Оцінка залежності між факторами процесів, що відбуваються в транспортних системах.

Оцінка залежності між факторами процесів, що відбуваються в транспортних системах.

Деякі фактори процесів, що відбуваються у транспортних системах, можуть бути між собою незалежними, а інші можуть мати певну залежність. Наприклад, якщо розглянуті такі випадкові величини, як тривалість огляду окремого взятого вагону состава та кількість вагонів у ньому, то за змістом ці випадкові величини не мають нічого спільного, зміна значень однієї з них зовсім не впливає на іншу, тому вони розглядаються як незалежні величини.

Залежні величини мають певний зв’язок між собою, який може бути функціональним коли деякому значенню величини Х завжди відповідає одне й те ж значення величини Y, або кореляційним (ймовірносним), коли деякому значенню величини Х можуть відповідати різні значення величини Y. Прикладами функціонального зв’язку можуть бути усі відомі закони, наприклад другий Ньютона F=ma.

Наявність та ступінь ймовірносного зв’язку між факторами Х та Y можна оцінити з допомогою коефіцієнта кореляції:

, (1)

де K _xy – кореляційний момент величин X і Y;

σ[ x ], σ[ y ] – середні квадратичні відхилення величин Х та Y.

Кореляційний момент величин X і Y визначається за формулою

, (2)

де M [ XY ] – середня величина добутку випадкових значень Х та Y.

Коефіцієнт кореляції приймає значення у межах -1≤ K _xy≤1 і визначає ступінь лінійної залежності між факторами (рис. 1) і означає:

- K_xy =1, K_xy =–1 – між факторами існує функціональна залежність Y = kX + b;

- K_xy =0 – лінійна залежність відсутня, фактори Х та Y – незалежні;

- (-1< K _xy<0), (0< K _xy<1) – існує деяка кореляція між Х та Y, тим більша, чим ближче до +1 або –1, і тим менша, чим ближче до 0.

Слід підкреслити, що коефіцієнт кореляції характеризує лінійний зв’язок між факторами, а для оцінки нелінійного зв’язку використовують кореляційне відношення, розрахунок якого тут не розглянуто.

Для прикладу розглянемо оцінку залежності між факторами: t – тривалість маневрового напіврейсу, m – кількість вагонів у составі, що маневрується (експерементальні дані заміряються при однакових інших умовах, в першу чергу – при однаковій довжині напіврейсу). Числові значення статистичних спостережень величин t та m наведено в табл. 1. Для візуальної оцінки зв’язку між факторами отримані значення наведені у вигляді окремих точок на рис. 2. Такий вигляд представлення експерементальних даних називають полем точок.

Таблиця 1

№ подачі	t	m	tm	t ^2	m ^2
Сума

Поле точок на рис. 2 свідчить, що в середньому зі збільшенням кількості вагонів збільшується і тривалість маневрового напіврейсу, але наскільки суттєва ця залежність – сказати неможливо. Для цього виконуються розрахунки елементів і самого значення коефіцієнта кореляції:

.

Отримане значення коефіцієнта кореляції свідчить про наявність суттєвого кореляційного зв’язку між факторами лінійного типу.

Математичний опис залежності між факторами процесу.

Для отримання математичного опису залежності факторів використовують метод мінімальних квадратів. Суть його полягає у знаходженні такої функції t = f (m), яка б найкращим чином описувала поле точок (t, m). Кожному значенню t _i аргументу m відповідає деяке статистичне значення t _i і теоретичне значення f (m _i). Найкращим чином описує поле точок функція, яка має найменшу суму відхилень статистичних і теоретичних значень, що в математичному вигляді відповідає запису:

. (3)

Квадрат відхилень береться з метою виключення від’ємних значень, які б зменшували суму відхилень і спотворювали результат.

Дослідник сам приймає рішення про форму залежності, наприклад

Y = a + bX, Y = a + bX + c X ², Y = a X^b чи якась інша, а далі з використанням (3) визначаються коефіцієнти a, b, c вибраної функції.

Розглянемо математичний опис залежності між факторами t та m за умов розглянутого вище прикладу. Графічне зображення поля точок (рис. 2) та отримане значення коефіцієнта кореляції r _mt=0,91 дають підстави для опису залежності лінійною функцією виду t = a + bm. Підставимо цю функцію в (3) і отримаємо цільову функцію

, (4)

де a, b – коефіцієнти, які підлягають визначенню.

З курсу математичного аналізу відомо, що для пошуку екстремуму функції потрібно взяти її похідну по аргументу, прирівняти її до нуля, і визначити значення аргумента, які забезпечують екстремальні значення функції. В даній задачі маємо два невідомих коефіцієнти a та b, які розглядаємо як аргументи, від яких залежить значення функції S. Тому беремо по черзі похідні по a та b від (4) і отримаємо:

→ →

поділимо на n → →

і методом підстановки знаходимо рішення:

.

В результаті отримані вирази для визначення коефіцієнтів функції зв’язку факторів. Зробимо такі розрахунки для розглянутого вище прикладу:

, .

Таким чином, функція, яка описує залежність t від m, має вигляд:

,

а її значення в окремих точках становлять

m
t	5,23	10,75

За цими даним на рис.2 проведено графік функції і візуально видно, що функція відповідає характеру статистичної залежності.

Розглянутим чином може бути виконаний опис процесів у випадку тільки одного аргумента. При складних процесах і великій кількості факторів використовують інші методи, наприклад метод планування експериментів який розглянемо нижче. За допомогою сучасних компьютерних технологій, наприклад пакету Microsoft Excel, такі залежності можна отримати у вигляді функції тренду.

Дата добавления: 2015-10-21