Национальный исследовательский университет

Национальный исследовательский университет

Московский энергетический институт

Институт Радиотехники и Электроники

Дисциплина: Радиоавтоматика

Типовой расчет.

Анализ дискретных систем радиоавтоматики

Выполнил: Федоров И.О.

студент ЭР-15-09

Дата:

Оценка:

Москва

Рассмотрим обобщенную структурную схему дискретной системы радиоавтоматики:

Где в качестве фильтра используется следующий тип:

=

1. Определим условия устойчивости.

Чтобы определить устойчивость системы, нужно составить характеристическое уравнение (знаменатель коэффициента передачи), поэтому найдем К_λх:

= = =

Введем замены: S_д a = α; S_д b = β, тогда выражение примет вид:

= =

Выпишем характеристическое уравнение и его коэффициенты:

=

= 1;

= ;

= .

Критерий устойчивости для системы второго порядка:

= = β > 0;

= = > 0;

= = > 0.

Решая данную систему уравнений, получаем, что область устойчивости будет описываться следующей системой :

β > 0;

> 0;

< .

Изобразим область устойчивости системы:

Область устойчивость – заштрихована. Исходя из графика, можем сказать, что:

β > 0;

> 0;

< ;

1) Если выполняется условия:

то система устойчива.

К примеру:

α₀ = 1; β₀ = 1

2) Неустойчивый режим обеспечивается при выполнении условий, обратных пункту 1

К примеру:

α₁ = 3; β₁ = 2

3) Критический режим обеспечивается при:

= , при β лежащих в пределах: 0 ≤ β ≤ 4.

К примеру:

α₂ = 1; β₂ = 2

2. Определим значение в установившемся режиме математического ожидания ошибки слежения.

Для определения установившегося значения по теореме о конечном значении оригинала, необходимо воспользоваться следующим соотношением:

= ,

где X(z) – изображение процесса x(kT), т.е. ошибки слежения, а X(z) = Λ(z) K_λx(z), где Λ(z) – изображение процесса, действующего на входе системы, которая находится с помощью таблицы z-преобразования.

В нашем случаем воздействие описывается: λ(t) = γ1(kT), где γ = 1.

По таблице z-преобразования находим Λ(z):

=

= = =

Найдем изображение ошибки слежения X(z):

Определим установившееся значение ошибки:

= =

Если принять α = α₀ = 1; β = β₀ = 1, то установившееся значение ошибки (оно же и есть матожидание ошибки слежения ):

= = = 0

= = =

Теперь запишем разностное уравнение системы для матожидания ошибки слежения:

- преобразуем выражение для изображения X(z):

- запишем в следующем виде:

=

- перейдем к временным отсчетам:

=

- перепишем полученное уравнение:

=

- перепишем разностное уравнение в более наглядную форму:

=

Теперь, используя разностное уравнение, построим график изменения ошибки слежения для трех случаев:

1) Система устойчива (α = α₀ = 1; β = β₀ = 1). Тогда разностное уравнение примет вид:

=

График изменения ошибки, для случая, когда система устойчива:

=

2) Система неустойчива (α = α₁ = 3; β = β₁ = 2). Тогда разностное уравнение примет вид:

График изменения ошибки, для случая, когда система неустойчива:

=

3) Система находится на границе устойчивости (α = α₂ = 1; β = β₂ = 2). Тогда разностное уравнение примет вид:

3. Рассчитаем дисперсию флуктуационной составляющей ошибки слежения.

Чтобы найти дисперсию ошибки слежения, необходимо вычислить следующий интеграл:

,

где S_x(z) – спектр, определяющийся как S_x(z) = S_ξ(z) K_ξx(z) K_ξx(z^-1), где S_ξ(z) – дискретная спектральная плотность шума. Считаем, что на выходе дискриминатора действует белый дискретный гауссовский шум с дискретной спектральной плотностью S_ξ(0).

Найдем K_ξx(z):

= = =

Чтобы вычислить интеграл, нужно представить его в виде:

Решение такого интеграла – протабулировано.

σ_x² = S_ξ(0) I_n, т.е. вынесли S_ξ(0) за скобку.

Распишем многочлены и выпишем коэффициенты для дальнейшего вычисления интеграла:

=

= 1

=

=

=

= 0

=

=

Формула для вычисления интеграла (многочлен второй степени):

=

Таким образом, выражение для дисперсии в общем виде:

= =

=

Рассмотрим дисперсию, когда система устойчива α = α₀ = 1; β = β₀ = 1; S_д = 1; a = 1; b = 1.

=

Дата добавления: 2015-10-21