Вопрос 1. Переходные процессы в линейных цепях. Определение переходных процессов, основные понятия.

Вопрос 1. Переходные процессы в линейных цепях. Определение переходных процессов, основные понятия.

Ответ: Переходные процессы – процессы перехода от одного установившегося режима работы электрической цепи (обычно периодического) к другому (также периодическому), чем-либо отличающемуся от предыдущего, например амплитудой, фазой, формой или частотой, действующей в схеме ЭДС, значениями параметров схемы или вследствие изменения конфигурации цепи. Периодическими режимами являются синусоидального и постоянного тока, а также режим отсутствия тока в цепи. Коммутация – переключение электрической цепи (процесс замыкания или размыкания выключателей).

Вопрос 2. Приведение задачи о переходном процессе к решению дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Ответ: Запишем уравнение по 2-му закону Кирхгофа при замкнутом ключе. Сумма падений напряжений на L и R равна ЭДС: или (дифференциальное уравнение). Определение тока как функции времени является решением диф. уравнения. Переходный процесс описывается диф. уравнением: неоднородным или однородным в зависимости от того, содержит схема замещения источники ЭДС и тока или нет. В линейной цепи пер. процесс описывается линейными диф. уравнениями, в нелинейной – нелинейными. Методы расчета: классический, операторный, интегралом Дюамеля, пространства состояний.

Вопрос 3. Переходный процесс в цепи с конденсатором.

Ответ: 1. Зарядка конденсатора от источника постоянного ЭДС через резистор. Переходный процесс описывается неоднородным диф. уравнением на основе 2-го закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения между током зарядки и напряжением в конденсаторе: => ; ; , где , а . Общее решение имеет вид: . Для определения А обратимся ко 2-му закону коммутации. Предположим, что до замыкания ключа конденсатор не был заряжен: => A = -E. Напряжение во время зарядки: , где - постоянная времени цепи. Зависимость от t напряжения на конденсаторе определяет зависимости от t зарядного тока и напряжения на резисторе: ; .

2. Разрядка конденсатора через резистор. После подключения конденсатора, заряженного до напряжения , ток в цепи будет обусловлен изменением заряда q конденсатора: . Составим диф. уравнение переходного процесса в контуре 1: .

Т.к. в цепи разрядки конденсатора нет источника ЭДС, то диф. уравнение – однородное: . Так как до коммутации конденсатор был не заряжен, то: => . Разрядный ток: .

Вопрос 4. Характеристическое уравнение. Правило для записи характеристического уравнения.

Ответ: Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свободных токов. Для нахождения p решим систему относительно :

и т.д. Т.к. в каждом определителе один из столбцов будет состоять из нулей, то , но каждый из свободных токов не может быть равен нулю, поэтому определитель Δ должен равняться нулю. Уравнение Δ = 0 называется характеристическим. Если хар. уравнение имеет несколько корней, то для каждого свободного тока (напряжения) надо взять . Составление хар. уравнения путем использования выражения для входного сопротивления двухполюсника на переменном токе. В схеме не должно быть магнитно-связанных ветвей. Тогда ; jω = р => = 0, где Δ(р) – определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов.

Вопрос 5. Законы коммутации, их обоснование.

Ответ: Первый закон: В любой ветви с индуктивностью ток i_L через индуктивный элемент (магнитный поток), созданный этим током в момент коммутации сохраняет своё значение, которое имело перед коммутацией: . Если в момент коммутации i_L меняется скачком, то (di_L/dt)|₀ → ∞ и U_L(0) → ∞ из-за чего нарушается 2-й закон Кирхгофа, чего не может быть. Второй закон: В любой ветви с конденсатором напряжение и заряд на ёмкости сохраняет в момент коммутации те же значения, которые они имели место до коммутации: . Если в момент коммутации U_C меняется скачком, то (du_C/dt)|₀ → ∞ и i_C(0) → ∞ из-за чего нарушается 1-й закон Кирхгофа, чего не может быть.

Вопрос 6. Начальные условия переходных процессов. Независимые и зависимые начальные условия.

Ответ: Начальные условия – значения токов и напряжений в схеме при t = 0. Докоммутационные нач. усл. – значения токов и напряжений при t = 0_, а послекоммутационные – при t = 0+. Независимые нач. усл. – значения токов через индуктивные элементы и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима. Зависимые – значения остальных токов и напряжений при t = 0+ в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым нач. усл. из законов Кирхгофа. Основные независимые нач. усл. – токи в индукт. элементах и напряжения на конденсаторах, которые могут быть заданы независимо от других. Остальные нач. усл. – неосновные. Нулевые нач. усл. – токи и напряжения на пассивных элементах перед коммутацией равны нулю. Ненулевые – если к началу переходного процесса хотя бы часть токов и напряжений не равны нулю.

Вопрос 7. Переходные процессы в цепях с двумя накопителями энергии. Характер переходных процессов в зависимости от корней характеристического уравнения.

Ответ: Схемы с двумя различными накопителями энергии содержат катушку индуктивности L и конденсатор С вместе с одним или несколькими резисторами R. Когда схема содержит последовательно включенные R, L и С, различают переходные процессы трех типов. При слабом затухании процесс называется колебательным, при избыточном затухании - апериодическим.

В общем виде корни хар. уравнения записываются в виде: . Случай 1. Корни p₁ и p₂ – действительные, отрицательные и разные, если . Процесс имеет апериодический характер: . Случай 2. Корни p₁ и p₂ – действительные, отрицательные и равные, если . Процесс имеет граничный характер: . Случай 3. Корни p₁ и p₂ – комплексные сопряженные, если . Процесс имеет колебательный характер: .

Вопрос 8. Расчет переходного процесса при апериодическом режиме.

Ответ: Процесс разрядки. Корни p₁ и р₂ – действительные, отрицательные и разные, тогда . Свободная составляющая имеет апериодический характер: . Чтобы найти А₁ и А₂ используем законы коммутации: ; , т.е. ; . Подставив найденные значения получим напряжение на ёмкости и ток разрядки . В течение всего процесса напряжение и ток положительны.

Вопрос 9. Расчет переходного процесса при колебательном режиме.

Ответ: Процесс разрядки. Корни p₁ и р₂ – комплексные и сопряженные, , где - коэф. затухания. Подставив корни, получим напряжение и разрядный ток: ; . До коммутации напряжение на ёмкости равнялось ЭДС источника, а тока в индуктивности не было, тогда: ; , откуда ; . По формуле Эйлера . Зависимость изменения напряжения от времени: . Положим, что , , тогда ; . Напряжение емкости и разрядный ток цепи синусоидально изменяются во времени с амплитудами, уменьшающимися по экспоненциальному закону. Сначала строят экспоненты для напряжения и для тока.

Вопрос 10. Расчет переходного процесса при промежуточном режиме свободного процесса.

Ответ: Процесс разрядки. При R/(4L²) = 1/(LC) корни p₁ = р₂ = -R/(2L) – действительные, равные и кратные. Тогда , где А₁ и А₂ определяются по законам коммутации. Напряжение на ёмкости и ток во время предельного апериодического процесса: ;

Вопрос 11. Алгоритм расчета переходного процесса классическим методом.

Ответ: 1) Найти независимые начальные условия, то есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса. 2) Составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно диф. уравнение, неоднородное относительно искомого тока или напряжения. Для простых цепей получается диф. уравнение I или II порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе. 3) Составить общее решение полученного неоднородного диф. уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного диф. уравнения (в установившемся режиме для электрических цепей) и общего решения соответствующего однородного диф. уравнения. 4) В общем решении найти постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации.

Вопрос 12. Обобщенные законы коммутации, пример цепей с переходными процессами с «некорректными» начальными условиями.

Ответ: Законы. 1) При переходе от t = 0_ до t = 0+ суммарное потокосцепление Σψ каждого замкнутого контура послекоммутационной схемы не должно претерпевать скачкообразных изменений. Суммарное потокосцепление – алгебраическая сумма произведений токов контура на индуктивности их индуктивных элементов. 2) При переходе от t = 0_ до t = 0+ суммарный заряд Σq на обкладках конденсаторов, присоединенных к любому узлу послекоммутационной схемы, должен остаться неизменным. Эти законы следуют из второго закона Кирхгофа.

Некорректные НУ связаны с некорректными коммутациями. Некорректные коммутации – такие, в которых корректный учет малых изменений параметров цепи может привести к невыполнению законов Кирхгофа.

При переводе в схеме а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Вопрос 13. Преобразования Лапласа. Основные определения.

Ответ: Суть использования преобразования: решение из области действительного переменного t переводится в область комплексного переменного p=a+jb, где р-оператор.

Диф. уравнение преобразуется в алгебраическое, проводится решение алгебраического уравнения, и затем осуществляется обратный переход в область действительного переменного t, т.е. находится решение f(t) - оригинала функции. F(p)-изображение. f(t)≈F(p). Переход f(t)→F(p) называется прямым преобразованием, для чего используется интеграл Лапласа F(p) = . Интегралы с бесконечным верхним пределом – несобственные. Свойства преобразования Лапласа: 1) Af(t)=AF(p), т.е. умножению оригинала на постоянную величину соответствует умножение изображения на ту же постоянную; 2) ∑f_k(t) = ∑F_k(p), т.е. сумме оригиналов соответствует сумма изображений.

Вопрос 14. Преобразования Лапласа. Изображение первой производной.

Ответ: Суть использования преобразования: решение из области действительного переменного t переводится в область комплексного переменного p=a+jb, где р-оператор.

Диф. уравнение преобразуется в алгебраическое, проводится решение алгебраического уравнения, и затем осуществляется обратный переход в область действительного переменного t, т.е. находится решение f(t) - оригинала функции. F(p)-изображение. Переход f(t)→F(p) называется прямым преобразованием, для чего используется интеграл Лапласа F(p) = . Изображение первой производной df(t)/dt: функции f(t) при t = 0 равной f(0) соответствует изображение F(p). Используем преобразование Лапласа . Интегрируем по частям , но , а . Таким образом .

Вопрос 15. Закон Ома в операторной форме.

Ответ: Закон для участка цепи, содержащего ЭДС, при нулевых начальных условиях (схема 1)

, где - операторное сопротивление участка цепи между точками a и b. Математическая запись закона для участка цепи, не содержащего ЭДС при нулевых нач. условиях (схема 2) .

Вопрос 16. Первый закон Кирхгофа в операторной форме.

Ответ: После применения преобразования Лапласа к 1 закону Кирхгофа i₁+i+i₂ = 0, получим I₁(р)+ I(р)+ I₂(р) = 0 (изображение суммы равно сумме изображений) или ΣI(р) = 0 – первый закон Кирхгофа в операторной форме.

Вопрос 17. Второй закон Кирхгофа в операторной форме.

Ответ: После применения преобразования Лапласа ко 2 закону Кирхгофа получим (т.к. изображение суммы равно сумме изображений), где или - математическая запись 2 закона Кирхгофа в операторной форме.

Вопрос 18. Операторная схема замещения цепи.

Ответ: Центральным принципом решения переходного процесса операторным методом является преобразования обычной электрической схемы к операторной схеме замещения переменной p. Полученную схему рассчитывают любым известным методом. Правила преобразования основных элементов электрической цепи: 1) Активное сопротивление остаётся без изменений; 2) Конденсатор ёмкостью C заменяется двумя элементами - конденсатором 1/pC и источником ЭДС Uc(0)/p, который характеризует начальный заряд на конденсаторе; 3) Индуктивность L заменяется двумя элементами - индуктивностью pL и источником ЭДС L·i_L(0), который характеризует начальный ток через индуктивность; 4) Постоянный источник ЭДС или тока J, E заменяются на J/p и E/p.

Вопрос 19. Составление уравнений для изображений путем использования символического метода расчета синусоидальных цепей.

Ответ: В символическом методе при синусоидальном токе можно перейти от диф. уравнений, составленных для мгновенных значений, к алгебраическим, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Например, или в комплексной форме . Уравнения для изображений по форме аналогичны уравнениям, составленным с помощью символического метода для комплексов токов и напряжений. Поэтому все основанные на законах Кирхгофа приемы и методы составления уравнений можно применить и при составлении уравнений для изображений. При этом ненулевые начальные условия учитывают путем введения внутренних ЭДС, обусловленных начальными токами через индуктивные элементы и нач. напряжениями на конденсаторах.

Вопрос 20. Последовательность расчета в операторном методе.

Ответ: 1) Составление изображения искомой функции времени (прямое преобразование); 2) Переход от изображения к функции переменной.

1. Представить все элементы схемы в операторной форме; 2. Для полученной схемы составить систему по законам Кирхгофа; 3. Получить изображение функции; 4. Представить функцию как отношение многочленов F(p) = N(p)/M(p); 5. По полученному выражению находится обратное преобразование функции f(t)=Σ(N(p_k)/M(p_k))e^pt.

Вопрос 21. Использование интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов. Переходная проводимость, переходная функция по напряжению.

Ответ: τ – переменная, по которой производится интегрирование; t – момент времени, в который требуется найти ток в цепи. Пусть к цепи с нулевыми нач. условиями в момент t=0 подключается напряжение u(τ). Чтобы найти ток в цепи в момент времени t, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения u(0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени. Напряжение u(0) в момент времени t вызовет в цепи ток u(0)×g(t), где g(t) – переходная проводимость (функция времени, равная току в ветви при подключении цепи к постоянному напряжению). В момент времени τ+Δτ возникает скачок напряжения Δu≈(du/dτ)Δτ=u’(τ)Δτ. Находим составляющую тока в момент t, вызываемую скачком Δu: . Найдем полный момент времени t: . Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Чем больше ступенек, тем лучше ступенчатая кривая заменяет плавную. Поэтому перейдем к интегралу Дюамеля: . С помощью переходной функции h(t) (численно равной напряжению между двумя точками схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения) можно найти напряжение, если на входе цепи действует источник ЭДС (напряжения).

Вопрос 22. Нелинейные цепи. Основные понятия, определения.

Ответ: Нелинейные цепи – эл. цепи, содержащие нелинейные элементы (резистивные, индуктивные, емкостные). Нелинейные резисторы обладают нелинейными вольт-амперными характеристиками (ВАХ). Эти резисторы бывают: неуправляемые (лампы накаливания, электр. дуга, бареттер), управляемые (трехэлектродные дампы, транзисторы, тиристоры). В управляемых НР есть еще одна вспомогательная или управляющая цепь, воздействуя на ток или напряжение которой можно деформировать ВАХ основной цепи. В неуправляемых НР ВАХ изображается одной кривой, а в управляемых – несколькими. ВАХ – зависимость тока, протекающего через резистор, от напряжения на нём.

Вопрос 23. Примеры вольт-амперных характеристик некоторых нелинейных элементов.

Ответ: Элементы с симметричными ВАХ:

1. лампа накаливания - с ростом тока сопротивление нити увеличивается и возрастание тока замедляется. Сопротивление не зависит от направления тока.

2. терморезистор - с ростом тока сопротивление нити уменьшается. При последовательном включении общее сопротивление цепи не изменяется.

Элементы с несимметричными ВАХ: 3. полупроводниковый диод - проводит ток, если к аноду приложен положительный потенциал, а к катоду - отрицательный.

Вопрос 24. Общая характеристика расчета нелинейных цепей.

Ответ: С линейной частью любой сложной разветвленной цепи, содержащей нелин. резисторы, можно осуществлять любые преобразования, если они облегчают расчет всей схемы. Например, преобразование от треугольника сопротивлений к звезде для облегчения нахождения входного сопротивления линейной части схемы. К нелин. цепям применимы методы: двух узлов; замена нескольких параллельно включенных ветвей одной эквивалентной; эквивалентного генератора. До проведения расчета должны быть известны ВАХ нелин. резисторов в схеме. Расчет производят графически.

Вопрос 25. Расчет нелинейной цепи при последовательном соединении элементов.

Ответ: - ВАХ нелин. резистора; прямая линия - ВАХ линейного сопротивления; - ВАХ всей цепи. Расчет основывается на законах Кирхгофа. Способ 1: строим результирующую ВАХ пассивной части схемы (т.к. при последов. соединении через нел. рез. и R проходит одинаковый ток) – задаемся произвольным током (точка m), проводим через нее горизонталь и складываем отрезок mn, равный напряжению на нел. рез., с отрезком mp, равным напряжению на R: mn + mp = mq. Определяем ток в цепи: заданное значение ЭДС откладываем по оси абсцисс и через полученную точку проводим вертикаль до пересечения с результирующей ВАХ в точке q. Ордината q равна току. Способ 2: - уравнение прямой, проходящей через точки I=E/R; U=U_НР=0; I=0; U_НР=U=E. Тангенс угла α наклона этой прямой к вертикали, умноженный на (m_U/m_i) масштабов по осям, равен R. Точка пересечения прямой с ВАХ нел. рез. определяет режим работы цепи. Ток через нел. рез. и R одинаков, а сумма падений напряжений . Аналогично находят ВАХ большего числа нел. резисторов.

Вопрос 26. Расчет нелинейной цепи при параллельном соединении элементов.

Ответ: Напряжения на нел. рез.1 и нел. рез.2 равны в силу их параллельного соединения, ток в неразветвленной части схемы . Строим результирующую ВАХ: задаемся произвольным напряжением, равным отрезку Om; проводим через точку m вертикаль; складываем отрезок mn, равный току в нел. рез.2, с отрезком mp, равным току в нел. рез.1, т.е. mn+mp=mq. Отрезок mq равен току в неразветвленной части цепи при напряжении Om. Аналогично определяют и др. точки.

Вопрос 27. Расчет нелинейной цепи при смешанном соединении элементов.

Ответ: Заданы ВАХ нел. резисторов и ЭДС. Строим ВАХ параллельного соединения: задаемся произвольным напряжением, равным отрезку U₁₂; проводим вертикаль; складываем отрезок I₁ с отрезком I₂, получаем точку I₃ (кривая 1+2). Строим ВАХ последовательного соединения НР3 и НР: задаемся произвольным током, проводим через него горизонталь и складываем отрезок 1 с отрезком 2, получаем отрезок 3. Определяем ток в цепи: заданное значение ЭДС откладываем по оси абсцисс и через полученную точку проводим вертикаль до пересечения с результирующей ВАХ. Ордината точки пересечения равна току. Другой способ построения: кривая 3' является ВАХ НС3, зеркально отраженной относительно вертикали, проведенной через точку U=E. В точке пересечения кривой 3' с кривой 1+2 удовлетворяется 2-й закон Кирхгофа: U₃+U₁₂=E. Сумма токов I₁+I₂=I₃.

Вопрос 28. Метод двух узлов при расчете нелинейных цепей.

Ответ: Для схем, содержащих только 2 узла или приводящимся к ним, применяют метод двух узлов. Положим, что E₁>E₂>E₃. Пусть все токи направлены к узлу a, тогда I₁+I₂+I₃=0. Выразим токи в функции одного переменного – напряжения Uab между 2-мя узлами. Для этого выразим напряжения через ЭДС и Uab: ; ; . Перестраиваем кривую I₁=f(U₁) в кривую I₁=f(Uab): сместим кривую I₁=f(U₁) параллельно самой себе так, чтобы её начало находилось в точке Uab=E₁; проведем через эту точку вертикаль и зеркально отразим кривую относительно вертикали. Для точки 5 кривой I₁=0, U₁=0, Uab=E₁, т.е. начало кривой I₁=f(Uab) сдинуто в точку Uab=E₁. При U₁>0 росту U₁ соответствует убыль Uab. Для точки 2 при U₁=E₁ Uab=0. Росту U₁ при U₁<0 отвечает рост Uab, причем Uab>E₁. Аналогично перестраиваем кривые для других ветвей. Просуммировав их ординаты, построим кривую I₁+I₂+I₃=f(Uab). Уравнение I₁+I₂+I₃=0 удовлетворяется при Uab, находящемся в точке m. Восстановим в этой точке перпендикуляр к оси абсцисс. Ординаты точек пересечения перпендикуляра с кривыми 1,2,3 дадут токи I₁, I₂, I₃ по величине и по знаку.

Вопрос 29. Замена нескольких параллельных ветвей с нелинейными сопротивлениями и ЭДС одной, с эквивалентной ЭДС и нелинейной эквивалентной ВАХ.

Ответ: Параллельные ветви на рисунке входят в состав сложной схемы. Одна ветвь на рис.2 будет эквивалентна ветвям на рис.1, если ток I в неразветвленной части цепи (рис.1) при любых значениях напряжения Uab будет равен току I в ветви (рис.2). Воспользуемся кривыми, полученными расчетом разветвленной нелин. цепи методом двух узлов. Кривая 4 является результирующей ВАХ трех параллельных ветвей и представляет собой I₁+I₂+I₃=f(Uab). Если в схеме (рис.2) I=0, то Uab=E₃. Поэтому E₃ определяется напряжением Uab, при котором кривая 4 пересекает ось абсцисс. Для определения ВАХ НР(эк.) надо кривую 4 зеркально отразить относительно вертикали, проведенной через точку m. Включение ЭДС в параллельные ветви привело к тому, что ВАХ НР(эк.) стала несимметричной. Изменяя ЭДС в паралл. ветвях можно менять её результирующую ВАХ.

Вопрос 30. Использование метода эквивалентного генератора для работы нелинейной цепи.

Ответ: Если в сложной электрической цепи есть одна ветвь с нел. резист., то определить ток в ней можно методом эквивалентного генератора. Выделим ветвь с нел. резист., а всю остальную схему представим в виде активного двухполюсника. Этот 2-полюсник по отношению к зажимам a и b выделенной ветви можно представить в виде последовательного соединения источника ЭДС с E, равной напряжению на зажимах ab при разомкнутой ветви ab (Uabx), сопротивления, равного входному сопротивлению Rвх линейного 2-полюсника, и сопротивления ветви ab. Строим результирующую ВАХ пассивной части схемы – задаемся произвольным током (точка m), проводим через нее горизонталь и складываем отрезок mn, равный напряжению на нел. рез., с отрезком mp, равным напряжению на R: mn + mp = mq. Определяем ток в цепи: заданное значение ЭДС откладываем по оси абсцисс и через полученную точку проводим вертикаль до пересечения с результир. ВАХ в точке q. Ордината q равна току.

Вопрос 31. Статическое и динамическое сопротивления.

Ответ: Статическое сопротивление Rст. характеризует поведение нелин. резист. в режиме неизменного тока. Оно равно отношению напряжения на НР к протекающему по нему току: Rст=U/I. Также оно численно равно тангенсу угла α между осью ординат и прямой, идущей в точку b, умноженному на отношение масштабов по осям m_U/m_i. При переходе от одной точки ВАХ к соседней Rст изменяется. Динамическое сопротивление Rдин – отношение малого приращения напряжения dU на НР к соответствующему приращению тока dI: Rдин=dU/dI. Также оно численно равно тангенсу угла β наклона касательной к ВАХ в рабочей точке, умноженному на m_U/m_i. Оно характеризует поведение НР при достаточно малых отклонениях от предыдущего состояния. Если ВАХ НР имеет участок, где увеличению напряжения на ΔU соответствует убыль тока на ΔI, то Rдин отрицательно.

Вопрос 32. Общая характеристика методов анализа нелинейных цепей переменного тока.

Ответ: Методы анализа нел. цепей бывают: аналитические и графические. Аналитические в отличие от графических позволяют проводить анализ в общем виде, а не только для частных значений параметров. Недостаток этих методов – приходится выражать аналитически характеристики нелин. элементов, а это связано с погрешностью. Поэтому расчет производится лишь с известной степенью приближения. Методы анализа: 1) графический при использовании характеристик нелин. элементов для мгновенных значений; 2) аналитический при использовании характеристик нелин. элементов для мгновенных значений при их кусочно-линейной аппроксимации; 3) аналит. или графич. при использовании ВАХ по первым гармоникам; 4) аналит. или графич. при использовании ВАХ по действующим значениям несинусоидальных величин; 5) аналитич. путем расчета по первой и одной или нескольким высшим или низшим гармоникам; 6) с помощью линейных схем замещения; 7) малого параметра; 8) интегральных уравнений; 9) моделирования. Чем сложнее хар-р нел. явления, тем сложнее метод анализа.

Вопрос 33. Феррорезонанс напряжений.

Ответ: Это режим работы последовательной цепи с нелинейной индуктивностью и линейной емкостью, при котором первая гармоника тока в цепи совпадает по фазе с напряжением U источника ЭДС. Феррорез. напряжений можно достичь путем изменения напряжения или частоты источника питания схемы, а также путем изменения емкости и параметров катушки со стальным сердечником. Феррорез. соответствует точке p на рисунке. Условие резонанса: X_L=X_C.

Вопрос 34. Феррорезонанс токов.

Ответ: Это режим работы параллел. цепи с нелин. индуктивностью и линейн. емкостью, при котором реактивная составляющая первой гармоники тока I_L равна току I_C. По 1-му закону Кирхгофа I=I_L+I_C. Так как токи I_L и I_C находятся в противофазе, то точке p соответствует режим феррорез. токов, т.е. I=0. Следует учитывать, что в феррорез. режиме (точка d) ток I в неразветвленной части схемы до нуля не снижается за счет высших гармоник и активной составляющей 1-й гармоники в токе I_L.

Вопрос 35. Линии с распределенными параметрами.

Ответ: Электрические линии с рас. пар. – линии, в которых для одного и того же момента времени i и U непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к соседней точке, т.е. являются функциями времени и пространственной координаты. Это происходит, потому что линии обладают распределенными продольными и поперечными элементами. Магнитные линии с рас. пар. – линии, магнитный поток и магнитное напряжение вдоль которых непрерывно меняются при переходе от одной точки линии к соседней. Сопротивления Z₁, Z₂, Z₃ – продольные, Z₄, Z₅, Z₆ – поперечные. Из-за утечки тока через Z₄ ток i₂≠i₁. Линия однородная, если равны все продольные Z участков линии одинаковой длины и равны поперечные Z участков линии одинаковой длины. Линия неоднородная, если продольн. или поперечн. Z различны. В нелинейных линиях продольные или поперечные Z являются функциями протекающих по ним токов, а в линейных – не являются.

Вопрос 36. Составление дифференциальных уравнений для однородной линии с распределенными параметрами.

Ответ: Для единицы длины линии: R₀ – продольное активное сопротивление; L₀ – индуктивность; C₀ – ёмкость; G₀ – поперечная проводимость. Разобьем линию на участки длиной dx, где x – расст. от начала линии. Параметры на длине dx: R₀dx, L₀dx, G₀dx, C₀dx. Ток в начале рассматриваемого участка и напряжение между проводами – функции расстояния вдоль линии x и времени t. Составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком длиной dx, обойдя его по часовой стрелке: . После упрощения: (ур.1). По 1-му закону Кирх.: . Ток di равен сумме токов через G₀dx и C₀dx: => . После подстановки: (ур.2). Уравнения 1 и 2 – искомые диф. уравнения.

Вопрос 37. Решение уравнений линии с распределенными параметрами при установившемся синусоидальном процессе. Постоянные интегрирования, постоянная распространения, волновое сопротивление.

Ответ: Пусть напряжение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону. Используем символический метод. Изображения тока и напряжения: , где ; , где . Перейдем к уравнениям в простых производных: и ; и . После подстановки и упрощения: ; , где и . Продифференцируем по х: => . Решение этого уравнения: . Комплексные числа A₁ и A₂ – постоянные интегрирования, определяемые через напряжение и ток в начале или в конце линий. Постоянная распространения: , где α – коэффициент затухания (затухание падающей волны на единицу длины линий), β – коэф. фазы (изменение фазы падающей волны на ед. длины). Ед. измерения: 1/м. Найдем ток: . Волновое сопротивление: . Тогда .

Вопрос 38. Постоянная распространения и волновое сопротивление в некоторых частных случаях (постоянный ток, линия с малыми потерями).

Ответ: Постоянная распространения: . Для линии постоянного тока ω = 0 и потому: . Для линии синусоидального тока без потерь (R₀=G₀=0): . Запишем формулы для приближенного определения α и β в линии с малыми потерями, когда и : . Воспользуемся соотношением и получим: , тогда и . Волновое сопротивление для постоянного тока: . Для линии синусоидального тока без потерь: . Для линии син. тока с малыми потерями: .

Вопрос 39. Определение комплексов тока и напряжения в любой точке линии через напряжение и ток в начале линии.

Ответ: x – расстояние от начала линии до текущей точки на ней. Из и следует, что в начале линии при x=0: ; . Отсюда выразим: ; . После подстановки: . Введем гиперболические функции: ; . Тогда ; . Аргумент гиперболической функции: .

Вопрос 40. Определение комплексов тока и напряжения в любой точке линии через напряжение и ток в конце линии.

Ответ: l – длина всей линии, y – расстояние от текущей точки до конца линии. Тогда y= l -x. Подставим x = l, , в и . Получим ; . Отсюда ; . Заменим l – x на y и перейдем к гиперболическим функциям: ; . Зная U₂ и I₂ с помощью этих формул, можно найти комплексы напряжения и тока в точке, находящейся на расстоянии y от конца линии.

Вопрос 41. Падающие и отраженные волны в линии.

Ответ: Падающая электромагнитная волна – процесс перемещения электромаг. состояния (волны) от источника энергии к приемнику. Эта волна образована падающими волнами напряжения и тока. Электромаг. состояние определяется совокупностью электр. и магнитного полей, обуславливающих друг друга. Отраженная волна – процесс перемещения электромаг. состояния от приемника к источнику энергии. Она образована отраженными волнами напряжения и тока. Каждая компонента падающей волны – это синусоидальное колебание, амплитуда которого уменьшается по мере роста x (множитель ). Каждая компонента отраженной затухает при движении волны от конца к началу. ;

Вопрос 42. Коэффициент отражения электромагнитной волны.

Ответ: Коэффициент отражения по напряжению – отношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце: При согласованной нагрузке K_u = 0, при холостом ходе K_u = 1. Коэффициент отражения по току: .

Вопрос 43. Фазовая скорость электромагнитной волны.

Ответ: Фаз. скорость υф – скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебания. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния. Если фаза падающей волны напряжения неизменна, то . Возьмем производную по времени: , или . Таким образом .

Вопрос 44. Длина электромагнитной волны.

Ответ: Длина волны λ – расстояние, на которое распространяется волна за один период T=1/f: .

Вопрос 45. Линия без искажений.

Ответ: Это линия, вдоль которой волны всех частот распространяются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени. При движении электромаг. волны по такой линии волны напряжения и тока уменьшаются по амплитуде, но формы волн напряжения и тока в начале и конце линии подобны. Эти линии применяют в телефонии. Для уменьшения искажений увеличивают L₀. Чтобы линия была неискажающей, коэф. затухания и фаз. скорость не должны зависеть от частоты, и должно выполняться соотношение: . Так как ; ; , то ; ; . Волновое сопротивление не зависит от частоты. Пример: ; , т.о. напряжение в конце линии уменьшено по амплитуде за счет затухания и смещено во времени на время движения волны по линии длиной l.

Вопрос 46. Согласованная нагрузка.

Ответ: Линия с распред. параметрами обычно служит промежуточным звеном между источником энергии (сигнала) и нагрузкой. Сопротивление нагрузки: . Если Z₂≠Z_В, то падающая волна частично пройдет в нагрузку, частично отразится от нее (возникнет отраженная волна). При согласованной нагрузке (Z₂=Z_В) отраженная волна отсутствует. В линиях передачи информации также согласуют Z_В с внутренним сопротивлением источника сигнала Z_Н.

Вопрос 47. Определение тока и напряжения в любой точке линии при согласованной нагрузке.

Ответ: В формулы и вместо Z_В подставим Z₂, заменим I₂Z₂ на U₂ и U₂/Z₂ на I₂. Получим: ; . В начале линии при y= l: ; . Кривая 1 – согласованная нагрузка, кривая 2 – несогласованная.

Вопрос 48. КПО линии при согласованной нагрузке.

Ответ: Коэффициент полезного действия линии передачи равен отношению активной мощности в конце линии Р₂ к активной мощности в начале линии Р₁: , где φв – аргумент волнового сопротивления Zв. При согласованной нагрузке угол между U₁ и I₁ также равен φв, поэтому , откуда .

Вопрос 49. Входное сопротивление нагруженной линии.

Ответ: Схема состоит из источника, линии с распр. параметрами и нагрузки. Вход. сопр.: . В формулах и вместо y подставим l и заменим U₂ на I₂Z₂. Получим или . Если нагрузка согласована (Z₂=Z_В), то Z_ВХ=Z_В.

Вопрос 50. Напряжение и ток в линии без потерь.

Ответ: Если R₀=G₀=0, то . Волновое сопротивление - чисто активное. Определим ток и напряжение в любой точке линии: ; . Учтем, что . Гиперболические синусы и косинусы равны круговым: ;

Отсюда . Тогда: ;

Вопрос 51. Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе.

Ответ: При холостом ходе I₂=0, поэтому . В интервале значений βy от 0 до π/2 tgβy изменяется от 0 до ∞, поэтому Zвх х имеет емкостный характер и по модулю изменяется от 0 до ∞. Расположение кривой выше оси абсцисс соответствует индуктивному характеру реактивного сопротивления линии x, ниже оси – емкостному. В интервале значений βy от π/2 до π tgβy отрицателен и изменяется от -∞ до 0, поэтому Zвх х имеет индуктивный характер и по модулю изменяется от 0 до ∞. Изменяя длину отрезка можно имитировать любое емкостное и индуктивное сопротивление.

Вопрос 52. Стоячие электромагнитные волны.

Ответ: Эти волны возникают в линиях без потерь при холостом ходе, коротком замыкании или при чисто реактивных нагрузках. Стоячая волна образована стоячими волнами напряжения и тока. Такие волны описываются произведением двух периодических функций: 1. функция координаты текущей точки на линии (βy); 2. функция времени (ωt). Сдвиг во времени между стоячими волнами напряжения и тока равен 90º, сдвиг в пространстве λ/4. Узлы – точки линии, где периодическая функция координаты проходит через нуль. Пучности – точки линии, где функция координаты имеет максимум. Электромаг. энергия от начала к концу линии не передается, но на каждом отрезке λ/4 запасена некоторая энергия. Когда ток вдоль линии равен нулю, а напряжение максимально, вся энергия переходит в энергию электр. поля. Когда U=0, а I=max, энергия переходит в энергию магнитного поля.

Дата добавления: 2015-10-21