Некоторые полезные замечания

Некоторые полезные замечания

1. Решение задач «Стержни в узле»

При решении задач данного типа, в первую очередь, необходимо изобразить исходное состояние системы и предполагаемое деформированное состояние. Если конструкция и приложенная система сил обладают свойством симметрии, следует учесть это при выполнении чертежа. При построении используется принцип начальных размеров, который в данном случае проявляется в сохранении исходных углов между стержнями. Данное упрощение справедливо при перемещениях малых в сравнении с длинами стержней в конструкции, в рассматриваемых нами задачах это верно всегда.

Изобразив предполагаемое деформированное состояние и исходное состояние (желательно первое – сплошной линией, второе – пунктиром), необходимо отметить на рисунке удлинения (укорочения) стержней. При этом следует руководствоваться правилом:

Если стержень в результате деформирования укоротился, то рядом ставим , если удлинился, то знак «минус» не ставим.

Здесь имеет место следующая логика:

1) – величина, которая может быть как положительное (удлинение), так и отрицательной (укорочение);

2) на рисунке мы подписываем длины отрезков, т.е. величины сугубо положительные, следовательно, для укоротившихся стержней (), ставя знак «минус» получаем модуль укорочения.

Далее записываем уравнения совместности перемещений, то есть геометрические связи между отрезками, обозначающими удлинения (укорочения).

Затем «разрезаем» конструкцию, прикладывая в образовавшихся сечениях осевые силы (можно как растягивающие (положительные), так и сжимающие (отрицательные), но лучше все положительные, чтобы не запутаться) и записываем уравнения равновесия.

Заменяя в уравнениях совместности перемещений на , получаем недостающие уравнения, связывающие осевые силы. При этом не забываем, если осевую силу приняли сжимающей, то .

В итоге, получаем систему уравнений, из которой находим осевые силы. Если необходимо можно получить далее значения удлинений (укорочений) с их помощью вычислить перемещения узла (узлов).

Предлагаемый алгоритм не является единственно возможным. Но данная методика обладает универсальность и строгостью, потому сводит возможности ошибки при грамотном применении к минимуму.

Примеры

Рассмотрим конструкцию (рис.1)

Рисунок 1 – Стержневая конструкция

Предположим, что система деформируется следующим образом (пунктир – исходное состояние, сплошная линия – деформированное):

Рисунок 2 – Вид деформированного состояния конструкции в случае больших перемещений

Рисунок 2 соответствует общему случаю, когда величина перемещений не ограничивается, как видим, все исходные углы изменились. Решить задачу в такой постановке проблематично. Когда же перемещения малы, что близко к действительности в случае стальных строительных конструкций, мы можем считать величины углов неизменными в процессе деформирования. Тогда деформированный стержень будет параллелен своему исходному состоянию, и мы получаем привычную картину (рис. 3).

Рисунок 3 – Вид деформированного состояния конструкции в случае малых перемещений

При таком выборе деформированного состояния стержень 2 становится короче. Из рассмотрения конструкции и условий ее нагружения можно догадаться, что в действительности это не так, все 3 стержня увеличат свою длину. В результате решения мы должны подтвердить этот вывод.

Теперь на основе рис. 3 записываем уравнение совместности перемещений:

.

Далее рассекаем стержни и вводим в образовавшихся сечениях осевые силы, получаем рисунок 4. Принцип неизменности начальных размеров позволяет нам составлять уравнения равновесия, используя исходную геометрию, притом, что в действительности осевые силы возникают только при деформировании.

Если конструкция находится в равновесии, то каждая ее часть также находится в равновесии. Необходимым и достаточным условием для равновесия элемента является равенство нулю главного вектора сил и главного момента, действующих на этот элемент, что равносильно условию равенства нулю проекций сил на любые три взаимно перпендикулярные оси и равенству нулю моментов относительно этих же осей. В нашем случае все силы лежат в плоскости, следовательно, проекция сил на ось перпендикулярную этой плоскости заведомо рана нулю, также как равны нулю моменты относительно осей, лежащих в этой плоскости. Поэтому остается три условия:

.

А так как в нашей задаче система сил сходящаяся, то есть линии действия всех сил пересекаются в одной точке, то достаточно выполнения только первых двух условий:

Рисунок 4 – Силовая схема

Оси x и y могут быть выбраны совершенно произвольно. Направим ось x по горизонтали вправо, ось y по вертикали вверх, тогда получим следующие уравнения:

К этим уравнениям добавляем уравнение совместности перемещений, в котором удлинения (укорочения) выражаем через осевые силы:

Здесь мы считаем, что все стержни имеют одну и ту же жесткость на растяжение равную . Выразив длины каждого стержня через и сократив на комплекс , получим:

Получили систему из трех уравнений относительно осевых сил, решая которую, получаем:

Как видим, все значения сил получились положительными, следовательно, все стержни растягиваются и принятый нами вид деформированного состояния неверен. Отрезок на рис. 3, обозначающий укорочение стержня 2, имеет отрицательную длину, что также свидетельствует о неверном выборе деформированного состояния.

Пример 2

Рассмотрим следующую систему:

Рисунок 5 – Симметричная стержневая конструкция

Центральный стержень «разбит» на два участка – 3 и 4, так как значения осевых сил на этих участках различны (отличаются на F).

Предположим, что узел под действием нагрузки сместится вниз, при этом перемещение будет строго вертикальным, так как конструкция и система приложенных сил обладают симметрией относительно вертикальной оси. Изобразим деформированное и исходное состояние вблизи узла:

Рисунок 6 – Вид деформированного состояния вблизи узла (в случае малых перемещений)

В соответствии с принятой выше логикой укорочение центрального стержня обозначаем со знаком «минус». Индекс «3,4» отражает тот факт, что обозначенное укорочение является суммой укорочений 3 и 4 стержня. В итоге, уравнения совместности перемещений будут иметь вид:

Далее «рассекаем» стержни и компенсируем действие отброшенных частей введением осевых сил:

Рисунок 7 – Силовая схема

Записываем уравнения равновесия:

Выражая удлинения (укорочения) через осевые силы, получаем недостающее уравнение:

Итоговая система имеет вид:

Решая систему, находим:

Таким образом, в ходе решения установили, что в процессе деформирования стержни 1,2 и 3 растягиваются, стержень 4 сжимается, что соответствует изначально предполагаемому нами деформированному состоянию.

В случае задач с жестким брусом поступаем точно также, если стержень в предполагаемом нами деформированном состоянии сжимается, ставим вблизи отрезка, обозначающего его укорочение , и уравнение совместности перемещений пишем с этим минусом.

Наиболее общий метод решения подобных задач описан в параграфе «О методе перемещений» (глава «Раскрытие статической неопределимости стержневых систем методом сил», Сопротивление материалов» В.И. Феодосьев). Также в параграфе «Статически определимые и статически неопределимые стержневые системы» главы «Растяжение сжатие» того же учебника рассмотрен ряд показательных примеров.

2. О эпюрах перемещений и углов поворота в задачах на растяжение-сжатие и кручение стержней

При построении эпюр осевых сил и крутящих моментов мы пользуемся правилом знаков, сформулированным относительно нормали к сечению. Напомню:

- осевая сила является положительной, если ее направление совпадает с направлением нормали к сечению, иначе – отрицательной;

- крутящий момент является положительным, если со стороны конца нормали к сечению он вращает против часовой стрелки.

В случае же с перемещениями и углами поворота необходимо задать начало отсчета, то есть принять сечение относительно которого будут отсчитываться перемещения и углы поворота, а также выбрать положительное направление, другими словами выбрать систему координат.

Что касается начала системы координат, то его, как правило, выбираем в месте закрепления, если таковое указано. Если же стержень находится под действием самоуравновешенной нагрузки (то есть сумма внешних сил (моментов) равна нулю) и место крепления не указано, то можно принять любую точку на оси стержня за точку отсчета, как правило, какой-либо из торцов. Аналогично, если стержень закреплен не в одном месте, то также за точку отсчета можно принять любое место закрепления.

После выбора начала отсчета направляем ось Z и определяем перемещения (углы поворота). В качестве основных следует запомнить формулы:

- для перемещений

,

- для углов поворота

.

Интегрируя эти уравнения на i-ом участке, получаем:

- для перемещений

,

,

при получаем

.

Аналогично для углов поворота:

.

Всё, что с индексом i – относится к концу участка, с индексом 0i – относится к началу участка (N_i, M_i, E_i, A_i,G_i, I_i постоянные для участка)

Что касается углов поворота, то положительными считаются углы, которые со стороны стрелки оси Z направлены против часовой стрелки.

Примеры

Рассмотрим стержень под действием самоуравновешенной нагрузки. Построим эпюру осевых сил и эпюру нормальных напряжений.

Далее, для построения эпюры перемещений необходимо как отмечалось ранее выбрать точку отсчета, в которой перемещение будем считать нулевым, а также принять положительное направление перемещений. Рассмотрим три варианта:

1)

А B F C D

Используя выше представленные формулы, получаем:

2)

А B F C D

Для данного случая получаем:

3)

А B F C D

Для третьего варианта получаем:

Из рассмотрения этого примера следует два вполне очевидных вывода:

1) при смене положительного направления перемещений на противоположное эпюра сил симметрично отображается относительно нулевой линии, другими словами все значения умножаются на (-1);

2) при переносе точки отсчета вдоль оси из точки 1 в точку 2 стержня эпюра опускается на значение равное перемещению в точке 2 до переноса (если это значение отрицательно, то эпюра при переносе поднимается).

Изложенное выше дает представление о построении эпюр перемещений и углов поворота в общем случае. В защитах мы всегда шли от места крепления в сторону конца стержня, если же мест креплений было 2, то, как правило, шли слева направо по участкам. То есть в свете выше описанного принимали левую заделку за ноль, а ось направляли вправо (только не говорили об этом). При таком выборе оси всегда больше , поэтому - длина i -го участкаи основные формулы принимают вид:

.

Аналогично для углов поворота:

.

Также поступайте на экзамене. Запишите эти формулы и идите по участкам, подставляя вместо i и 0i буквы обозначающие ваши сечения.

Если требуется определить работу внешних сил, внимательно смотрите за направлением силы и точки ее приложения, если они противоположны, то в сумме работ соответствующее слагаемое будет с минусом, аналогично для моментов и углов поворота.

Дата добавления: 2015-10-21