Методичні вказівки до самостійної роботи №18А

Методичні вказівки до самостійної роботи №18А

Тема. Кратні інтеграли. Подвійний інтеграл.

Мета. Навчитися обчислювати кратні інтеграли, використовуючи перехід до

подвійних та до потрійних інтегралів. Ознайомитися із застосуванням

кратних інтегралів в геометрії та в фізиці.

Завдання 1: Представити подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням по х, або із зовнішнім інтегруванням по у, якщо область D задана вказаними лініями:

Розв’язання. Область D зображена на рисунку 1, обмежена лініями , .

Рис. 1

Виразимо змінну через :

Знайдемо точки перетину ліній і :

- не задовольняє умову.

Отже, маємо перетворення подвійного інтегралу у повторний:

.

Завдання 2. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмежений вказаними лініями:

Розв’язання Область D зображена на рисунку 2.

Рис. 2

Оскільки область D симетрична відносно вісі , то:

.

Відповідь:

Завдання 3. Обчислити площу плоскої області D, обмеженої заданими лініями:

.

Розв’язання. Подана плоска фігура обмежена зверху параболою ,

а знизу прямою (рис. 3).

Рис. 3

Знайдемо точки перетину параболи із лінією :

Якщо , то .Якщо , то .

Маємо точки перетину заданих ліній: (2;-6), (-2;-6).

Оскільки область D симетрична відносно осі Оу, то маємо:

.

Відповідь: кв.од.

Завдання 4. Обчислити масу неоднорідної пластинки D, обмеженої заданими лініями, якщо поверхнева густина в кожній точці :

.

Розв’язання Для обчислення маси плоскої пластини,поданою поверхневою густиною

скористаємось фізичним змістом подвійного інтеграла і формулою ,

де область інтегрування зображена на рисунку 4.

Рис.4

Отже, маса пластинки:

.

Відповідь: ум.од.маси.

Дата добавления: 2015-11-04