|
Теория вероятностей, вар 13, 2008 год.
№13. Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время (вероятность): а) работы только одного комбайна; б) простоя обоих комбайнов.
Решение: Т.к. вероятность работы каждого комбайна в данный момент времени составляет р1 = 0,8; р2 = 0,6, то вероятность простоя комбайнов в этот же момент времени равна соответственно:
Учитывая, что простой и работа комбайна – случайные и независимые события, применим теоремы умножения и суммы вероятностей.
Вероятность работы только одного комбайна равна сумме вероятностей работы первого при простое второго и работы второго при простое первого:
Вероятность простоя обоих комбайнов определится произведением:
№33. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
Решение: Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления этого события постоянна, определяется из двойного неравенства:
Из полученного неравенства, наиболее вероятно, что опоздает 8 пассажиров.
№53. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и для второго
Х 0 1 2 Y 0 2
р 0,1 0,6 0,3 р 0,5 0,5.
Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить её график. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.
Решение: Очевидно, число бракованных изделий есть сумма любой случайной величины Х с любой случайной величиной У.
Составим закон распределения числа бракованных изделий, как суммы любой случайной величины Х и любой случайной величины У, умножая при этом их вероятности:
Z = X + Y | 0 + 0 = 0 | 0 + 2 = 2 | 1 + 0 = 1 | 1 + 2 = 3 | 2 + 0 = 2 | 2 + 2 = 4 |
Р | 0,1·0,5 = 0,05 | 0,1·0,5 = 0,05 | 0,6·0,5 = 0,3 | 0,6·0,5 = 0,3 | 0,3·0,5 = 0,15 | 0,3·0,5 = 0,15 |
Объединив значения Z = 2, получим функцию распределения величины Z в табличном виде:
Z = X – У | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 | |
Pz = Px∙Py | 0,05 | 0,3 | 0,05 + 0,15 = 0,2 | 0,3 | 0,15 |
Составим функцию распределения:
По определению F(x) = P(X < x), поэтому:
1. При х 0; F(x) = P(X < 0) = 0;
2. При 0 < x 1; F(x) = P(X < 1) = P(X = 0) = 0,05;
3. При 0 < x 2; F(x) = P(X < 2) = 0,05 + 0,3 = 0,35;
4. При 2 < x 3; F(x) = P(X < 3) = 0,05 + 0,3 + 0,2 = 0,55;
5. При 3 < x 4; F(x) = P(X < 4) = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 = 0,85;
6. При x >100; F(x) = P(X ≤ 4) = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1,000;
Т.о. функция распределения и график этой функции имеют вид:
Свойство математического ожидания – математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Найдём математические ожидания величин Х и У и их сумму:
Найдём математические ожидания величины Z:
Т.о. сумма математических ожиданий случайных величин равна математическому ожиданию суммы этих величин.
№73. Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найти:
1) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1/3; 2/3);
2) функцию плотности распределения вероятностей f(х);
3) математическое ожидание случайной величины Х;
4) построить графики F(х) и f(х).
Решение: 1. Т.к. заданный интервал (1/3;2/3) входит в интервал функции
распределения 0<x<1 то, используя формулу: , получим:
2. Функция плотности вероятности есть первая производная от функции распределения:
Поэтому:
3. Математическое ожидание определится интегралом:
Графики F(x) и f(x) имеют вид:
№93. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием " а " и средним квадратическим отклонением "σ". Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайной величины Х – цена акции и построить её график; б) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a, b); в) найти вероятность того, что абсолютная величина çХ– ç окажется меньше e.
а = 26; σ = 0,7; α = 25,2; β = 26,8; ε = 0,5
Решение: а) Функция плотности вероятности для нормального распределения выражается формулой:
Т.е. при: х1 = 26 – 0,7 = 25,3;
х2 = 26 + 0,7 = 26,7;
Значение функции в точках перегиба соответственно равно:
f (x) = 0,57 = 0,57 = 0,356;
Вид графика f(x) изображён на рисунке.
б) Вероятность того, что случайная величина окажется в интервале = (25,2; 26,8), определится выражением:
где Ф(х) = – функция Лапласа.
Тогда:
в) Вероятность того, что абсолютная величина окажется меньше , определится формулой:
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 13 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
2014 год. Астрологический прогноз. Буддизм. VK (ВКонтакте) Ирина Румянцева 28.01.2014. | | | Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов |