Министерство образования Республики Беларусь

Министерство образования Республики Беларусь

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное учреждение высшего профессионального образования

БЕЛОРУССКО–РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Автоматизированные системы управления»

Исследование алгоритма SSA-метода при анализе временных последовательностей данных с шумом по известному закону распределения.

Курсовая работа

по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов»

051.23 01 02.081427.11.81-01

Допущен: «_»________2010г _____ Защитил: «_»________ 2010г _____ Оценка____________ Комиссия: _________

Выполнил: студент гр. АСОИР-083 __________ Лапицкий А.В. Руководитель: Якимов А.И._______

______________

Министерство образования Республики Беларусь

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное учреждение высшего профессионального образования

БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Электротехнический факультет

Кафедра «Автоматизированные системы управления»

«Утверждаю»

Заведующий кафедрой

«22» февраля 2010г.

Задание

на курсовую работу по дисциплине

«Математическая логика и теория алгоритмов»

Студенту Лапицкий Александр Владимирович

1 Тема работы: Исследование алгоритма SSA-метода при анализе временных последовательностей данных с шумом по известному закону распределения.

2 Срок сдачи студентом законченной работы ‑ 25.05.2010 г.

3 Исходные данные для работы: 1) Технология исследования SSA-метода с использованием пакетов MS Excel, Mathcad, Statistica. 2) Алгоритм генерации временной последовательности данных по заданному закону распределения:

Normal

F

Постановка задачи. Исследовать свойства SSA-метода при декомпозиции временной последовательности данных на трендовую, гармоническую и шумовую составляющие. Оценить погрешность SSA-метода при декомпозиции временной последовательности данных для разных значений тренда, гармоники и шума. Восстановление шумовой составляющей оценить по критериям хи-квадрат Пирсона, лямбда Колмогорова, омега-квадрат Мизеса.

4 Содержание расчётно-пояснительной записки.

Титульный лист.

Задание на курсовую работу. Аннотация.

Содержание. Перечень условных обозначений. Введение. 1 Анализ и теоретическое исследование алгоритма. 2 Разработка технологии экспериментального исследования алгоритма. 3 Описание разработанного программного обеспечения. 4 Экспериментальное исследование алгоритма. Заключение. Список использованных источников. Приложение.

5. Дата выдачи задания 22.02.2010 г.

6. Научный консультант: канд. техн. наук, доц. Альховик С. А.

7. Календарный график работы на весь период проектирования.

22.02 – 5.03.2010 г.	– Анализ и теоретическое исследование алгоритма.
6.03 – 20.03. 2010 г.	– Разработка технологии экспериментального исследования алгоритма.
21.03 – 10.04.2010 г.	– Описание разработанного программного обеспечения.
10.04 – 11.05.2010 г.	– Экспериментальное исследование алгоритма.
12.05 – 24.05.2010 г.	– Оформление расчетно-пояснительной записки.

РУКОВОДИТЕЛЬ _____________ Якимов А.И.

^{(подпись)}

Задание принял к исполнению «___»__________ 2010г. _____________

^{(подпись)}

Оглавление

Введение 4

1 Нормальное распределение 4

1.1 Описание нормального закона распределения. 5

1.2 Программа для генерации случайных нормальных чисел. 7

2 Эксперимент Normal (опыт 1 1 1)…..…….....……………..………..…………...…8

2.1 Подстановка сгенерированных 43 чисел. 8

2.2 Диаграммы составленные по столбцам матрицы U. 10

2.3 Диаграммы составленные по столбцам матрицы V............………………………..11

2.4 Лепестковые диаграммы для матриц V и U………………………………………...13

2.5 Тренд………………………………..………...……….………………………………14

2.6 Гармоника………………...…..……………………….……………………………....15

2.7 Random….………………...…..……………………….……………………………...16

2.8 Сумма тренда, гармоники и rand….………………….……………………………...17

3 Распределение Фишера (F)………………………………………………………….18

3.1 Описание F (Фишера) закона распределения. 18

3.2 Программа для генерации случайных F чисел 20

4 Эксперимент F (опыт 1 1 1)………………...…………………………………...…21

4.1 Подстановка сгенерированных 43 чисел. 21

4.2 Диаграммы составленные по столбцам матрицы U. 23

4.3 Диаграммы составленные по столбцам матрицы V............………………………..24

4.4 Лепестковые диаграммы для матриц V и U…..……………….…...……………….26

4.5 Тренд………………………………..………...……….………………………………27

4.6 Гармоника………………...…..……………………….……………………………....28

4.7 Random….………………...…..……………………….……………………………....29

4.8 Сумма тренда, гармоники и rand….………………….……………………………...30

Заключение 31

Список использованных источников. 32

Введение

В данной курсовой работе нужно создать программу, чтобы сгенерировать 43 числа по нормальному и F закону распределению, провести по 8 опытов на каждый (Normal и F) метод распределения.

Начинаем выполнять эксперименты:

1) Я вставил сгенерированные 43 числа в Excel (Лист1) в поле (G2:G44), изменил суммы находящиеся в ячейках: D48, F48, G48 под определённый опыт.

2) Далее высчитывается матрица (G54: AB75). Копируем матрицу (G54: AB75) и вставляем в матрицу в MathCAD, дальше автоматически рассчитываются матрицы U, V, X1, X2, X3, X.

3) Выделяем матрицу U (MathCAD), нажимаем правую кнопку мыши и выбираем Copy Selection (копировать выделенное) и вставляем в Excel на (лист2), заменяя матрицу U, находившуюся на (листе2). Как только мы заменили матрицу U, автоматически, по столбцам матрицы, строятся 22 графика.

4) Те же действия производим для матрицы V (лист3).

5) Копируем с (листа2) и с (листа3) матрицы U и V и вставляем в (лист4). Как только мы вставили матрицы U и V, строятся лепестковые диаграммы.

6) Копируем с MathCAD матрицу Х1 и вставляем её в Excel в лист (Тренд), где после вставки матрицы Х1 строятся: тренд, Распределение абсолютной ошибки восстановления тренда и Распределение суммы квадратов отклонений тренда.

7) Копируем с MathCAD матрицу Х2 и вставляем её в Excel в лист (Синус), где после вставки матрицы Х2 строятся: гармоника, Распределение абсолютной ошибки восстановления гармоники и Распределение суммы квадратов отклонений гармоники.

8) Копируем с MathCAD матрицу Х3 и вставляем её в Excel в лист (Rand), где после вставки матрицы Х3 строятся: rand, Распределение абсолютной ошибки восстановления Randoma и Распределение суммы квадратов отклонений Randoma.

9) Копируем с MathCAD матрицу Х и вставляем её в Excel в (лист7), где после вставки матрицы Х строятся: Сумма Х (Х=Х1+Х2+Х3), Распределение абсолютной ошибки восстановления Х и Распределение суммы квадратов отклонений Х.

10) Эти действия повторять для выполнения оставшихся 15 опытов.

1 Нормальное распределение

1.1 Описание Нормального закона распределения

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности:

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Найдем функцию распределения F(x).

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции.

Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m, то в точке х = т функция имеет максимум, равный:

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность (х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. В этих точках значение функции равно:

Построим график функции плотности распределения.

Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:

1.2 Программа для генерации случайных нормальных чисел

#include<iostream.h>

#include<math.h>

#include<stdlib.h>

#include<fstream.h>

double random(double min, double max);

double Shum(double Disp);

void main()

{

double Disp;

cin>>Disp;

fstream fl;

fl.open("gauss.txt",ios::out);

for(int i=0;i<43;i++)

fl<<Shum(Disp)<<endl;

fl.close();

}

double Shum(double Disp)

{

double v1,v2;

for(int i=0;i<i+2;i++){

v1=random((-2*30),(3*20));

v2=random(0,1);

if(v2<=(exp(-v1*v1/(2*20))))

return v1*sqrt(Disp/20);

}

return 0;

}

double random(double min, double max)

{

return min + (max-min) * static_cast<double>(rand())/RAND_MAX;

Таблица 1.1 – Случайные числа по нормальному закону

распределения.

Объем выборки равен 43. Это ограничение обусловлено

последующим использованием пакета MathCAD, в котором общее

число элементов матрицы не должно превышать числа 600.

Таблица 1.1
2 Эксперимент Normal (опыт 1 1 1)

2.1 Подстановка сгенерированных 43 чисел

Рисунок 2.1 – начало опыта 1.1.1

1) Вставим в столбец (G2:G44) 43 случайных числа сгенерированных по нормальному распределения.

Получим матрицу размером 22х22 (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – матрица для среды Mathсad 14.0

2) Копируем эту матрицу и вставляем в MathCAD. Эта матрица нужна для вычисления матриц U, V, X1, X2, X3, X.

Рисунок 2.3 – Матрица U Рисунок 2.4 – Матрица V

Рисунок 2.5 – Матрица Х1 Рисунок 2.6 – Матрица X2

Рисунок 2.7 – Матрица Х3 Рисунок 2.8 – Матрица Х

2.2 Диаграммы составленные по столбцам матрицы U

Подставляя матрицу U из MathCAD в Excel, мы получаем следующие графики:

По этим графикам легко можно понять, где тренд, гармоника и рандом.

2.3 Диаграммы составленные по столбцам матрицы V

Подставляя матрицу V из MathCAD в Excel, мы получаем следующие графики:

По этим графикам легко можно понять, где тренд, гармоника и рандом.

2.4 Лепестковые диаграммы для матриц V и U

Лепестковые диаграммы составляем из двух столбцов (например, первый столбец из матрицы V и первый столбец из матрицы U).

2.5 Тренд

Чтобы построить тренд, необходимо скопировать матрицу Х1 из MathCAD 14.0 и вставить её в Excel (лист «Тренд») в поле (B4:W25).

Рисунок 2.9 – матрица Х1

Далее создаётся матрица (рис.2.10)

Рисунок 2.10 – матрица

В итоге по строчке (А51:AR51), т.е. по среднему значению каждого столбца рисунка 2.10 строится тренд. Тренд – рисунок 2.11

Распределение абсолютной ошибки восстановления трендовой составляющей показано на рисунке 2.12

Распределение суммы квадратов отклонений трендовой составляющей показано на рисунке 2.13

рисунок 2.11 рисунок 2.12 рисунок 2.13

2.6 Гармоника

Чтобы построить гармонику, необходимо скопировать матрицу Х2 из MathCAD 14.0 и вставить её в Excel (лист «Синус») в поле (B4:W25).

Рисунок 2.14 – матрица Х2

Далее создаётся матрица (рис.2.15)

Рисунок 2.15 – матрица

В итоге по строчке (А51:AR51), т.е. по среднему значению каждого столбца рисунка 2.15 строится гармоника. Гармоника – рисунок 2.16

Распределение абсолютной ошибки восстановления гармонической составляющей показано на рисунке 2.17

Распределение суммы квадратов отклонений гармонической составляющей показано на рисунке 2.18

Рисунок 2.16 рисунок 2.17 рисунок 2.18

2.7 Random

Чтобы построить Rand, необходимо скопировать матрицу Х3 из MathCAD 14.0 и вставить её в Excel (лист «rand») в поле (B4:W25).

Рисунок 2.19 – матрица Х3

Далее создаётся матрица (рис.2.20)

Рисунок 2.20 – матрица

В итоге по строчке (А51:AR51), т.е. по среднему значению каждого столбца рисунка 2.20 строится rand. Rand – рисунок 2.21

Распределение абсолютной ошибки восстановления rand составляющей показано на рисунке 2.22

Распределение суммы квадратов отклонений rand составляющей показано на рисунке 2.23

Рисунок 2.21 (верхний) Рисунок 2.22 Рисунок 2.23

2.8 Сумма тренда, гармоники и rand

Чтобы построить Сумму (Х=Х1+Х2+Х3), необходимо скопировать матрицу Х из MathCAD 14.0 и вставить её в Excel (лист «Лист 7») в поле (B4:W25).

Рисунок 2.24 – матрица Х

Далее создаётся другая матрица (рис.2.25)

Рисунок 2.25 – матрица

В итоге по строчке (А51:AR51), т.е. по среднему значению каждого столбца рисунка 2.25 строится Х. Сумма Х – рисунок 2.26

Распределение абсолютной ошибки восстановления Суммы Х составляющей показано на рисунке 2.27

Распределение суммы квадратов отклонений Х составляющей показано на рисунке 2.28

Рисунок 2.26 рисунок 2.27 рисунок 2.28

3 Распределение Фишера (F)

3.1 Описание закона распределения Фишера (F).

Плотность вероятности:

Пусть Y1,Y2 — две независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат: Yi˜χ2(di), где. Тогда распределение случайной величины: называется распределением Фишера со степенями свободы d1 и d2.

Пишут F˜F(d1,d2).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Фишера, имеют вид:

, если d2 > 2,

, если d2 > 4.

Свойства распределения Фишера

Если F˜F(d1,d2), то

Распределение Фишера сходится к единице: если , то по распределению при,

где δ(x − 1) — дельта-функция в единице, то есть распределение случайной величины-константы .

Параметры	- - числа степеней свободы
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание	, если d2 > 2
Мода	, если d1 > 2
Дисперсия	, если d2 > 4
Коэффициент асимметрии	, если d2 > 6

3.2 Программа для генерации случайных F чисел

Для генерации 43 случайных чисел методом Фишера (F), я воспользовался программой EasyFit 5.3 Professional. (рис. 3.1)

Рисунок 3.1 – EasyFit 5.3 Professional

4.Эксперимент F (опыт 1 1 1)

4.1 Подстановка сгенерированных 43 чисел

Рисунок 4.1 – начало опыта 1.1.1

1) Вставим в столбец (G2:G44) 43 случайных числа сгенерированных по F закону распределения.

Получим матрицу размером 22х22 (рисунок 4.2).

Рисунок 4.2 – матрица для среды Mathсad 14.0

2) Копируем эту матрицу и вставляем в Mathcad. Эта матрица нужна для вычисления матриц U, V, X1, X2, X3, X.

Рисунок 4.3 – матрица U Рисунок 4.4 – матрица V

Рисунок 4.5 – матрица Х1 Рисунок 4.6 – матрица Х2

Рисунок 4.7 – матрица Х3 Рисунок 4.8 – матрица Х

4.2 Диаграммы составленные по столбцам матрицы U

Подставляя матрицу U из MathCAD в Excel, мы получаем следующие графики:

По этим графикам легко можно понять, где тренд, гармоника и рандом.

4.3 Диаграммы составленные по столбцам матрицы V

Подставляя матрицу V из MathCAD в Excel, мы получаем следующие графики:

По этим графикам легко можно понять, где тренд, гармоника и рандом.

4.4 Лепестковые диаграммы для матриц V и U

Лепестковые диаграммы составляем из двух столбцов (например, первый столбец из матрицы V и первый столбец из матрицы U).

4.5 Тренд

Чтобы построить тренд, необходимо скопировать матрицу Х1 из MathCAD 14.0 и вставить её в Excel (лист «Тренд») в поле (B4:W25).

Рисунок 4.9 – матрица Х

Далее создаётся матрица (рис.4.10)

Рисунок 4.10 – матрица

В итоге по строчке (А51:AR51), т.е. по среднему значению каждого столбца рисунка 4.10 строится тренд. Тренд – рисунок 4.11

Распределение абсолютной ошибки восстановления трендовой составляющей показано на рисунке 4.12

Распределение суммы квадратов отклонений трендовой составляющей показано на рисунке 4.13

Рисунок 4.11 рисунок 4.12 рисунок 4.13

4.6 Гармоника

Чтобы построить гармонику, необходимо скопировать матрицу Х2 из MathCAD 14.0 и вставить её в Excel (лист «Синус») в поле (B4:W25).

Рисунок 4.14 – матрица Х2

Далее создаётся матрица (рис.4.15)

Рисунок 4.15 – матрица

В итоге по строчке (А51:AR51), т.е. по среднему значению каждого столбца рисунка 4.15 строится гармоника. Гармоника – рисунок 4.16

Распределение абсолютной ошибки восстановления гармонической составляющей показано на рисунке 4.17

Распределение суммы квадратов отклонений гармонической составляющей показано на рисунке 4.18

Рисунок 4.16 рисунок 4.17 рисунок 4.18

4.7 Random

Чтобы построить Random, необходимо скопировать матрицу Х3 из Mathcad 14.0 и вставить её в Excel (лист «rand») в поле (B4:W25).

Рисунок 4.19 – матрица Х3

Далее создаётся матрица (рис.4.20)

Рисунок 4.20 – матрица

В итоге по строчке (А51:AR51), т.е. по среднему значению каждого столбца рисунка 4.20 строится rand. Rand – рисунок 4.21

Распределение абсолютной ошибки восстановления rand составляющей показано на рисунке 4.22

Распределение суммы квадратов отклонений rand составляющей показано на рисунке 4.23

Рисунок 4.21 (верхний) Рисунок 4.22 Рисунок 4.23

4.8 Сумма тренда, гармоники и rand

Чтобы построить Сумму (Х=Х1+Х2+Х3), необходимо скопировать матрицу Х из Mathcad 14.0 и вставить её в Excel (лист «Лист 7») в поле (B4:W25).

Рисунок 4.24 – матрица Х

Далее создаётся матрица (рис.4.25)

Рисунок 4.25 – матрица

В итоге по строчке (А51:AR51), т.е. по среднему значению каждого столбца рисунка 4.25 строится Х. Сумма Х – рисунок 4.26

Распределение абсолютной ошибки восстановления Суммы Х составляющей показано на рисунке 4.27

Распределение суммы квадратов отклонений Х составляющей показано на рисунке 4.28

Рисунок 4.26 рисунок 4.27 рисунок 4.28

Заключение

В данной курсовой работе нужно было сгенерировать 43 числа по нормальному и F закону распределения, провести по 8 опытов на каждый (Normal и F) метод распределения. Мне в целом удалось выполнить курсовую работу.

Шаги для выполнения экспериментов:

1) Я вставил сгенерированные 43 числа в Excel (Лист1) в поле (G2:G44), изменил суммы находящиеся в ячейках: D48, F48, G48 под определённый опыт.

2) Далее высчитывается матрица (G54: AB75). Копируем матрицу (G54: AB75) и вставляем в матрицу в MathCAD, дальше автоматически рассчитываются матрицы U, V, X1, X2, X3, X.

3) Выделяем матрицу U (MathCAD), нажимаем правую кнопку мыши и выбираем Copy Selection (копировать выделенное) и вставляем в Excel на (лист2), заменяя матрицу U, находившуюся на (листе2). Как только мы заменили матрицу U, автоматически, по столбцам матрицы, строятся 22 графика.

4) Те же действия производим для матрицы V (лист3).

5) Копируем с (листа2) и с (листа3) матрицы U и V и вставляем в (лист4). Как только мы вставили матрицы U и V, строятся лепестковые диаграммы.

6) Копируем с MathCAD матрицу Х1 и вставляем её в Excel в лист (Тренд), где после вставки матрицы Х1 строятся: тренд, Распределение абсолютной ошибки восстановления тренда и Распределение суммы квадратов отклонений тренда.

7) Копируем с MathCAD матрицу Х2 и вставляем её в Excel в лист (Синус), где после вставки матрицы Х2 строятся: гармоника, Распределение абсолютной ошибки восстановления гармоники и Распределение суммы квадратов отклонений гармоники.

8) Копируем с MathCAD матрицу Х3 и вставляем её в Excel в лист (Rand), где после вставки матрицы Х3 строятся: rand, Распределение абсолютной ошибки восстановления Randoma и Распределение суммы квадратов отклонений Randoma.

9) Копируем с MathCAD матрицу Х и вставляем её в Excel в (лист7), где после вставки матрицы Х строятся: Сумма Х (Х=Х1+Х2+Х3), Распределение абсолютной ошибки восстановления Х и Распределение суммы квадратов отклонений Х.

10) Эти действия повторять для выполнения оставшихся 15 опытов.

Все эксперименты мной выполнены успешно.

Список использованных источников

1. Айвазян, С. А. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных: справоч. изд. / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. – М.: Финансы и статистика, 1983. – 471 с.

2. Крамер, Г. Математические методы статистики: пер. с англ. / Г. Крамер. – 2-е изд. – М.: Мир, 1975. – 648 с.

3. Большев, Л. Н. Таблицы математической статистики / Л. Н. Большев, Н. В. Смирнов. – М.: Наука, 1983. – 416 с.

4. Муха, В. С. Статистические методы обработки данных: учеб. пособие / В. С. Муха. – Минск: Изд. центр БГУ, 2009. – 183 с.

5. Hyndman, R. J. The problem with Sturges’ rule for constructing histograms [Электрон. ресурс] / R. J. Hyndman. – 1995. – Режим доступа: http: // www.robjhyndman.com / papers / sturges.pdf. – Дата доступа: 12.04.2010.

6. Таран, Т. А. Искусственный интеллект. Теория и приложения: учеб. пособие / Т. А. Таран, Д. А. Зубов. – Луганск: ВНУ им. В. Даля, 2006. – 240 с.: ил.

7. Якимов, Е. А. Интеллектуальный анализ входных данных при эксплуатации имитационной модели / Е. А. Якимов; науч. рук.: И. В. Максимей // Новые материалы, оборудование и технологии в промышленности: материалы междунар. науч.-техн. конф. молод. ученых, Могилев, 19-20 ноября 2009 г. – Могилев: Белорус.-Рос. ун-т, 2009. – С. 121.

8. Голуб, Дж. Матричные вычисления: пер. с англ. / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. – М.: Наука, 1999. – 548 с.: ил.

Дата добавления: 2015-11-04