Исследование функций средствами дифференциального исчисления. Построение графика.

Исследование функций средствами дифференциального исчисления. Построение графика.

Схема исследования функции.

1. Область определения функции.
2. Чётность
3. Участки монотонности и точки экстремума
4. Участки выпуклости – вогнутости, точки перегиба
5. Дополнительные точки графика
6. Построение графика

Данный вопрос рассмотрим на конкретном примере.

Пример. Исследовать функцию y=x³-12x²+36x и построить её график.

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е. хÎ[-¥;+¥]
2. y(-x)=(-x)³-12(-x)²+36(-x)=-x³-12x²-36x = -(x³+12x²+36x)¹±y(x) – функция не является ни чётной, ни нечётной, т.е. это функция общего вида, а значит её график не будет симметричным относительно оси ординат или начала координат
3. Для исследования функции на участки монотонности и точки экстремума используем следующее правило:
   Найти производную функции, приравнять её к нулю и вычислить корни полученного уравнения, которые будем называть критическими точками.
   Расставить критические точки на числовой прямой и определить знаки производной в каждом получившемся интервале.
   Если производная функции на промежутке положительна, то функция на этом промежутке является возрастающей, а если отрицательна – убывающей.
   Если при переходе через критическую точку знак производной меняется с + на -, то эта критическая точка является точкой максимума, а если с – на +, то точкой минимума; если же знак производной не меняется, то эта критическая точка не является точкой экстремума.
   Найти значение функции в каждой точке экстремума.

Найдём производную функции:

Найдём критические точки:

=0,

Расставим их на числовой прямой и определим знаки производной на интервалах:

Для хÎ(-¥;2) U (6;+¥) функция возрастает

Для хÎ(2;6) функция убывает

х=2 является точкой максимума (max); х=6 является точкой минимума (min)

y(2)=2³-12 2²+36 2=8-48+72=32; max(2;32)

y(6)= 6³-12 6²+36 6=216-432+216=0; min(6;0)

1. Для исследования функции на участки выпуклости – вогнутости и точки перегиба существует следующее правило:

Найти вторую производную функции, приравнять её к нулю и вычислить корни полученного уравнения, которые будем называть критическими точками.
Расставить критические точки на числовой прямой и определить знаки второй производной в каждом получившемся интервале.
Если вторая производная функции на промежутке положительна, то функция на этом промежутке является вогнутой, а если отрицательна – выпуклой.
Если при переходе через критическую точку знак второй производной меняется, то эта критическая точка является точкой перегиба, если же знак второй производной не меняется, то эта критическая точка не является точкой перегиба.
Найти значение функции в каждой точке перегиба

Найдём вторую производную функции

Найдём критические точки:

6x-24=0, 6x=24, x=4

Построим числовую прямую, отобразим на ней критическую точку и определим знаки второй производной на получившихся интервалах:

Для хÎ(-¥;4) вторая производная отрицательна, значит, функция на этом промежутке является выпуклой

Для хÎ(4;+¥;) вторая производная положительна, значит, функция на этом промежутке является вогнутой

х=4 является точкой перегиба, т.к. в этой точке вторая производная меняет знак

y(4)=4³-12 4² +36 4=64-192+144=16 (4;16) – точка перегиба графика функции

1. Для более точного построения графика возьмём несколько дополнительных точек.

Найдём точки пересечения графика с осями координат:

При х=0 y=0 – график функции проходит через начало координат (0;0)

При y=0 x³-12x²+36x =0, x(x²-12x+36)=0, x=0, x²-12x+36=0, x=0, значит, других точек пересечения с осью абсцисс график не имеет.

y(3)= (3)³-12(3)² +36(3)=27-108+108=27 (3;27) – дополнительная точка графика

Построим график в прямоугольной системе координат:

Дата добавления: 2015-10-21