Задание 1.Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Задание 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение:

Будем искать решение линейного уравнения в виде . Тогда и уравнение принимает вид

(1)

Выберем так, чтобы

(2)

Решим это уравнение с разделяющимися переменными:

Положив , найдём частное решение уравнения (2):

(3)

Подставим (3) в уравнение (1), получим:

Решим это уравнение с разделяющимися переменными:

(4)

Из выражений (3) и (4) получаем общее решение исходного уравнения:

Ответ:

Задание 2. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка

Решение:

Общее решение этого уравнения имеет вид , где – общее решение соответствующего линейного однородного уравнения:

(5)

а – некоторое частное решение.

Уравнению (5) соответствует следующее характеристическое уравнение:

(6)

Это уравнение имеет два действительных корня и , поэтому общее решение однородного уравнения (5) имеет вид

Правая часть неоднородного уравнения имеет специальный вид , где не является корнем характеристического уравнения (6). Следовательно, частное решение будем искать в виде:

Для определения коэффициентов и вычислим:

Подставляем выражения , и в исходное уравнение, получаем:

Отсюда имеем

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Ответ:

Задание 3. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера

Решение:

Обозначим общий член ряда , тогда . Вычислим предел:

Здесь для раскрытия неопределенности воспользовались вторым замечательным пределом .

Поскольку при любом и , то ряд сходится по признаку сходимости Даламбера.

Ответ: ряд сходится.

Задание 4. Исследовать ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши

Решение:

Обозначим общий член ряда и вычислим предел:

Поскольку при любом и , то согласно радикальному признаку Коши ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Задание 5. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

Решение:

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим модуль общего члена ряда . Рассмотрим вспомогательный ряд с общим членом . Этот ряд расходится, так как является обобщенным гармоническим рядом при . Вычислим предел:

Поскольку , то ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости. Значит, ряд также расходится согласно предельному признаку сравнения.

Исследуем ряд на условную сходимость. Проверим выполнение условий признака Лейбница:

Оба условия выполняются, следовательно, заданный знакочередующийся ряд сходится условно.

Ответ: Ряд сходится условно.

Задание 6. Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Поскольку при всех , то радиус сходимости степенного ряда можно определить по формуле Даламбера:

Тогда областью сходимости заданного ряда является точка .

Ответ: .

Задание 7. Вычислить приближённо и оценить соответствующие погрешности.

Решение:

Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена функции:

При получаем

Согласно признаку Лейбница -й остаток знакочередующегося ряда удовлетворяет условию . Оценим погрешность вычислений:

Ответ:

Дата добавления: 2015-10-21