В реальной жизни любой колебательный процесс постепенно затухает из-за наличия сил трения. Для колебаний груза на пружине существенную роль играет так называемое вязкое трение, сила которого при

§ 8-2. Затухающие колебания.

В реальной жизни любой колебательный процесс постепенно затухает из-за наличия сил трения. Для колебаний груза на пружине существенную роль играет так называемое вязкое трение, сила которого при малых смещениях оказывается пропорциональной величине скорости тела:

F_трен = - bv = - b . (8-7)

В этом случае второй закон Ньютона (уравнение движения) для груза, колеблющегося на пружине, приобретает такой вид:

+ mg - k (x +x). (8-8)

Вводя обозначения , это уравнение можно преобразовать так:

, (8-9)

где по-прежнему . Решение этого дифференциального уравнения может быть получено обычным способом, но можно показать, что уравнение (8-9) можно свести к уравнению типа (8-3). Для этого достаточно ввести замену переменных x(t) = z (t)e ^{- bt}. Проводя операцию дифференцирования, имеем:

; 2b ;

, .

С учетом этого уравнение (8-9) может быть записано в таком виде:

+ + = 0

После сокращения на величину и приведения подобных членов получаем:

. (8-10)

Сравнивая полученное уравнение с выражением (8-3), нетрудно заметить их почти полную идентичность; различие состоит лишь в том, что частота колебаний в
(8-10) определяется из формулы . Таким образом решение уравнения
(8-9) имеет вид:

, (8-11)

где как и ранее величины А и j определяются из начальных условий. В большинстве случаев b<<w₀ и w₃» w₀. Решение (8-11) представляет уже негармоническое колебание, т.к. его амплитуда А уменьшается с течением времени. Относительное изменение амплитуды за период колебания характеризуется декрементом затухания D, величина которого находится из выражения:

, (8-12)

т.е. декремент затухания равен относительному уменьшению амплитуды за время, равное периоду колебания. Натуральный логарифм D называют логарифмическим декрементом затухания d, т.е. d = ln D =bТ.

Дата добавления: 2015-10-21