Задача 1.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса последовательных исключений неизвестных;

Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса последовательных исключений неизвестных;

Решение. а) Начнем с метода Гаусса последовательных исключений неизвестных. Сначала нужно преобразовать систему уравнений так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении системы, например, в первом. Затем уравнение, в которое входит , отбрасывают, и рассматривают систему из оставшихся уравнений, в котором число уравнений и число неизвестных уменьшилось. Эту редуцированную систему преобразуют так, чтобы переменная осталась только в одном уравнении. Затем уравнение, в которое входит , отбрасывают, и вновь рассматривают систему из меньшего числа уравнений. Преобразования с последовательным исключением неизвестных , , и т.д. продолжают до тех пор, пока к каждой неизвестной не будет применена процедура исключения. После этого значения , , ,… определяют сначала из последнего уравнения, затем из предпоследнего и т.д., вплоть до первого уравнения.

Итак, возьмем первое уравнение системы и с его помощью исключим переменную из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение перепишем без изменений, а второе и третье уравнения сложим с подходящими коэффициентами с первым уравнений системы. Сначала умножим первое уравнение системы на 10, второе - на , а затем сложим полученные уравнения. Получим

Аналогично, умножим первое уравнение системы на 8, второе - на , а затем сложим.

Данное преобразование будем записывать в следующем виде:

Û

Возьмем теперь второе уравнение и с его помощью исключим переменную из третьего уравнения системы. Для этого второе уравнение системы умножим на 63, третье уравнение умножим на , и сложим полученные уравнения.

Û

Мы привели систему уравнений к так называемому верхне-треугольному виду. Теперь методом обратного хода можно определить сначала значение переменной из последнего уравнения системы, затем значение переменной из второго уравнения, и, наконец, значение переменной из первого уравнения.

Ответ: .

Решение вырожденных систем линейных уравнений.

Если определитель матрицы системы линейных уравнений равен нулю (или число уравнений системы меньше числа неизвестных), то либо имеется бесконечно много решений, либо система противоречива, и решений нет вовсе. Разберем на примере, как можно описать все решения вырожденной системы уравнений, используя метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

Задача 1.2. Решить систему уравнений

Решение. С помощью первого уравнения исключим переменную из второго и третьего уравнений системы.

Получаем:

Исключим теперь с помощью второго уравнения системы переменную из третьего уравнения.

В результате третье уравнение системы превращается в тождество , и остается только два уравнения:

Мы привели систему к верхнетреугольному виду, однако для двух неизвестных (а именно, для и для ) не хватило “своего” уравнения для преобразования исключения. В этом случае переменные , объявляются свободными (то есть их значения могут выбираться произвольным образом), а значения остальных переменных (они называются базисными) могут быть выражены через значения свободных переменных.

Отсюда:

Ответ: , где - произвольные параметры.

Дата добавления: 2015-10-21