§1.Исторический обзор развития геометрии

Основания геометрии

§1.Исторический обзор развития геометрии

1-ые сведении об геометрии были добыты цивилизациями Др. Востока – в Египте, Вавилоне, Китае, Индии. В связи с развитием и потребностями земледелия (геометрия – «гео» - земля, «метрия» - мера).

Наибольшие успехи в это время были доступны в Др. Египте, хотя геометрия эмпирический характер и представляла собой собрание решений отдельных задач. Например, уже во 2-ом тысячелетии до н. э. египтяне умели вычислять площадь треугольника, объем четырехугольника, усеченной пирамиды. Площадь круга радиуса R вычислялась по формуле S(R) =(16/9*R)^2,что дает приближенное значение для числа π ≈3,16…….

В Вавилоне геометрия так же развивалась на основе практических задач по измерению величин.

Во 2-ом тысячелетии до н.э. вавилоняне знали теорему Пифагора, немного позже она стала известна и египтянам. Однако дошедших до нас источников мы не находили никаких теоретических положений и обоснования геометрии. Док-ва отсутствовали, были лишь правила («делай так»).

В Др. Греции геометрия начала развиваться в 7-6 веках до н.э. под сильным влиянием египтян. Первый крупный греческий геометрий Фалес(640-548). Согласно приданием, Фалесу принадлежат док-во некоторых простейших предложений геометрии (свойство углов при основании равнобедренного треугольника, свойство вертикальных углов и некоторых других теорем)

В философской школе Пифагора(570-471) математика заменяла доминирующее положение. Считается, что пифогорийцы открыли теорему о сумме треугольника, доказали теорему Пифагора, установили существование 5 типов правильных многогранников, установили существование несоизмерных отрезков.

Демокрит(470-370) методом неделимых, открыл теорему об объемах пирамиды и конуса.

Евдокс(410-356) с помощью открытого им метода исчерпывания, нашел объем пирамиды, конуса, шара. Ученик Евдокса Менехм открыл конические сечения, которые затем обстоятельно изучил Апполоний.

Архимед(287-212) открыл правила для вычисления площадей поверхности, объемов многих тел, в частности шара, усовершенствовал метод исчерпывания Евдокса, пришел к использованию бесконечно малого. Его идеи лежат в основе интегрального и диффиринциального исчисления.

Геометрия Греции получила значительный результат, который обхватывает почти все содержание элементарной геометрии и даже выходит далеко за ее пределы. Особой их заслуой является постановка задач о построении системы геометрии и решении её в первом приближении.

Аристотель(384-322) – крупнейший философ и создатель формальной логики предложил идею построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из другого на основе одних лишь правил логики. В указанном направлении появилось мн-во работ, однако все они «были забыты», когда появились «Начала» Евклида.

§2. «Начала» Евклида

Евклид(330-275) жил в Египте в Александрии Его «Начала» дают систематическое изложение основ геометрии, выполненные с таким мастерством, что преподавание геометрии по этому сочинению длилось вплоть до 19 века.

«Начала» состоит из 13 книг (глав).

1,3,4 книги – известные из курса средней школы: свойства треугольников, четырехугольников и др..

2 – основные алгебраические тождества в отрезках.

5 – теория отношений по Евдоку.

6 – теория подобных фигур.

7,8,9 – арифметика в геометрии. Изложении.

10 – теория несоизмеримых величин.

11,12,13 – стереометрия.

Хотя «Начала» не содержат много из того, что было известно в то время (например теория о конических сечения, теория кривых высших порядков). Каждая книга начинается с определений всех встречающихся в ней понятий, так, например, в начале 1-ой книги даны 23 понятия:

1)точка есть то, что не имеет частей.

2)линия есть длина без ширины.

3)прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко все своим точкам.

После определения Евклид указывает предложения, которые принимаются без доказательств. Их он разделяет на: аксиомы постулаты (почему? Непонятно).

Постулаты:

1. требуется, чтобы от точки до всякой другой точки можно провести прямую линию.

2. и чтобы каждую прямую (здесь имеется ввиду отрезок) можно неограниченно продолжить.

3. и чтобы из каждого центра можно было описать окружность любого радиуса.

4. и чтобы все прямые углы были равны.

5. и чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов. Эти прямые пересекались с той стороны, с которой сумма меньше двух прямых углов.

Аксиомы:

1. Равные порознь третьему, равны между собой.

2. Если к равному прибавить равные, то получим равные.

……….

7. Совмещающие равные.

После этого Евклид излагает теоремы, располагая их в такой последовательности, чтобы каждую можно было доказать, используя лишь постулаты, аксиомы и доказанные ранее теоремы.

Евклид первым поставил задачу: обоснование геометрии, то есть перечисление тех понятий и аксиом, на основе которых можно развивать геометрию строго логическим путем. Для своего времени построение геометрии Евклидом было проведено очень точно. На протяжении многих веков строгость Евклидовых доказательств, признавалось образцом для подражания, однако с точки зрения современной математики изложение «начала» следует признать неудовлетворительным. Укажем лишь на некоторые мнения:

Например, под определением Евклида прямой (3) попадает и окружность.

В определении (2) упоминается понятие длины и ширины, которые не были определены до этого.

Так же в «началах» не определены важные понятия описывающие взаимное расположение прямых и точек, напр., «лежать между», «по одну сторону», «по разные стороны».

База из постулатов и аксиом в «началах» не является достаточным для построения системы геометрии. Вследствие этого неизбежно ссылки на наглядность, интуицию, впечатление глаза.

§3 Проблема пятого постулата

Многие недостатки “начала ” были выявлены уже в древней Греции и в связи с этим принимались попытки улучшить их изложение. Чаще всего ставилась задача сведения количества постулатов и аксиом к минимуму. Естественный путь для решения такой задачи вывести некоторые из постулатов и аксиом из других. Таким образом легко избавиться от V постулата.

Попытки избавиться от V продолжались на протяжении более двух тысячелетий, но были безуспешны. Типичной ошибкой большества доказательств являлось использование какого-либо утверждения не содержащегося в остальных постулатах и аксиомах и не вытекающего из них, хотя и кажущегося вполне очевидным.

По существу эти утверждения были новыми постулатами эквивалентными V постулату. Приведем пример: Евклид определил параллельные прямые, как прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Заметим, что признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих и соответственных углов (а также некоторые другие теоремы, пример признаки равенства треугольников) можно доказать без использования V постулата.

Параллельные прямые существуют, пример: 2 перпендикуляра каждой прямой параллельны между собой. Это следует из признака параллельности.

Сколько прямых параллельны а можно провести через точку А, не лежащую на прямой а. а’ параллельна а.

Опустим перпендикуляр из точки А на прямую а и проведем а’ под прямым углу к нему а параллельна а’. Если имеет место V постулат, то прямая а’ параллельна, а единственная. Действительно, пусть существует еще одна а” параллельна а, но тогда сумма углов при пересекающихся прямых а и а” прямой в меньше двух прямых углов, значит согласно V постулата прямые а и а” пересекаются.

Назовем аксиомой параллельных прямых следующее утверждение: через точку А, не лежащую на прямой а, проходит не более одной прямой параллельной а. Мы только что доказали, что из V постулата следует аксиома прямых.

Можно доказать и обратное утверждение, что аксиомы параллельных прямых следует V постулат.

Следовательно V постулат и аксиома параллельности прямых эквивалентны.

Обозначим величину прямого угла через d/ Существует и другие утвержедия эквивалентны V постулату.

Теорема: V постулат Евклида эквивалентны утверждению “Сумма внутренних углов треугольника =180⁰=2d”

A следует B проведем через В прямую параллельную АС. Имеет место V постулат Евклида значит имеет место свойство параллельных прямых (рав-во накрест лежащих соответственных углов).

Вместо V постулата доказали аксиому параллельных прямых(эти утверждения, как мы доказывали эквивалентность)

А непренадлежит а, а’ параллельна а, А пренадлежит а’.

Прямая а и а’ параллельны согласно признаку поралельности прямых, который доказывался без V постулата.

Пусть а” параллельна а

Угол d, значит а” пересекает а

Закон: от противного

Пусть есть еще одна прямая а”, отличная от а и а’ и а параллельна а. Эта прямая образует с прямой АВ₀ угол β < d.

На прямой а построим точки В₁, В₂,…, В_n по правилу: B_kB_k+1=AB_k для любого к=0,n-1

Угол АВ₁В₀ =

Угол АВ₂В₀= угол АВ₁В₀=

Угол АВ_nB₀= _n

Угол В₀АВ_n= _n=d( _n)=d _k=d

Так как β<d, то из формулы для угла В₀АВ_n следует, что при достаточно большом n угол В₀АВ_n будет >β, в этом случаи прямая а” будет лежать между прямыми АВ_n и АВ_n-1 и значит пересекает прямую а из этого следует, что а” не параллельна а.

§ 4 Теоремы Саккери-Лежандра

Все попытки доказать V постулат были безрезультатны, однако благодаря им были получены другие весьма интересные результаты.

Теорема (первая теорема Саккери-Лежандра): сумма внутренних углов каждого Δ не превышает 2d.

Доказательство:

На прямой АА₁ отложим отрезки А₁А₂, А₂А₃, …, А_n-1A_n и на этих отрезках построим Δ=АВА₁. ΔВА₁В₁, В₁А₂В₂, …, В_n-1A_nB_n также равны по 1-му признаку = Δ (и он доказывается без использования V постулата).

(2d-α-γ) = δ

Будем доказывать от противного.

Пусть сумма углов >2d, тогда α+β+γ >2d, α+δ+γ =2d Þ β>δ.

В ΔАВА и ΔВА₁В₁ 2 стороны равны (соответственно), но угол между ними в первом Δ > угла во втором Δ, а значит стороны, лежащие против этого угла в IΔ, > соответствующей стороны во IIΔ, т.е. АА₁>BB_1, a>c.

Длина ломанной > чем отрезок соединяющий ее концы, поэтому

АВ+ВВ_n-1+B_n-1A_n-1 > AA_n-1

2b+(n-1)c > (n-1)a

2b > (n-1)(a-c)?!

Далее воспользуемся аксиомой Архимеда: какие бы ни были величины a и b (положительные) всегда найдется nÎN, что na>b.

a-c>0, значит по аксиоме Архимеда при достаточно большом n будет выполнятся неравентсво (n-1)(a-c) > 2b.

Теорема (вторая теорема Саккери-Лежандра):

Если в одном Δ сумма углов = 2d, то и в " другом Δ сумма углов также = 2d (без доказательств).

Значит имеют место 2 случая.

1 случай: сумма углов в " Δ = 2d, значит в этом случае имеет место и V постулат Евклида. Этот случай характерен для евклидовой геометрии.

2 случай: сумма углов в " Δ < 2d. В этом случае V постулат и аксиома || прямых не выполняется.

Значит через точку, не лежащую на одной прямой, можно провести более одной прямой, не пересекающей данной прямой. Позже будет доказано, что также прямых бесконечное количество.

Этот случай имеет место в геометрии открытой и разработанной Н.И.Лобачевским.

§ 5 Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии

Лобачевский был уверен в непротиворечивости своей геометрии, но однако доказать ее не смог, не удалось это сделать и некоторое время после его смерти.

Одной из причин этого было неудовлетворительное постулирование геометрии, которая все еще базировалась на началах Евклида, поэтому во 2-й половине 19в. многие математики решали задачу о построении такой аксиоматики геометрии, чтобы все фактически доказывалось лишь с использованием аксиом и формальной логики, без каких-либо ссылок на наглядность и очевидность. В к.19 - н.20 вв. появились работы по основаниям Вейля, Пеано, Гильберта и др.

Наиболее полными оказались исследования Гильберта. В 1899г. вышла книга Гильберта «Основания геометрии», в ней впервые дан список аксиом, достаточный для логического постулирования евклидовой геометрии; можно считать, что с этой книги начинался современный аксиоматический метод в математике.

По Гильберту предполагается, что даны 3 различных множества, элементы которых называются «точками», «прямыми» и «плоскими».

Эти объекты могут находится друг с другом в некоторых отношениях.

3 основные отношения:

- «принадлежности» (точка может принадлежать прямой или плоскости);

- «порядка» (точка может лежать между двумя другими точками этой прямой);

- «конгруэнтности» (конгруэнтность отрезков и углов).

Природа основных объектов и основных отношений является произвольной, но объекты и отношения должны удовлетворять определенным аксиомам, которые разбиты на 5 групп.

Группа I: Аксиомы принадлежности (8)

Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного расположения точки, прямых и плоскостей, выраженные словами «принадлежит», или «лежит на», или «проходит через».

I₁ Для " 2-х точек А и В Ǝ! прямая которой они принадлежат

I₃ Ǝ, по крайней мере, 3 точки, которые не принадлежат одной прямой

I₄ Для " 3-х точек, не лежащих на одной прямой, Ǝ плоскость которой принадлежат эти точки.

I₇ Если 2 плоскости имеют общую точку А, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку В.

§6

Система аксиом Вейля Евклидовой геометрии

С современной точки зрения аксиоматика Гильберта представляется дольно сложной

Нужно потратить много времени и сил, что бы с её помощью до основных теорем и при этом не запутаться в огромном количестве промежуточных теорем, лемм, следствий.

Недостатком аксиоматики Гильберта является и то, что внутренне она(аксиоматика) никак не связана с понятием векторного пространства которое в настоящее время играет важную роль т.е ее(аксиоматику) можно использовать лишь для обоснования Евклидовой геометрии.

Немецкий математик Герман Вейль в 1918 г предположил свою аксиоматику геометрии Евклида, основанную на широком применении векторного пространства.

Ее основное преимущество – логическая простота и связь практически со всеми областями современной математики.

В аксиоматике Вейля основными объектами являются векторы и точки.

Множество всех векторов обозначим через V. Множество всех точек обозначим через E. Эти объекты находятся друг с другом в некоторых отношениях.

Основные отношения:

-сложение векторов

-умножение вектора на число

-скалярное произведение векторов

-откладывание вектора от точки

Вейль не определяет основные объекты и не объясняет как вводятся отношения между ними. Известно лишь то что они удовлетворяют следующим аксиомам:

Система аксиом состоит из 15 аксиом которые разбиты на 5 групп.

1) Группа аксиом сложения векторов

Задаётся отображения

(операция сложения векторов)

Для этой операции должны выполняться следующие 4 аксиомы

1.1)

1.2)

1.3)

1.4)

2) Группа аксиом умножения вектора на число

Задано отображение:

(Операция умножения вектора на число)

2.1)

2.2)

2.3)

2.4)

Первые две группы аксиом говорят о том, что V –векторное пространство над полем R.

3) Группа аксиом размерности

3.1)

3.2)

Аксиомы третей группы утверждают что V содержит базис из 3-ёх векторов т.е V-3x мерное пространство

4) Группа аксиом скалярного произведения векторов

Задано отображение

(Операция скалярного произведения векторов)

4.1)

4.2)

4.3) ,если

Первые четыре группы аксиом говорят о том что V – Евклидово векторное пространство.

5) Группа аксиом откладывания вектора от точки

Задано отображение:

5.1)

5.2)

Все пять групп аксиом говорят о том что E – Евклидово пространство(3-x мерное)

Теперь можно ввести следующие определения:

1) Длинна вектора:

2) Угол между векторами:

- неравенство Коши – Буняковского, оно обеспечивает существование угла между ненулевыми векторами.

3)Расстояние между точками

Если

4)Прямая

5)Плоскость:

П:

Как мы видим системы аксиом Гильберта и Вейля сильно отличаются друг от друга.

В курсе аналитической геометрии мы на основании знаний о элементарной Евклидовой геометрии(которая следует аксиоматик Гильберта) ввели понятие вектора, операций над векторами, установили свойства этих операций и т.д.

Легко заметить что эти свойства совпадают с аксиомами Вейля.

Значит аксиоматика Вейля следует из аксиоматики Гильберта, и наоборот в аксиоматике Гильберта вводится понятия прямой и плоскости, угла, расстояния между точками, движения. С помощью движения вводится понятие конгруэнтности отрезков, углов, и т.д.Все аксиомы Гильберта можно вывести из аксиом Вейля, т.е аксиоматика Гильберта следует из аксиоматики Вейля. Получается что аксиоматики Гильберта и Вейля эквивалентны.

Аксиоматика Вейля более проста, логична и современна.

Ее можно использовать не только в Евклидовой геометрии но и в других областях математики, но при этом она менее непонятна. Отличается большей степенью абстрактности, поэтому не используется в школе.

§7

Непротиворечивость системы аксиом

Отвлечённо рассматриваемая аксиоматика ни к чему определённому не относится, поэтому неясно какой смысл она имеет.

Лобачевский заменил аксиому параллельности противоположной и пришёл к геометрии отличной от Евклидовой. Он назвал её воображаемой геометрией т.к смысл её оставался неясен, не было известного предмета, к которому она бы относилась(позже такой предмет был найден).

Чтобы отвлечённая аксиоматика приобрела более конкретный смысл нужно найти модель где бы она выполнялась, относясь не к объектам отвлечённой природы, а к вполне определённым объектам понятной нам природы.

Модель (интерпретация) системы аксиом представляет собой совокупность некоторых вполне определённых объектов и отношений между ними, для которых выполняются все аксиомы данной аксиоматики.

Например аксиоматика Гильберта является отвлечённой т.к в ней речь идёт о произвольных, неопределённых объектах, а Евклидову геометрию можно считать моделью этой аксиоматики.

Одним из важнейших вопросов который ставят по отношению к аксиоматике, является следующий:”Не может ли данная аксиоматика привести к двум противоположным друг другу следствиям?”.

Если такие противоречия не могут быть получены то аксиоматика называется непротиворечивой(совместной).

В противном случае аксиоматика вообще не имеет смысла.

Вопрос о непротиворечивости аксиоматики решается тем что находят её модель, т.е совокупность определённых объектов и отношений для которых выполняются все аксиомы и противоречие не может быть получено, точнее получение противоречия не предоставляется нам возможным.

Самой надёжной областью математики является теория действительных чисел (арифметика), непротиворечивость которой не доказана.

Но при этом не вызывает у нас сомнений, поэтому лучшими на сегодняшний день способ доказательства непротиворечивости системы аксиом –это построение её числовой модели(арифметической).

Пример 1.
Докажем непротиворечивость аксиоматики группы

Группа – это множество с алгебраической операцией “ ”, для которого выполняются следующие условия:

1)

2)

3)

Построим числовую модель группы:

Пусть a, b, c – действительные числа,G=R, - операция сложения

Проверим, все ли условия выполняются.

1) Очевидно, что все аксиомы группы в этой модели выполняются причём

e=0,-a - противоположный элемент

Пример 2.

Доказать непротиворечивость системы аксиом Вейля

Доказывать будем с помощью построения модели (строки )

-точка

-вектор

Под точкой и вектором будем понимать строки из .

Операция сложения векторов и умножения вектора на число зададим по правилу:

1)

2)

Т.е операция сложения векторов и умножение на число совпадает с таковыми для строк.

Очевидно, для этих операций аксиомы первых двух групп выполняются, причём нулевым вектором является нулевая строка, а вектором противоположным вектору является вектор .

В качестве базиса возьмём систему:

Доказано что она линейно-независима и через неё можно выразить любую строчку из :

Скалярное произведение векторов определим по правилу.

Сопоставленные 2-ум точкам вектора введём по правилу .

1)

Тогда в качестве точки B берём

Причём такая точка единственная.

2)

Таким образом система аксиом Вейля непротиворечива, если непротиворечива теория действительных чисел, а так как аксиоматика Вейля и Гильберта эквивалентны то тоже самое можно сказать и о системе аксиом Гильберта.

§8

Понятие независимости системы аксиом

Пусть (1) – некоторая система аксиом

Если можно доказать, что некоторая аксиома (пусть например ) является логическим следствием остальных аксиом то такая аксиома называется зависимой от остальных аксиом.

В этом случае она является теоремой, поэтому может быть исключена из системы аксиом.

Если хотя бы одна аксиома из (1) зависима от остальных, то система аксиом называется зависимой.

Аксиома называется независимой от остальных аксиом если ее нельзя доказать с их помощью.

Система аксиом называется независимой, если все её аксиомы независимы.

Из независимой системы аксиом нельзя исключить ни одной аксиомы.

Проблема пятого постулата – это проблема его зависимости от остальных аксиом и постулатов Евклида.

При решении этой задачи была открыта неевклидова геометрии – одно из важнейших открытий 19-го века.

Мы отмечали, что 4-тый постулат можно было вывести из остальных аксиом, потому что он зависит от них.

В системе аксиом Гильберта также была зависимая аксиома. В дальнейшем он исключил её из списка аксиом.

В аксиоматике Вейля также есть зависимая аксиома, причём её не исключили.

Почему, объясним позже.

Как же доказать независимость данной аксиомы от остальных аксиом? На первый взгляд эта задача кажется невыполнимой, однако был найден простой способ её решения.

Вместе с системой аксиом (1) рассмотрим систему аксиом (2).

То есть рассматриваемая аксиома заменена её отрицанием.

Если аксиома -зависима от остальных, то система (2) будет противоречивой.

Действительно из аксиом следует утверждение , но одновременно с ним в системе (2) есть утверждение , поэтому эта система противоречива.

По закону контрапозиции получаем: Если система (2) непротиворечива, то аксиома -независима от .

То есть способ доказательства независимости данной аксиомы сводят к следующему:

1)Составляем систему аксиом, в которой данная аксиома заменена её отрицанием.

2)Проверяем непротиворечивость получившейся системы аксиом путём построения её числовой модели.

Таким же образом устанавливается независимость всех остальных аксиом, тем самым доказывается независимость всей системы аксиом.

При доказательстве непротиворечивости системы аксиом можно строить её геометрическую модель.

Пример 1.

Пусть - система аксиом.

Добавим ещё одну аксиому

Система аксиом - система аксиом абелевой группы.

Покажем что аксиома не зависит от аксиом

Доказательство.

Берём

Докажем непротиворечивость системы аксиом

Построим числовую модель этой системы аксиом

- группа обратимых матриц с операцией умножения матриц

Пусть

Докажем непротиворечивость системы аксиом (2) ещё одним способом.

Построим геометрическую модель этой системы.

Пусть G- группа движений в плоскости(аксиомы -выполняются).

Докажем, что имеет смысл и аксиома .

Т.е. нужно доказать, что существуют такие движения и , что .

Покажем, что такие движения существуют.

Пусть - осевая симметрия относительно прямой ,a - параллельный перенос на вектор .

Значит .

Пример 2.

Покажем, что система аксиом Вейля зависима, аксиома 2.1 зависит от остальных.

По аксиоме 3.2 вектор можно представить в виде:

Отсюда

Таким образом система аксиом Вейля зависима,но аксиому 2.1 не исключают из списка аксиом так как первые две группы аксиом определяют аксиоматику векторного пространства, а после исключения аксиомы 2.2 они не будут обладать таким свойством, т.е. аксиома 2.1 оставлена из-за методически соображений (для удобства).

9. Понятие полноты системы аксиом

С точки зрения конкретной аксиоматики все утверждения можно разделить на имеющие смысл и не имеющие смысла данной аксиоматики, например: в аксиоматики Вейля утверждение «Существуют такие и : » имеет смысл, так как все объекты и отношения этого утверждения встречаются в аксиоматики Вейля.

Утверждение: «Существует вектор единичной длинны» - не имеет смысла, так как понятие длины вектора не определено.

Определение: Система аксиом называется полной, если любое утверждение, имеющее смысл в данной аксиоматике, может быть либо доказано, либо опровергнуто с помощью этой системы аксиом.

Понятно, что если система аксиом полная, то к ней нельзя добавить не одной новой аксиомы, имеющей смысл в данной аксиоматике, так как она может быть либо доказана (т.е. является теоремой), либо опровергнута(система аксиом противоречива в этом случаи).

Пример 1. Докажем, что система аксиом группы является не полной.

Утверждение:…

Утверждение не зависит от аксиом , т.е. не может быть ни доказана, ни опровергнута, причём, оно имеет смысл в нашей аксиоматике, значит системы не полная.

Как установить, является ли данная система аксиом полной?

Введем сначала понятие изоморфизма 2 моделей системы аксиом.

Определение: 2 модели данной системы аксиом называются изоморфными, если между их объектами каждого типа можно установить взаимно-однозначное соответствие, т.о., что сохраняются все основные отношения, о которых идет речь в данной системе аксиом.

Изоморфные модели с точки зрения данной системы аксиом устроены совершенно одинаково. Если какое то утверждение имеет место в одной модели, то оно имеет место и в изоморфной ей модели.

В изоморфных моделях все утверждения звучат почти одинаково, отличие лишь в названиях основных объектов и отношениях.

Теорема. Если все модели данной системы аксиом изоморфны, то она является полной.

Доказательство.

(от противного)

Если система аксиом не полная, то существуют его изоморфные модели. Пусть - данная система аксиом. Она не полная, значит существует такое утверждение, в котором нельзя ни доказать ни опровергнуть с помощью этих аксиом, значит утверждение B не зависит от данных аксиом. Вместе с аксиомой ∑ рассмотрим систему аксиом и . Понятно, что они независимы (каждая сама по себе). Пусть и - это модели и соответственно. Понятно, что эти модели также являются моделями системы аксиом ∑. Но эти модели не изоморфны, так как в одной из них имеет место B а в другой , что и требовалось доказать.

Т.о. чтобы показать, что система аксиом является полной, достаточно показать, что все её модели изоморфны друг другу.

Но изоморфность обладает свойством транзитивности, поэтому можно доказать, что все модели изоморфны какой то одной модели (например: числовой).

Покажем, что система аксиом Вейля полная. Для этого достаточно показать, что все ей модели изоморфны числовой модели. Пусть М произвольная модель системы аксиом Вейля с основными объектами V,E и отношениями

Пусть – числовая модель, надо показать, что для соответственных элементов из и имеют место соответственные отношения. Можно показать, что в V существует ортонормированный базис ,т.е.

В таком случаи любой вектор можно представить в виде в поставим соответствие строчку

- координатная строка в . Надо показать, что сохраняется сложение векторов, умножение векторов на число, скалярное произведение.

1.Надо показать, что если , то (или ).

Пусть , , тогда

2.Надо показать, что если , то или

3.Надо показать, что если , то

Пусть О произвольная точка из E, О Е

- будем называть ортонормированный репер, если А Е – некоторая точка, то

Если , то поставим в соответствие точке А строку

Точке

, т.е. каждой точке ставится в соответствие координатная строка, ее радиус-вектор.

4.Надо показать, что если

Пусть

-координаты

Но в числовой модели система аксиом Вейля, 2 точкам ставится в соответствие вектор именно по такому правилу.

Показали, что введенная нами биекция сохраняет все основные отношения, значит данная модель М – изоморфна числовой модели, поэтому все модели изоморфны системе и аксиом Вейля полная.

Система аксиом Гильберта эквивалентна системе аксиом Вейля также является полной.

§10.Основные факты абсолютной геометрии

Пусть система аксиом Герберта Евклидовой геометрии. Мы уже упоминали, что Лобачевский изменил одну единственную аксиому (аксиому параллельности). Т.о. - система аксиом Лобачевского.

Ясно, что у геометрии Евклида и Лобачевского много общего. Это все те следствия, которые можно получить из аксиом .

Геометрия, определяемая аксиомами называется абсолютной геометрией.

Все её теоремы и следствия верны и в геометрии Лобачевского.

Перечислим некоторые важные факты абсолютной геометрии:

1.Можно ввести понятия ‘длины отрезка’ и ‘величины угла’

2.Из данной точки к данной прямой можно провести единственный перпендикуляр.

3.В треугольнике напротив большой стороны лежит больший угол и наоборот.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

4.Выполняются все признаки равенства треугольников.

5.Длина отрезка прямой с концами в данных точках меньше длины произвольной прямой с концами в этих точках.

6. Если при пересечении 2-х прямых третьей, накрест лежащие углы равны, то эти прямые не пересекаются.

7.Через каждую точку вне данной прямой в плоскости определяемы этой точкой и прямой проходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая данную

8.Сумма углов любого треугольника не превышает 2d(первая теорема Саккери-Лежандра)

9.Если в каком то треугольнике сумма углов равно 2d, то во всех остальных треугольников сумма углов равна 2d.

(случай имеет место в Евклидовой геометрии)

Если в каком то треугольнике сумма углов меньше 2d, то и во всех остальных треугольников сумма углов тоже меньше 2d.

(в геометрии Лобачевского).

§12 Аксиома Лобачевского

Мы уже упоминали, что Лобачевский заменил аксиому параллельности её отрицанием.

Отрицание аксиомы параллельности:

Существует прямая ‘а’ и точка А, вне её, так, что в плоскости, определяемой этими точкой и прямой, через точку А можно провести не менее двух прямых, не пересекающихся с прямой ‘а’.

Покажем, что в геометрии Лобачевского аналогичное утверждение имеет место для любой прямой и любой не лежащей на ней точке.

Доказательство:

Пусть ‘а’- произвольная прямая, А- произвольная точка в не её. Покажем, что существует как минимум две прямые, проходящие через А и не пересекающие ‘а’. Докажем от противного.

Пусть невозможно провести две такие прямые. Возьмём на прямой ‘а’ точки В и С. Получим треугольник АВС.

Через точку А проведём ‘а1’, ‘а2’, так, чтобы они образовывали с АВ и АС углы β и γ соответственно. Прямые ‘а1’ и ‘а2’ не пересекают прямую ‘а’ (по теореме абсолютной геометрии о накрестлежащих углах). В таком случае, согласно нашем предположениям, прямые ‘а1’ и ‘а2’ совпадают. В таком случае α+β+γ=2d, следовательно сумма углов треугольника АВС=2d, но по второй теореме Саккери-Лежандра, если сумма углов треугольника =2d, то сумма углов в любом треугольнике =2d, а мы уже доказали, что утверждение: «Сумма углов любого треугольника =2d» это равносильно аксиоме параллельности, но в геометрии Лобачевского аксиома параллельности не верна?!?

Данное утверждение называется аксиомой Лобачевского:

Через точку вне данной прямой в плоскости, определяемой этими точкой и прямой проходят, по крайней мере две прямые не пересекающие данную.

Видим, что отрицание аксиомы параллельности не есть аксиома Лобачевского, но эти утверждения эквивалентны. Действительно, следствие А(||)=>отрицаниеА(||) это очевидно. А следствие, отрицание А(||)=>А(Л), только что доказано.

Аксиоматика геометрии Лобачевского включает аксиомы абсолютной геометрии (1-19ак) Гимберта и аксиому Лобачевского.

Теорема:

Через любую точку вне данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную.

Доказательство:

По аксиоме Лобачевского через точку А проходят ‘в’ и ‘с’, не пересекающие ‘а’. На прямых ‘а’ и ‘в’ возьмём точки Д и В по разные стороны от прямой ‘с’.

ВД∩с = С. Пусть М- произвольная точка отрезка ВС. Покажем, что прямая АМ не пересекает ‘а’. Этим самым мы докажем утверждение теоремы.

Докажем от противного:

Пусть АМ∩А в некоторой точке S. Применим к прямой ‘с’ и треугольнику МДС аксиому Паша. с∩ДМ, значит должна пересекать МS или ДS, но ‘с’ не может пересекать МS, т.к они уже пересекались в точке А, а двух общих точек несовпадающие прямые иметь не могут. Прямая ‘с’ не пересекает и ДS т.к ‘с’ не пересекает ‘а’. Получили противоречие.

§13 Параллельные и сверхпараллельные прямые на плоскости Лобачевского

Вспомним определение точной нижней грани множества.

Опр.: Пусть х принадлежит R. Число а называется точной нижней гранью этого множества если:

1)

2)

Пример:

1)

2)

3)

Теорема (из анализа)

Ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю грань.

Пусть Р(А)- пучок прямых с центром в точке А. Существует бесконечно много прямых пучка не пересекающих ‘а’. Каждой прямой ‘в’ пучка поставим в соответствие угол HAB.

Пусть X- множество значений угла α, для которых соответственные прямые не пересекают ‘а’.

Множество X- ограничено снизу (например о), поэтому имеет точную нижнюю грань

Пусть ‘а0’- прямая соответствующая этому углу α0. Прямая ‘а0’- это граничная прямая между прямыми пучка Р(А) которая пересекает ‘а’ и прямыми, которые не пересекают ‘а’.

Покажем, что прямая ‘а0’ не пересекает прямую ‘а’.

Доказательство (от противного)

Пусть ‘а0’ пересекает ‘а’ в точке S.

Возьмём точку S1 правее S и пусть угол HAS1=α1. Всем прямым не пересекающим ‘а’ соответствует угол, который очевидно больше, чем α1, тогда α1- нижняя грань множества X. Но α1 больше α0, а это противоречит тому, что α0- точная нижняя грань множества X.

Понятно, что прямая ‘а2’ симметричная ‘а0’ относительно АH, обладает тем же свойством, что и ‘а0’.

Прямые ‘а0’ и ‘а2’ называются параллельными прямой ‘а’. (каждая в своём направлении)

‘а0’ параллельно ‘а’ по направлению HM, ‘а2’ параллельно ‘а’ по направлению HN.

Прямые пучка P(A) лежащие между ‘а0’ и ‘а2’ в тех вертикальных углах, которые не содержат прямую AH называются сверхпараллельными.

§14 Свойства параллельных и сверхпараллельных прямых

Мы показали, что определение параллельных прямых по Лобачевскому зависит от выбора точки А и направления параллельности.

Если прямая ‘а0’ параллельно данной прямой ‘а’ по данному направлению для точки А, то она параллельна по тому же направлению и для любой своей точки. Т.е. теперь можно говорить о прямой ‘а0’ параллельной ‘а’, не упоминая никакой точки А.

Теорема 2:

Если прямая ‘в’ параллельна ‘а’ по данному направлению, то и ‘а’ параллельна ‘в’ по тому же направлению. Т.е. отношение параллельности обладает свойством симметричности. Следовательно теорема позволяет говорить, что прямые ‘а’ и ‘в’ взаимно параллельны по данному направлению, т.е. можно говорить о паре параллельных прямых.

Теорема 3:

Если прямые ‘а’ и ‘в’ параллельны прямой ‘с’ по данному направлению, то ‘а’ и ‘в’ параллельны друг другу по тому же направлению.

А параллельна ‘с’ и ‘в’ параллельна ‘с’, следовательно ‘а’ параллельно ‘в’, т.е. отношение параллельности обладает свойством транзитивности.

Теорема 4:

Расстояние от точки одной параллельной прямой до другой параллельной прямой неограниченно уменьшается, при движении точки в направлении параллельности. И неограниченно увеличивается при движении точки в противоположном направлении.

Теперь будем рассматривать сверхпараллельные прямые.

Теорема 5:

Всякие 2 сверхпараллельные прямые имеют общий перпендикуляр и при чём только один.

Теорема 6:

Расстояние от точки одной из сверхпараллельных прямых до другой неограниченно возрастает при удалении точки от их общего перпендикуляра.

Обратим внимание на следующий факт:

Пусть А не принадлежит ‘а’, AH перпендикулярно ‘а’, ‘в’ перпендикулярно AH. В Евклидовой геометрии прямая ‘в’ была бы параллельна ‘а’, а в геометрии Лобачевского прямая ‘а’ значит расстояние от одной прямой до другой неограниченно возрастает. В геометрии Евклида расстояние постоянная величина. А что можно сказать о геометрическом месте точек, расстояние от которых до данной прямой в геометрии Лобачевского?

Теорема 7:

Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и находящихся по одну сторону от прямой, есть кривая линия. Никакие три точки не лежат на одной прямой. Эта кривая называется эквидистантой.

Эквидистанту, как прямую и окружность можно двигать саму по себе. Линия, которая обладает такими свойствами, называется линией постоянной кривизны. В Евклидовой геометрии таких линий две: прямая и окружность, а в геометрии Лобачевского три: прямая, окружность, эквидистанта.α

§15. Угол параллельности. Формула Лобачевского.

Пусть || , АН перпендикуляр к , АН= .

Угол АН будем называть углом параллельности для точки А и прямой .

Легко понять, что каждому расстоянию от точки А до прямой соответствует своя величина параллельности, причем этот угол не зависит от выбора прямой и точки, а зависит только от расстояния. Поэтому, следуя Лобачевскому, можно ввести функцию → , где -угол параллельности, соответствующий расстоянию .

В Евклидовой геометрии функция , очевидно, имела бы вид:

= ,

а в геометрии Лобачевского функция определена формулой Лобачевского:

где - некоторая положительная постоянная, которую можно выбрать произвольным образом. Она отвечает за масштаб.

ТЕОРЕМА:

Функция монотонно убывает, причем , .

Доказательство:

Запишем явное выражение для :

=

=

<0 => - монотонно убывает.

Получили, что при малых : = , следовательно, в достаточно малых областях плоскости Лобачевского можно пользоваться геометрией Евклида без ощутимых погрешностей.

Отметим тот факт, что в геометрии Лобачевского существует вполне определенный отрезок, который может быть принят за единицу масштаба.

И в геометрии Лобачевского, и в геометрии Евклида существует естественная мера углов (например, прямой угол), но в геометрии Лобачевского существует и естественная мера отрезков, за единицу может быть принят отрезок . Это расстояние, которому соответствует угол параллельности , но можно взять и другой угол. Из формулы Лобачевского легко найти :

= ;

§16. Модель Клейна в плоскости Лобачевского.

Непротиворечивость геометрии Лобачевского.

Дата добавления: 2015-11-04