Общие понятия о колебаниях

Общие понятия о колебаниях

Колебания – это любой физический процесс, характеризующийся той или иной повторяемостью в пространстве и времени. Виды колебаний: свободные, затухающие, вынужденные.

Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). x = A Cos (ω0 t + φ0) А – амплитуда колебаний, ω0 – циклическая (круговая) частота, (ω0t + φ0) – фаза колебаний, φ0 – начальная фаза колебаний. Периодом колебания T называется промежуток времени, за который фаза колебания получает приращение 2π. Частота – число колебаний в единицу времени. Т = 1/ν

Скорость колеблющейся точки N определим как производную от смещения по времени:

= x^', = .

Ускорение а можно определить как производную от скорости по времени:

= = x^" = .

+ = 0 (или x^"+ =0) – дифференциальное уравнение гармонических свободных незатухающих колебаний (уравнение гармонического осциллятора).

Полная энергия: W = W_к + W_п.

Кинетическая энергия: = = , где - скорость движения тела, m – его масса.

Потенциальная энергия: = = , где , отсюда

Полная энергия: = .

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F.

Движение груза, подвешенного на пружине – периодическое, т.е. колебательное.

F = ma = – mω²x, обозначим k = ω²m F = – kx (закон Гука)

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса о, не проходящей через центр масс с.

, l - длина маятника (расстояние от точки подвеса до центра масс), J – момент инерции маятника относительно оси подвеса.

Математическим маятником называется материальная точка, колеблющаяся на невесомой и недеформируемой нити.

Т =

Карта – схема: «Колебательное движение».

Сложение гармонических колебаний
Одинакового направления	Взаимно перпендикулярных
Два колебания, происходящих вдоль оси x: Из четырехугольника ОА2АА1 по теореме косинусов имеем: 1.Если φ02 – φ01 = 2nπ (n = 0, 1, 2,…) А = А1+ А2 – колебания усиливают друг друга. 2.Если φ02 – φ01 = (2n + 1) π, А= - колебания максимально ослабляют друг друга. При А1 = А2 – колебания полностью гасятся. ≤ А ≤ .	Сложим два колебания, происходящих вдоль оси x: причем , Результатирующее смещение x. = Преобразуем: Из двух сомножителей, содержащих косинус, первый изменяется со временем гораздо медленнее второго. Это позволяет считать колебание «почти» гармоническим с «амплитудой», меняющейся со временем. Колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями. Частота биений равна ,где , Чем меньше отличаются частоты составляющих колебаний, тем меньше частота биений.	1. Сложим два колебания одинаковой частоты, проходящие вдоль осей x и y: x = А1 Cos ωt y = A2 Cos ωt Разделим почленно: x Траектория – прямая, проходящая через начало координат и наклоненная к оси x под углом, тангенс которого равен . 2.Сложим два взаимно перпендикулярных гармонических колеба-ния одинаковой частоты, разность начальных фаз которых равна . x = А1 Cos ωt т.к. Cos (α + ) = – Sinα, то y = – A Sin ωt Представим в виде: Возведем в квадрат каждое уравнение и сложим почленно: - уравнение эллипса с полуосями А1 и А2. Движение, происходящее по данной траектории, не является гармоническим. Если φ02 – φ01 = , то движение точки по эллипсу происходит по часовой стрелке. При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с разными частотами результирующее движение будет происходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу.

Свободные затухающие колебания

Вынужденные колебания

Тело массой m совершает малые колебания под действием возвращающей силы(квазиупру-гой) F и силы сопротивления Fc. При малых скоростях движения тела сила сопротивления про-порциональна скорости и проти-воположна ей по направлению. , -коэффициент сопротивления, -скорость тела. По второму закону Ньютона , отсюда , , . , разделим на m , обозначим , - коэффициент затухания , - циклическая частота собственных затухающих колебаний - дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. Решением этого уравнения является уравнение вида , где , где - амплитуда затухающих колебаний. Период затухающих колебаний = . = е^δT -декремент затухания. = - логарифм декремента затухания.

Вынужденными колебаниями называют такие колебания, которые возникают в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону. На материальную точку, кроме квазиупругой силы и силы трения, действует вне-шняя сила F = F0 ∙ Cosωt, где F0 – амплитуда, ω – круговая частота вынуждающей силы. По второму закону Ньютона: , ; : ; ; - дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, где ; Решением этого уравнения является уравнение , где , Амплитуда вынужденного колебания прямо пропорциональна амплитуда вынуждающей силы. Если считать, что ω0 и δ для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний будет иметь максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной частотой. Явление достижения максимальной амплитуды для заданных ω0 и δ – называется резонансом. Значение резонансной круговой частоты ωрез ; то Резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при различных значениях коэффициента затухания, где δ1>δ2>δ3 .

Дата добавления: 2015-10-21