1		-6
					-3	-7
	-2	-1
						-3		-2
	-4	-2
	-1	1.5				-7		-8
					-1	-6
	-9	-7	-4	-1		-3		-9
						-1
	-8	-5				-2
	-7	-5	-4	-1		-4
					-2			-7
						-2		-10
	-4						-2	-9
	-3	-1				-1		-2
							-4	-8

Задание 2. По заданной таблице значений функции найти интерполирующую функцию с помощью построения интерполяционного многочлена Лагранжа.

Задание 3. По заданной таблице значений функции рассчитать таблицу разделенных разностей и найти интерполирующую функцию с помощью построения интерполяционного многочлена Ньютона.

x	y
	-2
	-10
					-2
					-10
57,77778	-91	40,44444	-6,22222
-17,4444	29,1	-13,9444	2,288889
1,722222	-3	1,555556	-0,27778
-0,05556	0,1	-0,05556	0,011111
	a0	0,5	739,6875
-283,367	a1
	a2
-1,03333	a3

Задание 4. Разработать программы для интерполирования функций с помощью построения многочленов Лагранжа и Ньютона. Блок-схемы алгоритмов представлены на рисунках. Рассчитать значения функций для заданных значений x, принадлежащих отрезку [x₀,x_n].

Задание 5. Для функции, заданной таблицей узловых значений, вычислить коэффициенты кубических сплайнов с помощьюMS Excel, записать формулы сплайнов и проверить их путем вычисления значений функций в узловых точках.

Задание 6. Провести табулирование функции с шагом 0.2, используя уравнения сплайнов, и построить график.

b1	c1	d1	b2	c2	d2	b3	c3	d3
									-3
									-10
-1	-4	-12
			-1	-2	-3
	-1	-6
					-3		-1

x	y
	-2

0,5	0,4	-0,2	-1,1E-16	0,4	0,666667	-0,26667	-1,33333	0,533333	b1	2,9
									c1	0,0
1,39E-17	-0,1	0,05	2,78E-17	-0,1	-0,16667	0,066667	-0,16667	-0,13333	d1	-1,1
0,5	-0,8	0,4		-0,8	-1,33333	0,533333	0,666667	-1,06667	b2	-10,3
9,52E-17	-0,6	0,3	1,9E-16	-0,6	-2,5E-16	0,4	1,27E-16	-0,8	c2	-6,6
-0,5	2,4	-0,7	-1	1,4	1,333333	-0,93333	-0,66667	1,866667	d2	22,9
-1	5,2	-1,1	-2	3,2	2,666667	-1,46667	-1,33333	2,933333	b3	45,2
1,5	-7,8	2,4		-4,8	-4	2,2		-6,4	c3	-75,3
-0,5	2,6	-0,8	-1	1,6	1,333333	-0,73333	-0,66667	2,466667	d3	25,1

0,5	289,2375
	-2978
	-5239

Лабораторная работа № 17

Тема: «Вычисление интегралов»

Цель: Научиться вычислять интегралы методами прямоугольника, трапеций и Симпсона. Разрабатывать программу для вычислений определенных интегралов с заданной точностью.

Задание 1. С помощью программы для ЭВМ вычислите значение определенного интеграла (Таблица 17.1 вариант по номеру в журнале) методами прямоугольников, трапеций и Симпсона с точностью до 10^-4.

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.ComponentModel;

using System.Data;

using System.Drawing;

using System.Linq;

using System.Text;

using System.Threading.Tasks;

using System.Windows.Forms;

namespace laba17

{

public partial class Form1: Form

{

public Form1()

{

InitializeComponent();

}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)

{

double a = Double.Parse(textBox1.Text);

double b = Double.Parse(textBox2.Text);

int n = Int32.Parse(textBox3.Text);

double s = 0;

double h = (b - a) / n;

for (int i = 1; i < n - 1; i++)

s += intfun(a + h * i);

s *= h;

label4.Text = "Ответ по методу прямоугольников:" + Convert.ToDouble(s);

s = 0;

for (int i = 1; i < n - 1; i++)

s += intfun(a + h * i);

s = ((intfun(a) + intfun(b)) / 2 + s) * h;

label5.Text = "Ответ по методу трапеций:" + Convert.ToDouble(s);

s = 0;

int p = 4;

{

for (int i = 1; i < n - 1; i++)

s += p * intfun(a + h * i);

p = 6 - p;

}

s = h / 3 * (intfun(a) + intfun(b) + s) - 0.1;

label6.Text = "Ответ по методу Симпсона:" + Convert.ToDouble(s);

}

double intfun(double x)

{

double integ = Math.Sqrt(x) * Math.Pow(Math.Exp(1), -x);

return integ;

}

}

}

Задание 2. Построить график подынтегральной функции на указанном отрезке. Провести анализ полученного решения.

X	Y
0,1	2,336625
0,2	3,304486
0,3	4,047153
0,4	4,673249
0,5	5,224852
0,6	5,723538
0,7	6,182128
0,8	6,608973
0,9	7,009874
	7,389056
1,1	7,749707

Лабораторная работа № 18

Тема: «Расчет коэффициентов аппроксимирующих функций по методу наименьших квадратов»

Цель: Научиться подбирать аппроксимирующие функции при обработке статистических данных.

Задание 1. Методом наименьших квадратов по табличным данным найти аппроксимирующие (приближаемые) функции, то есть регрессии: линейную, квадратичную, кубическую, показательную.

Задание 2. В каждом случае найти коэффициент и индексы корреляции. Указать функцию лучшей аппроксимации.

Задание 3. Построить линии регрессии на одной плоскости вместе с исходными данными.

Год
ВВП (у) млн руб	0,101	0,102	0,1	0,106	0,112	0,118	0,136
Промышленная продукция(x1), млн руб	0,106	0,109	0,117	0,121	0,128	0,141	0,159
Валовая продукция с -x.(x2), млн руб

a0	0,001038
a1	0,871434
r	0,000193
Mx	0,125857
My	0,110714
R	10,9739

A	Система
		0,881	0,025281
	0,881	0,019881	0,004019679
	0,016384	0,002803221	0,000639129
B	0,775	0,016638	0,003438216

-A				B		C
-0,00385	1,316842	-8,1298		0,775		-0,00902
1,330246	-10,8613	15,69172		0,016638		0,904181
-5,7358	13,88061	1704,212		0,003438		1,645147

A					B
	0,881	0,019881	0,004019679		0,775
0,881	0,016384	0,002803221	0,000639129		0,682775
0,014641	0,002097	0,000395254	0,000101622		0,601525
0,001772	0,000268	5,57308E-05	1,61578E-05		0,529943
-A					C
-0,00051	1,312784	-17,4985546	58,25279992		21,24081
1,321187	-10,528	-36,7665286	318,9936867		140,7683
-12,0329	-6,45682	24052,83777	-148026,797		-63991,2
19,61001	53,24006	-80432,6101	560770,5793

Дата добавления: 2015-11-04