8. Кривые линии и кривые поверхности

8. КРИВЫЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

8.1. КРИВЫЕ ЛИНИИ

Кривую линию можно рассматривать как след движущейся в пространстве точки или как совокупность точек, удовлетворяющих определенному уравнению. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой кривых поверхностей или пересечения кривой поверхности плоскостью.

Если все точки кривой линии лежат в плоскости, то она является плоской, в противном случае - пространственной.

8.2. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ

Среди плоских кривых выделим кривые, называемыми алгебраическими. Такие кривые линии могут быть заданы алгебраическим уравнением. Степень уравнения определяет порядок кривой линии.

Линии первого порядка - прямые линии.

Кривые линии второго порядка - линии, алгебраическое уравнение которых - уравнение второй степени.

Линии второго порядка - это плоские кривые, определяемые: пятью точками, или четырьмя точками и одной касательной, или тремя точками и двумя касательными, или двумя точками и тремя касательными и т.д. Касательные могут проходить через задаваемые точки.

Линии второго порядка подразделяются на три вида: эллипс, гиперболу и параболу.

ЭЛЛИПС

Эллипс определяется уравнением х²/а² + y²/b² =1

Эллипс имеет две оси симметрии, следовательно и центр.

Наибольший диаметр эллипса - 2а называется большой осью, а малый диаметр - 2b - малой осью. Эти оси взаимно перпендикулярны.

Поскольку эллипс обладает многими геометрическими свойствами, существует множество способов построения его очерков

Рис.8.1

1.Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух неподвижных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а (рис.8.1).

М₁F₁+M₁F₂=2a

R₁+R₂=2a

AO=A₁O=a; F₁O=F₂O; где:

F₁O= e - эксцентриситет эллипса. ВF₁=BF₂=a.

Рис.8.2

2. С помощью двух концентрических окружностей (рис.8.2).

Проводятся две концентрические окружности радиусами ОА и ОВ, а затем из центра О - произвольно выбранные лучи, пересекающие обе окружности в точках 1 и 2 соответственно.

С помощью лучей: 1₁-М₁ и 2₁-М₁ соответственно находят точки М₁ очерка эллипса.

3.по сопряженным диаметрам эллипса (рис.8.3).

Рис.8.3

Если заданы главные оси или два сопряженных диаметра эллипса, то есть такие диаметры, которые делят хорды, соответственно параллельные другому его диаметру пополам, то очерк эллипса можно построить по точкам, указанным на рис.8.3, способом

ГИПЕРБОЛА.

Гипербола определяется уравнением х²/а² - y²/b² =1

Рис.8.4

Гипербола обладает центром и двумя осями симметрии, имеет две несобственные точки.

Ось симметрии, называемая действительной, пересекает ветви кривой в вершинах А₁ и А₂. Ось, перпендикулярная к действительной оси (и не пересекающую кривую), называют мнимой.

Прямые линии, проходящие через центр и определяющие несобственные точки М_¥ и N_¥, называются асимптотами.

При построении гиперболы желательно определить ее центр, диаметр А₁А₂ и асимптоты.

Гипербола, как и эллипс, обладает многими свойствами, на основании которых можно найти множество точек этой кривой.

Гипербола - множество точек плоскости, разность расстояний (радиус-векторов) которых до двух данных точек (фокусов), есть величина постоянная равная 2а - действительной оси гиперболы (рис.8.4). Множество точек гиперболы находят так:

Отмечают точки 1, 2, 3,... на действительной оси гиперболы, постепенно увеличивая расстояния между ними, и проводят из фокуса F₁ дуги радиусами, равными отрезкам А1, А2, А3,..., а из F₂ - отрезками А₁1, А₁2, А₁3,... Пересечение дуг А1 с А₁1, А2 с А₁2, А3 с А₁3,... - точки гиперболы: М₁, М₂, М₃,...

Для построения точек левой ветви кривой из точки F₂ проводят дуги радиусами А1, А2, А3,..., а из F₁ - радиусами А₁1, А₁2, А₁3,..., но можно использовать осевую или центральную симметрию, как это сделано на чертеже.

2. Построение гиперболы по ее осям, вершинам и точке М. (рис.8.5).

Рис.8.5

Проводят через точку М прямые линии, параллельные осям гиперболы и получают прямоугольник МРА₁Q, а затем диагональ PQ.

Из вершины А проводят произвольный луч, пересекающий МQ в точке 1₁, а из точки 1₁ - прямую, параллельную PQ, получая точку 2₁. Луч А₁2₁ пересечет луч А1 в точке М₁, принадлежащей гиперболе.

Аналогично находятся другие точки гиперболы.

Вторая ветвь гиперболы симметрично найденной.

ПАРАБОЛА.

Парабола определяется уравнением х²=2pz. (y²=2px).

Парабола имеет одну ось симметрии и одну несобственную на ней точку.

Рис.8.6

Парабола - множество точек плоскости, равноудаленных от точки (фокуса) и прямой (директрисы), лежащих в плоскости.

Величина р - расстояние между фокусом и директрисой - параметр параболы. На этом свойстве основано построение параболы по заданным фокусу и директрисе (рис.8.6).

Парабола может быть построена по ее оси, вершине А и точке М одним из двух способов (рис.8.7). Построение точек указано стрелками.

Рис.8.7

Все диаметры параболы параллельны ее оси, так как центр параболы - несобственная точка. Хорды параболы, которые делятся одним из диаметров пополам, называются сопряженными с этим диаметром.

Касательная в конце такого диаметра параллельна сопряженным с ним хордам. (рис.8.8).

Рис.8.8 Рис.8.9

Простой способ проведения касательной к параболе в данной точке дан на рис. 8.9.

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ КРИВЫЕ.

Трансцендентными называют кривые линии, заданные, неалгебраическими уравнениями. Например, синусоида. Ее уравнение у=sinx, характеризуют изменение синуса угла в зависимости от величины угла, или циклоида, параметрическое уравнение которой имеет вид: х=r(t – sin(t)), y=r(1+сos(t)).

Более подробно построение кривых линий описано в учебниках по машиностроительному черчению.

Литература.

Левицкий В.С. Машиностроительного черчение: Учебник для студ. втузов - М.:Высш.шк., 1988.

8.3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ

Пространственные кривые линии - это, главным образом, линии пересечения кривых поверхностей. Так, например, две поверхности второго порядка пересекаются по линии четвертого порядка, представляющей собой пространственную кривую.

8.4. ПРОЕЦИРОВАНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ

Кривая линия в общем случае проецируется кривой линией (рис.8.10).

Рис.8.10

Алгебраические кривые проецируются кривыми линиями того же порядка, что и сами кривые.

Кривые второго порядка проецируются кривыми линиями второго порядка.

При параллельном проецировании эллипс и окружность проецируются в эллипс или, в частном случае, в окружность; проекция параболы - парабола, проекция гиперболы - гипербола.

При проецировании окружности любая пара ее взаимно перпендикулярных диаметров проецируется парой сопряженных диаметров эллипса.

8.5. ОСОБЫЕ ТОЧКИ КРИВОЙ ЛИНИИ

Прямая, пересекающая кривую линию в двух и более точках, называется секущей. Если эти точки оказываются бесконечно близкими (совпадают), прямую, проходящую через эти точки, называют касательной к кривой. На рис.8.11 показано, как секущая l, вращаясь вокруг точки К, превращается в касательную t.

Рис.8.11 Рис.8.12 Рис.8.13.

К особым точкам кривых линий относят:

1. Точки самопересечения линий (рис.8.12). В этих точках к кривой можно провести две и более касательных.

2. Точки перегиба кривой - точки, которые разделяют участки, кривизна которых имеет различное направление (рис.8.13).

3. Точки возврата - точки, в которых кривая имеет только одну касательную и относительно которой ветви кривой располагаются по одну сторону.

4. Экстремальные точки - точки, наиболее близкие или наиболее удаленные от наблюдателя или от плоскости проекций.

8.6. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ И ЗАДАНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Кривая поверхность может рассматриваться как совокупность всех положений некоторой линии, движущейся в пространстве. Движущуюся линию в этом случае называют образующей поверхности, а линии (иногда и точки), определяющие закон ее перемещения, - направляющими (Кинематический способ образования поверхности).

Совокупность точек, линий и различных условий, определяющих закон перемещения образующей, называют также определителем поверхности.

8.7. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Поверхность, образуемая движением прямой линии, называется линейчатой. На рис. 8.14 линейчатая поверхность образована движением прямой образующей l, постоянно проходящей через точку s и во всех своих положениях пересекающей некоторую направляющую m. Эта поверхность называется конической.

На рис.8.15 линейчатая поверхность образована движением образующей l, перемещающейся параллельно самой себе и пересекающей направляющую кривую n. Такая поверхность называется цилиндрической.

На рис.8.16 поверхность образуется движением прямой линии, пересекающей две кривые направляющие линии а и b, и параллельной плоскости параллелизма l. Такая поверхность называется цилиндроидом. При этом направляющие линии могут быть как плоскими, так и пространственными.

Рис.8.14 Рис.8.15 Рис.8.16

Если одна из направляющих поверхности с плоскостью параллелизма - прямая линия, то поверхность называют коноидом, если обе направляющие - прямые линии, то - косой плоскостью или гиперболическим параболоидом.

8.8. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

На рис.8.17 поверхность образована вращением образующей l вокруг оси i. При этом точки образующей перемещаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения.

Через любую точку на поверхности вращения можно провести только одну параллель и один меридиан. Наибольшую параллель называют экватором, а меридиан, параллельный плоскости проекций, - главным меридианом.

Рис.8.17 Рис.8.18

8.9. ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАВАЕМЫЕ КАРКАСОМ

На рис.8.18 топографическая поверхность задана горизонталями. Любую точку на такой поверхности можно задать с помощью линии на этой поверхности, проходящей через эту точку. На рисунке точка М поверхности лежит на линии, пересекающей горизонтали этой поверхности.

В авиационной промышленности, в судостроении и автомобилестроении теоретическая поверхность изделия задается плоскими сечениями, параллельными горизонтальной, фронтальной, профильной плоскостям проекций. На рис.8.19 изображен фрагмент такой поверхности. Плоские сечения теоретического каркаса горизонтальными плоскостями называют горизонталями, фронтальными плоскостями - батоксами, а профильными - шпангоутами.

Если поверхность на чертеже задана своим определителем, то на ней можно построить сколь угодно плотный каркас. Например, на поверхности вращения - каркас параллелей, а на поверхности конуса - каркас его образующих

Рис.8.19

Фрагмент теоретического чертежа корпуса мини-яхты “Дюгонь”.

Проекции: полуширота и бок (шпангоуты, батоксы, высоты от КВЛ) рис.8.20.

Рис.8.20

На рис.8.21 изображен фрагмент задания на чертеже фюзеляжа модели самолета-истребителя ЛА-11, заданного набором поперечных сечений (М1:50).

Рис.8.21

8.10. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Поверхности, выражаемые алгебраическим уравнением второй степени, называют поверхностями второго порядка. Порядок алгебраической поверхности равен степени ее уравнения. Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением первой степени, есть плоскость. Среди поверхностей второго порядка выделим:

1.Эллипсоиды. Они имеют каноническое уравнение следующего вида х²/а² + y²/b² + z²/c²=1. Эллипсоиды подразделяются на: трехосные (а¹b¹с¹а, рис.8.22), вращения (а=b¹с¹а, рис.8.23) или (а¹b=с, или а=с¹b) и сферу (а=b=c).

Рис.8.22 Рис.8.23

2. Параболоиды. Параболоиды эллиптические (рис.8.24) имеют уравнение х²/р + y²/b=2z. Параболоид вращения имеет уравнение z²=2px.

3. Параболоиды гиперболические (рис.8.25) имеют уравнение вида: х²/р-y²/q=2z и являются линейчатыми поверхностями (косая плоскость).

Рис.8.24 Рис.8.25

Гиперболоиды.

а) Гиперболоиды однополостные (рис.8.26) имеют уравнение вида: х²/а²+y²/b²-z²/c²=1 и являются линейчатыми поверхностями.

б) Гиперболоиды двухполостные (рис.8.27) имеют уравнение вида х²/а²+y²/b²-z²/c²=-1.

Гиперболоиды могут быть поверхностями вращения.

Рис.8.26 Рис.8.27

Поверхности второго порядка могут быть подобными.

Два эллипсоида подобны, если отношение их полуосей одинаково: а:b:c=a₁:b₁:c₁.

Два эллиптических параболоида подобны, если подобны их сечения плоскостью, перпендикулярной к оси.

Два гиперболических параболоида подобны, если их асимптотические плоскости составляют одинаковые углы.

Два гиперболоида подобны, если они имеют одинаковые асимптотические конические поверхности.

8.11. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Прямая пересекает поверхность в двух точках: действительных, совпадающих или мнимых.

2. Поверхность пересекается плоскостью по кривой второго порядка, которая может распадаться на две прямые (пересекающиеся, параллельные или совпавшие).

3. Через два сечения поверхности второго порядка можно провести конус или цилиндр (задача имеет два решения).

4. Поверхность может быть задана двумя кривыми второго порядка и точкой, или касательной плоскостью. При этом на положение кривых накладывается такое ограничение: обе кривые должны принадлежать одной конической (цилиндрической) поверхности. Такие кривые называются гологичными.

5. Три кривые второго порядка, принадлежащие трем плоскостям попарно пересекающиеся в шести точках, определяют единственную поверхность второго порядка. Если одна из кривых распадается на две прямые, то поверхность будет линейчатой.

6. К центральным поверхностям второго порядка относятся: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды. Отрезок прямой, проведенный через центр и соединяющий две точки пересечения с поверхностью, называется диаметром. Центр поверхности делит этот отрезок пополам.

7. Поверхность может быть задана девятью произвольными точками. Чтобы написать уравнение такой поверхности, необходимо подставить в уравнение поверхности координаты заданных точек и решив систему девяти линейных уравнений, получить значения коэффициентов.

8. Эллипсоид, двуполостной гиперболоид и эллиптический параболоид относятся к нелинейчатым поверхностям. Все остальные - линейчатые.

Все эти свойства поверхностей второго порядка могут быть обнаружены методом сечений данных поверхностей плоскостями

При каноническом (нормальном) задании поверхностей исследование легко проводится с помощью проецирующих плоскостей.

Метод плоских сечений является основным методом исследования и задания поверхностей сложной формы в технике.

8.12. СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ

Чтобы построить сечение поверхности какой-либо проецирующей плоскостью, необходимо сначала построить каркас линий, принадлежащей этой поверхности. Каркас поверхности может быть образован дискретным множеством линий, образующих данную поверхность. Примером таких линий могут быть параллели на поверхности вращения, образующие линейчатой поверхности и тому подобное.

Секущая плоскость, в данном случае проецирующая, пересечет линии каркаса в соответствующих точках, соединяя которые в определенной последовательности от одной линии каркаса к другой, следуя их расположению на каркасе, можно получить фигуру сечения поверхности заданной секущей плоскостью.

Покажем это на примерах.

Пример 1 (рис.8.30). Построить сечение цилиндра горизонтально проецирующей плоскостью b(b`).

Решение:

1.Строим каркас образующих на поверхности заданного цилиндра - линии:t, t₁, t₂, t₃,...

2. Заданная плоскость пересечет их соответственно в точках: 1, 2, 3,..., соединяя которые получим искомую линию пересечения.

Подобные задачи решаются на комплексных чертежах аналогично этому примеру

Рис.8.30

Пример 2 (рис.8.31). Построить линию сечения поверхности вращения фронтально проецирующей плоскостью a(a`).

Решение понятно из чертежа.

Рис.8.31

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

К коническим сечениям относятся кривые линии и частные случаи таких линий, получающиеся при пересечении конуса второго порядка плоскостью. К этим линиям относятся: эллипс (в частном случае окружность), гипербола (в частном случае две пересекающиеся прямые) и парабола (в частном случае две совпавшие прямые линии)(рис.8.32, 8.33, 8.34).

Эллипс (плоскость a пересекает все образующие конуса).

Парабола (плоскость a параллельна только одной образующей конуса).

Гипербола (плоскость a параллельна двум образующим конуса SL₁ и SL₂).

Рис.8.32 Рис.8.33

Рис.8.34

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

При построении точек пересечения прямой линии с кривой поверхностью вспомогательную секущую плоскость стараются выбрать таким образом, чтобы она пересекла кривую поверхность по линии, легко определяемой на чертеже, то есть по инструментально простой линии: прямой или окружности.

Алгоритм решения:

1. Заданную прямую заключают во вспомогательную секущую плоскость (чаще проецирующую);

2. Строят сечение заданной поверхности этой плоскостью;

3. Находят общие точки фигуры сечения с заданной прямой;

4. Определяют видимость прямой линии относительно поверхности. В этом случае можно воспользоваться конкурирующими точками.

Пример 1 (рис.8.35). Найти точки пересечения прямой l с поверхностью конуса.

Рис.8.35

На рис.8.35 вспомогательная секущая плоскость проведена через прямую l и вершину S конуса. Она пересекла конус по образующим SL₁ и SL₂.

Вспомогательная секущая плоскость задана прямыми S1 и S2, а ее горизонтальный след - линия АВ.

Рис.8.36

Задачи на взаимное пересечение прямой линии с кривой поверхностью - задачи третьего типа могут быть сведены к задачам второго типа путем преобразования комплексного чертежа.

Пример 1 (рис.8.37). Найти точки M и N пересечения прямой l с цилиндрической поверхностью вращения.

Решение:

Преобразуем заменой плоскостей проекций чертеж так, чтобы цилиндрическая поверхность стала проецирующей.

Одновременно с этим прямая l (1,2) преобразуется в линию l^IV(1^IV,2^IV), точки пересечения которой с очерком цилиндрической поверхности - M^IV и N^IV и будут искомыми.

Обратным преобразованием найдем эти точки на исходных проекциях

Построения ясны из чертежа.

Рис.8.37

9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Для построения линий взаимного пересечения двух кривых поверхностей пользуются методом вспомогательных секущих поверхностей. В качестве которых используются не только вспомогательные секущие плоскости, но и вспомогательные секущие поверхности: цилиндрические, конические и сферы, выбор которых в качестве “посредников” позволяет находить точки искомой линии пересечения.

1. Возможности применения способа вспомогательных секущих плоскостей в качестве “посредников”.

Вспомогательные секущие плоскости применимы, если заданы:

- две поверхности вращения, оси которых перпендикулярны к одной из плоскостей проекций;

- два цилиндра или два конуса, или конус и цилиндр;

- две линейчатые поверхности с общей плоскостью параллелизма;

- две каркасные поверхности.

Пример 1(рис.9.1). Построить линию пересечения сферы с конусом.

Решение:

1. Находим характерные и опорные точки искомой линии пересечения.

Такими точками будут точки пересечения очерковых образующих: А, В, С и С₁. Точки С и С₁ получены с помощью вспомогательной секущей плоскости g, проходящей через экватор сферы.

2. Промежуточные точки искомой линии находим с помощью семейства вспомогательных секущих плоскостей: g₁, g₂,...

3. Соединяя последовательно найденные точки А, М, С, N,..В получаем проекции искомой линии.

4. Определяем видимость.

Рис.9.1

Пример 2 (рис.9.2). Построить линию взаимного пересечения поверхностей цилиндра и тора.

Решение:

Обе заданные поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций и потому точки искомой линии пересечения можно найти с помощью вспомогательных секущих плоскостей: b, b₁, b₂,...

Построение начинаем с опорных точек А и В искомой линии, принадлежащих очерковым образующим.

Рис.9.2

2. Возможности применения вспомогательных секущих сфер в качестве “посредников”.

Применение вспомогательных секущих сфер возможно в следующих случаях, когда на чертеже заданы:

1. Две поверхности вращения, оси которых пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций;

2. Две поверхности вращения, оси которых пересекаются, но ось одной из них параллельны, а ось другой - перпендикулярна к одной и той же плоскости проекций.

3. Когда на чертеже заданы две поверхности с общей плоскостью симметрии и одна из них является поверхностью вращения, а другая поверхность имеет семейство плоских круговых сечений, перпендикулярных общей плоскости симметрии.

Рассмотрим эти случаи на примерах.

Если на чертеже заданы две поверхности вращения, оси которых пересекаются и параллельны плоскости чертежа, то точки искомой линии пересечения могут быть найдены с помощью вспомогательных секущих концентрических сфер с центром в точке пересечения осей.

Пример 1 (рис.9.3). Построить линию пересечения поверхности конуса вращения с тором.

Решение:

Из точки О пересечения осей опишем некоторую сферу радиуса R. Она пересечет конус по двум параллелям: 1-1 и 2-2, а тор - по 3-3. Общие точки Е и Е пересечения параллелей 1-1 и 3-3 будут точками искомой линии пересечения заданных поверхностей.

По аналогии, описывая новые сферы, получим необходимое и достаточное количество точек искомой линии пересечения.

Примечание.

Сфера минимального радиуса R₁ будет касаться одной из поверхностей вращения и пересекать другую. В данном случае, она касается конуса и пересекает тор по параллели 4-4.

Точки С и С₁ получены с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости g, проведенной через ось тора.

Рис.9.3

Идея применения способа вспомогательных секущих сфер основана на свойстве взаимного пересечения двух соосных поверхностей вращения, то есть имеющих общую ось вращения, по общим для них параллелям (рис.9.4).

Рис.9.4

Пример 2 (рис.9.5). Построить линию взаимного пересечения поверхностей конуса и тора.

Решение:

В данном случае ось конуса параллельна, а ось тора - перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Поэтому очерки вспомогательной секущей сферы некоторого радиуса Р нужно провести из точки О пересечения осей заданных поверхностей на той и другой плоскостях проекций. При этом на фронтальной проекции фигур сфера пересечет тор по параллели 1-1, а на горизонтальной плоскости проекций эта же сфера пересечет конус по параллелям 2-2 и 3-3. Поскольку окружность 1-1 проецируется на горизонтальную плоскость проекций в истинную величину, а параллели конуса - в прямые линии, то точки М и М пересечения этих линий и будут искомыми точками линии пересечения.

Аналогично можно найти необходимое и достаточное количество точек для построения проекций линии пересечения поверхностей.

Рис.9.5

Пример 3 (рис.9.6). Построить линию взаимного пересечения поверхностей двух торов.

Решение: Обе заданные поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций. Причем открытый (тор-кольцо) имеет семейство круговых сечений, перпендикулярных плоскости симметрии. Это третий из рассматриваемых случаев, когда невозможно применение вспомогательных секущих сфер в качестве “посредников”.

Нахождение точек искомой линии пересечения заданных поверхностей начинаем с определения опорных точек А и В, в интервале между которыми расположится искомая линия пересечения поверхностей.

Выбираем на поверхности тора-кольца произвольное круговое сечение 1-1, лежащее в плоскости, проходящей через ось j вращения тора-кольца. Из центра С₁ восставим перпендикуляр к линии 1-1, который пересечет ось второго тора в точке О₁.

Из точки О₁ опишем сферу радиуса О₁-1, пересекающую второй тор по окружности 2-2.

Общие точки М и М₁ окружностей 1-1 и 2-2 и будут точками искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Таким же способом найдены точки N и N₁ и другие не указанные точки.

Рис.9.6

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Две поверхности второго порядка пересекаются по кривой четвертого порядка.

На общую плоскость симметрии поверхностей кривая их пересечения проецируется кривой второго порядка.

Если часть кривой пересечения двух поверхностей второго порядка есть кривая второго порядка, то другая часть - также линия второго порядка (в том числе могут быть и пары прямых).

Две линии второго порядка, лежащие на одной поверхности второго порядка, можно провести другую поверхность второго порядка

Теорема Монжа: две поверхности второго порядка, описанные вокруг третьей поверхности второго порядка или вписанные в нее, пересекаются между собой по двум кривым второго порядка.

Значит, в этом случае пространственная кривая распадается на пару плоских кривых (рис.9.7).

Если две поверхности второго порядка имеют две общие соприкасающиеся с ними плоскости, то линия их пересечения распадается на пару кривых второго порядка (рис.9.8).

Рис.9.7 Рис.9.8

Проекция сечения эллипсоида вращения на плоскости, перпендикулярной к его оси, является эллипс, большая ось которого перпендикулярна к плоскости общей симметрии (рис.9.9).

Проекция эллиптического сечения однополостного гиперболоида вращения на плоскости, перпендикулярной к его оси, является эллипс, малая ось которого перпендикулярна общей плоскости симметрии поверхности (рис.9.10).

Проекция эллиптического сечения параболоида вращения на плоскости, перпендикулярной к его оси вращения, есть окружность (рис.9.11).

Рис.9.9 Рис.9.10 Рис.9.11

РАЗВЕРТКИ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Кривые поверхности, которые полностью, без растяжения или сжатия, без разрывов и складок можно совместить с плоскостью, называют развертываемыми. К этим поверхностям относятся лишь линейчатые и только такие, у которых смежные образующие пересекаются между собой или параллельны. Этим свойством обладают торсы (поверхности, образованные прямыми, касательными к направляющей пространственной кривой)., конические и цилиндрические поверхности.

Остальные линейчатые поверхности, а также все нелинейчатые - являются неразвертываемыми.

Построение полной развертки прямого кругового усеченного цилиндра вращения (рис.9.12).

Для построения развертки цилиндра достаточно представить его как призму с большим количеством граней (фактически достаточно 12-16 таких граней), равномерно разделив окружность основания цилиндра на равное число частей.

Рис.9.12

Если на поверхности цилиндра расположена какая-либо линия, то на развертку цилиндра эту линию можно перенести по точкам, принадлежащим соответствующим образующим этой поверхности.

Построения развертки полной поверхности прямого

кругового конуса (рис.9.13).

Для построения развертки прямого кругового конуса достаточно представить его поверхность как правильную пирамиду с большим числом граней и далее построить ее развертку, найдя натуральную величину одной из граней, представляющей собой равнобедренный треугольник, по его боковой стороне и основанию. Построение развертки конуса видно из чертежа, где основание “грани” S01 равно хорде 0<sup>`</sup>1`. Развертка боковой поверхности конуса, в данном случае, содержит 12 таких “граней”.

Развертка боковой поверхности будет найдена точнее, если определить угол j⁰ при точке S на развертке по формуле:

j⁰=R/l 360⁰, где R - радиус основания конуса, а l - длина образующей конуса.

Рис.9.13

Принадлежащие боковой поверхности конуса точки некоторой кривой АВСDЕ можно найти по принадлежности этих точек соответствующим образующим конической поверхности. Для этого достаточно способом вращения, как показано на примере точки С, принадлежащей образующей S2, найти отрезки S``B``₀=SB, S``D``₀=SD и S``E``₀=SE... Найденные отрезки отложить по соответствующим образующим на развертке конуса и провести через них линию АВСDE.

Для получения полной развертки поверхности конуса ее нужно дополнить основанием конуса, касательным в соответствующей точке развертки боковой поверхности.

Развертка боковой поверхности наклонного конуса находиться как развертка наклонной пирамиды с большим количеством граней, каждую из которых находят по трем сторонам - двум боковым “ребрам” и “основанию”.(рис.9.14).

Отсек поверхности наклонного кругового конуса и его развертка.

Рис.9.14

При построении развертки необходимо обратить внимание на то, чтобы внешняя поверхность конуса на развертке была обращена наружу, к наблюдателю, как указано на рис.9.12 - 9.14.

10. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

1.Общие замечания.

При построении комплексного чертежа предмета последний обычно располагают так, чтобы направления трех главных измерений его были параллельны плоскостям проекций: направление длины - параллельно оси х, ширины - оси y и высоты - оси z.

Тогда длина и высота проецируются в натуральную величину на фронтальную плоскость проекций, длина и ширина не искажаются на горизонтальной проекции, а ширина и высота - на профильной.

Такой чертеж нетрудно строить, по нему просто производить измерения, судить о размерах изображаемого предмета. Однако, он недостаточно нагляден. На каждой из проекций отсутствует одно из трех измерений. Чтобы воспроизвести форму предмета, надо мысленно воссоздать ее по двум, трем, а иногда и большему числу проекций.

Более наглядный чертеж можно получить, проецируя предмет на одну плоскость проекций и располагая его так, чтобы ни одно из направлений главных измерений не проецировалось точкой.

2. Чтобы образовать аксонометрический чертеж некоторой фигуры, например, точки А, необходимо жестко связать эту фигуру с некоторой декартовой системой координат 0хyz. При этом на координатных осях: 0х, 0y, и 0z зададим единую определенную натуральную единицу измерения е (в мм, см и тому подобное).

Так как точка А жестко связана с натуральной системой координат, то можно построить ее проекции на любую координатную плоскость. Например, построить проекцию А` точки А на плоскость p<sub>1</sub>(0хy). После этого точку А и ее проекцию А` и натуральные координатные оси параллельно проецируем на плоскость аксонометрического чертежа p₀ по направлению s (рис.10.1).

Рис.10.1

Полученную совокупность проекций (А₀, А`₀, х₀, y₀ и z₀) на p₀ будем называть аксонометрическим чертежом заданной фигуры - точки А,

Прямые х₀, y₀ и z₀ называются аксонометрическими осями.

Проекция А₀ называется главной аксонометрической проекцией точки А, а проекции А`₀ - вторичной. Очевидно, на полученном чертеже могут быть построены и другие вторичные проекции точки А: А``₀ и A```₀.

3. Отношение длины аксонометрического координатного отрезка 0₀Ах₀ к длине натурального координатного отрезка 0Ах называется показателем искажения по оси 0₀х₀ и обозначается буквой u: u=0₀Ax₀: 0Ах. Иначе, е_х: е=u.

Такой же смысл имеют показатели искажения e_y и e_z:

v=0₀Ay₀: и w=0₀Ax₀:0A_z.

Показатели искажения по осям в общем случае различны:

u¹v¹w¹u. В частном случае, когда u=v=w акснометрический чертеж называют изометрическим чертежом или короче - изометрией.

Если показатели искажения по двум осям равны между собой, а по третьей оси показатель искажения отличается от первых двух (u=w¹v и т.п.), то чертеж называется диметрическим, или кратко, - диметрией.

В общем случае, когда u¹v¹w, то такой чертеж называют триметрией.

4.Основная теорема аксонометрии - торема Польке (1851), утверждает:

Любые три отрезка на плоскости, исходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельную проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных пространственных отрезков.

В зависимости от направления параллельного проецирования по отношению к плоскости аксонометрического изображения различают косоугольные и прямоугольные аксонометрические проекции.

Между показателями искажения и углом наклона проецирования по отношению к плоскости аксонометрического изображения существует зависимость: u²+v²+w²=2+ctg²j.

Для прямоугольной аксонометрической проекции угол j=90⁰, следовательно: u²+v²+w²=2. Где:

1<u²+v²<2 и

1<u²+w²<2.

Теорема Вейсхбаха (1840):

Оси прямоугольной аксонометрической проекции являются биссектрисами углов треугольника, стороны которого пропорциональны квадратам коэффициентов искажения.

Таким образом, зная коэффициенты искажения некоторой прямоугольной аксонометрической проекции, можно найти ее аксонометрические оси (рис.10.2)

Рис.10.2

5.Построение осей и коэффициентов искажения прямоугольной аксонометрической проекции по треугольнику следов.

Если плоскость аксонометрической проекции пересекает плоскости пространственной системы координат, то фигурой сечения будет остроугольный треугольник XYZ - треугольник следов: XY, XZ и YZ. Оси пространственной системы координат спроецируются на плоскость аксонометрического изображения - высотами этого треугольника (совпадут с направлениями высот данного треугольника)(рис.10.3) и (рис.10.4).

Рис.10.3 Рис.10.4

Если задано направление аксонометрических осей Ox, Оy и Оz, то, построив произвольный треугольник следов, можно найти величины коэффициентов искажения по этим осям, задавшись величиной единичного отрезка е (рис.10.5).

Решение:

1.Строим треугольник следов (произвольный);

2. Находим совмещенное положение треугольников XOY и XOZ с плоскостью аксонометрического изображения. Получаем XOY и ZOY.

3. Отложив на направлении OX, OY и OZ отрезки равные e (единичный масштаб), находим его проекции: е_х, е_y и е_z на аксонометрических осях.

Рис.10.5

ТЕОРЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНОЙ АКСОНОМЕТРИИ

Теорема. Аксонометрические оси ортогональной аксонометрии являются высотами треугольника следов

Теорема. Треугольник следов на прямоугольном трехграннике координат всегда остроуголен

Теорема. В ортогональном аксонометрии сумма квадратов показателей искажений всегда равна двум

Теорема Вейсбаха. Если стороны треугольника пропорциональны квадратам показателей искажения, то его биссектрисы могут быть приняты за аксонометрические оси.

Обратная теорема: Если биссектрисы какого-либо треугольника являются аксонометрическими осями, тогда этот треугольник есть треугольник искажений.

Теорема Любой треугольник является треугольником искажений для некоторой прямоугольной аксонометрической системы.

Теорема. Сторону любого остроугольного треугольника можно принять за аксонометрические масштабы некоторой прямоугольной аксонометрической системы.

СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

ГОСТ 2.317-69 устанавливает аксонометрические проекции, применяемые в чертежах всех отраслей промышленности и строительства. Рассмотрим из них прямоугольную изометрическую и прямоугольную диметрическую проекции.

Прямоугольная изометрическая проекция.

Положение осей и их построение видно из рис. 10.6 и 10.7.

Коэффициенты искажения по всем трем осям равны 0,82. При этом масштаб изображения будет натуральным, то есть М 1:1.

Рис.10.6 Рис.10.7

При выполнении изометрии возможно округление коэффициентов искажения до 1. Тогда масштаб изображения будет М 1,22:1.

Прямоугольная диметрическая проекция

Положение осей и их построение видно из рис.10.8 и 10.9.

Коэффициенты искажения по осям 0х и 0y будут 0,94, а по оси 0y - 0,47. При этом масштаб изображения будет М 1:1. При округлении коэффициентов искажения соответственно до 1 и 0,5 масштаб изображения диметрической проекции будет М 1,06:1.

Рис.10.8 Рис.10.9

ИЗОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ

Пример 1 (рис. 10.10, 10.11), построить окружность диаметром 50 мм в плоскости 0ху.

Решение: Проведем в плоскости окружности несколько хорд, параллельных оси 0х, которые пересекут ее очерк в точках:1, 2, 3... Используя систему координатных осей 0₀х₀у₀ изометрической проекции, найдем изображения этих точек в изометрии.

Для этой цели используем приведенную изометрическую проекцию, при построении которой коэффициенты искажения округляются до 1. При этом масштаб изображения будет М 1,22:1.

Рис.10.10 Рис.10.11

При желании получить изображение окружности в изометрии в масштабе 1:1, необходимо при выполнении изометрической проекции, умножить величины координат на 0,82. Для этой цели можно воспользоваться равнобедренным треугольником с соотношением боковых сторон к основанию как 100:82 (рис.10.12; 10.13).

Рис.10.12 Рис.10.13

ИЗОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ В КООРДИНАТНЫХ ПЛОСКОСТЯХ ДИМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ

Пример 2 (рис.10.14, 10.15, 10.16). Построить изображения окружностей в координатных плоскостях 0₀х₀z₀ и 0₀у₀z₀ прямоугольной диметрической проекции. Диаметр окружности - 50 мм.

Рис.10.14 Рис.10.15 Рис.10.16.

ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ И ЗАДАНИЕ ТОЧЕК НА ИХ ПОВЕРХНОСТЯХ

Пример 1 (рис.10.17, 10.18 и 10.19). Построить изометрическую и диметрическую проекции заданного прямого кругового конуса.

Рис.10.17 Рис.10.19

Помимо стандартных прямоугольных изометрической и диметрической проекций не запрещены и прямоугольные триметрические проекции, выбор которых возможен как вариант п.5 (рис.10.5).

Приведем одну из триметрических прямоугольных проекций.

Триметрическая проекция Ю.А. Михалева, которую он использовал в своей инженерной практике, составляя технические описания.

В этой триметрической проекции использованы стандартные углы чертежных инструментов: 15⁰, 30⁰ и 45⁰, которые при выборе того или иного их сочетания, позволяют получить три типа триметрических проекций, плюс их симметричные отображения.

На рис.10.20 изображен куб в триметрии Ю.А. Михалева, варианты расположения осей которого показаны отдельно на рисунках 10.21, 10.22, 10.23.

Рис.10.20

Рис.10.21 Рис.10.22 Рис.10.23

11. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ

1. Проведение касательных к плоским кривым линиям.

1.1. Проведение касательной из внешней точки к окружности (рис.11.01).

Рис.11.01 Рис.11.02

1.2. Проведение касательной к кривой линии, параллельной направлению s (рис.11.02).

1.3. Проведение касательной из внешней точки А к кривой второго порядка. На рис.11.03 проведены касательные к эллипсу из внешней точки А.

Решение:

Это построение основано на теории поляр. Точка А - полюс (Р), линия р - поляра этого полюса.

Чтобы получить точки К₁ и К₂ касания касательных t₁ и t₂, проводим из точки А три секущих, пересекающих эллипс соответственно в точках 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6.

Дальнейшее построение понятно из чертежа. Поляра р пересечет очерк эллипса в точках К₁ и К₂. Касательные t₁ и t₂ определены.

Рис.11.03

1.4. Касательные к пространственной кривой линии.

Теорема: Проекция касательной к пространственной кривой линии является в общем случае касательной к проекции этой кривой линии (рис.11.04, 11.05).

Рис.11.04 Рис.11.05

1.5 ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ДАННОЙ ТОЧКЕ

Для построения плоскости, касательной к кривой поверхности в данной точки К, достаточно провести через эту точку на поверхности две пересекающиеся инструментально простые линии. Такими линиями могут быть две линии каркаса поверхности, например, параллель и меридиан на поверхности вращения.

Проведя касательные к каждой из этих кривых линий, получим две пересекающиеся прямые, определяющие одну и только одну плоскость t, касательную к данной поверхности в точке К, если данная точка является “гладкой точкой” поверхности.

Любая прямая лежащая в касательной плоскости и проходящая через точку касания К, будет касательной к заданной поверхности в этой точке.

Прямая n, проходящая через точку К и перпендикулярная к касательной плоскости t, являются нормалью поверхности в точке К.

На рис.11.06, для иллюстрации, через точку К проведены две кривые линии, принадлежащие некоторой выпуклой поверхности.

Рис.11.06

1.6. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ, КАСАТЕЛЬНЫХ К НЕКОТОРЫМ КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ

Плоскость, касательная к поверхности цилиндра или конуса, определяется образующей поверхности, по которой происходит касание, и прямой, касательной к кривой основания поверхности в точке пересечения этой образующей (рис.11.07).

Рис.11.07 Рис.11.08

Плоскость, касательная к сфере в некоторой точке К, перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в эту точку касания (рис.11.08).

1.7. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРЯМЫХ, КАСАТЕЛЬНЫХ К

КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ В ДАННОЙ ТОЧКЕ

Пример 1 (рис.11.09). Найти горизонтальную проекцию прямой t, касательной к поверхности конуса в точке К.

Решение: Чтобы построить прямую, касательную к кривой поверхности в данной точке, нужно сначала построить плоскость, касательную к поверхности в данной точке, а затем провести в этой плоскости искомую касательную.

Построение касательной плоскости рассмотрено нами выше на рис.11.07.

Построение понятно из чертежа. Касательная определяется точками К и М.

Рис.11.09

Пример 2 (рис.11.10). Через точку А провести фронтальную прямую, касательную к цилиндрической поверхности вращения.

Решение задачи ясно из чертежа. Плоскость t касается цилиндрической поверхности вращения по образующей, проходящей через точку К, найденную преобразованием чертежа.

Рис.11.11

11.08. ВЗАИМНОЕ КАСАНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Если две кривые поверхности соприкасаются в некоторой точке, то они имеют общую касательную плоскость, проходящую через эту точку (рис.11.12).

Рис.11.12 Рис.11.13

Если две кривые поверхности касаются по некоторой плоской кривой, то они имеют общую касательную коническую или цилиндрическую поверхность, проходящую через эту кривую. (рис.12.13).

Пример 1 (рис.11.14). Найти фронтальную сферы, касательной к поверхности тора.

Решение:

Центр 0 искомой сферы удален от поверхности тора на расстояние R, равном сумме радиусов сферы и радиуса меридиана тора.

Повернув сферу вокруг оси тора до положения ее центра 0 в плоскости главного меридиана тора, получим возможность найти точку касания К (К``).

обратным преобразованием найдем искомое положение сферы (проекции 0``центра сферы и точки K`` касания).

Ход решения задачи указан стрелками.

Рис.11.14

12. ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Геометрическое место есть совокупность точек, положение которых удовлетворяет некоторым геометрическим условиям. Решение геометрических задач часто сводится к построению геометрических мест: требуется найти точки, линии и другие геометрические образы, удовлетворяющие тем или иным заданным условиям. Для каждого условия строится свое геометрическое место и затем берется сочетание этих геометрических мест.

Ниже перечисляются важнейшие геометрические места, к нахождению которых приводится решение многих задач.

1. Геометрическое место точек, равноудаленых от некоторой определенной точки, есть сфера с центром в этой точке.

2. Геометрическое место точек, равноудаленых от данных двух точек, есть плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего данные точки, и к нему перпендикулярная.

3. Геометрическое место точек, равноудаленых от 3-х данных точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, есть прямая, перпендикулярная к плоскости, определяемой тремя данными точками, и проходящая через центр окружности, описанной через эти три точки. Этот центр находится как точка пересечения плоскостей, проведенных через середины отрезков АВ, и ВС и соответственно к ним перпендикулярных.

4. Геометрическое место точек, равноудаленых от четырех данных точек А, В, С и D, не лежащих в одной плоскости, есть только одна точка - центр сферы, проходящей через эти точки. Этот центр находится как точка пересечения плоскостей, проведенных через середины отрезков АВ, ВС и СD и соответственно к ним перпендикулярных.

5. Геометрическое место точек, равноудаленых от данной прямой, есть поверхность прямого кругового цилиндра. Всякая плоскость, касательная к этому цилиндру, будет параллельна оси цилиндра и удалена от нее на данное расстояние.

6. Геометрическое место точек, равноудаленых от двух параллельных прямых, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку, определяющему кратчайшее расстояние между данными прямыми и проходящая через его середину.

7. Геометрическое место точек, равноудаленых от трех параллельных прямых а, b и с не лежащих в одной плоскости, есть прямая, параллельная заданным прямым и являющаяся осью цилиндрической поверхности вращения, имеющая своими образующими эти прямые.

8. Геометрическое место точек, равноудаленых от двух пересекающих прямых, есть пара плоскостей, перпендикулярных к плоскости, содержащей данные прямые, и проходящей через биссектрисы углов между ними.

9. Геометрическое место прямых, проходящих через определенную точку на данной прямой и наклоненных к последней под заданным углом a⁰, есть поверхность прямого кругового конуса.

Если провести плоскость, пересекающую конус перпендикулярно к его оси, то поверхность конуса будет служить геометрическим местом прямых, проходящих через вершину и наклоненных к этой плоскости под углом 90⁰-a⁰.

Всякая плоскость, касательная к такому конусу, будет наклонена под углом 90⁰-a⁰ к этой плоскости нормального сечения конуса.

10. Геометрическое место точек, равноудаленых от данной плоскости, есть пара плоскостей, параллельных данной плоскости, есть пара плоскостей, параллельных данной плоскости и расположенных по разные от нее стороны на данном расстоянии.

11.Геометрическое место точек, равноудаленых от двух пересекающихся плоскостей, есть две биссекторные плоскости двугранных углов, образованных этими пересекающимися плоскостями. Каждая биссекторная плоскость проходит через линию пересечения плоскостей и делит пополам соответствующую пару углов между этими плоскостями.

12.Геометрическое место точек, равноудаленых от трех пересекающихся плоскостей a, b и g, есть прямая - линия пересечения плоскостей биссектора, равноделящих двугранные углы между плоскостями a и b и b и g.

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СПОСОБА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

Пример 1 (рис.12.1). Построить точку В по ее координатам у=m, z=n и R от точки А.

Рис.12.1 Рис.12.2

Пример 2 (рис.12.2). Через точку S провести прямую l, наклоненную к горизонтальной плоскости проекций под углом 60⁰ и пересекающую прямую h.

Литература:

Бубенников А.В. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.:Высш.шк., 1985, 288с.

Гордон В.О., Семенцев-Огиевский М.А. Курс Начертательной геометрии: Учеб. пособие (Под ред. Ю.Б.Иванова. -23 изд., перераб. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988, -272 с. ил.

Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии: Учебник для втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. -М:Высш.шк.,1985, 136 с., ил.

Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1989, 240 с. ил.

___________________________________________________________

Рыжов Н.Н. Образование поверхностей и их задание на комплексном чертеже. Метод. указан. по курсу начертательной геометрии. Изд.МАДИ, -М.: 1983.

Рыжов Н.Н. Главные позиционные задачи. Метод.указан. по курсу начертательной геометрии. Изд МАДИ, М.: 1984.

Рыжов Н.Н. Метрические задачи. “Преобразование комплексного чертежа”. Метод. указан. по курсу “Начертательная геометрия”. Изд. МАДИ. -М.: 1985.

Дата добавления: 2015-11-04