Рассмотрим решение одного из вариантов.

Рассмотрим решение одного из вариантов.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение.

Представим интеграл в виде суммы двух интегралов, каждый из которых вычислим, используя свойство инвариантности табличных интегралов:

Пример 2.

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Используя метод интегрирования по частям, получим

Пример 5. Вычислить

Решение. Представим подинтегральную функцию в виде суммы простейших дробей

Приравняем числители дробей и найдём коэффициенты Aи B.

Таким образом,

Пример 6. Вычислить .

Решение. Выделяя целую часть, запишем интеграл в виде

Представим дробную часть в виде суммы простейших дробей

Найдём коэффициенты и из условия 116x +126 =

Для этого найдём значения многочленов в левой и правой частях равенства при

и

Если , то -116+126 = , откуда .

Если ,то -348+126=-2 , откуда

Таким образом,

Подставляя всё под знак интеграла, получим

Пример 7. Вычислить

Решение. Воспользуемся методом Остроградского. По этому методу интеграл от правильной дроби представляется в виде

,

.

Здесь неизвестные многочлены, степень которых на единицу меньше степени многочленов , соответственно, а все разные (и действительные и комплексные) корни многочлена . Неизвестные многочлены находятся дифференцированием указанного интегрального равенства, а именно из уравнения

В нашем примере , , , .

Дифференцируя обе части формулы, получим

Выполняя действия, получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях этого тождества

И решая эту систему, находим

Следовательно,

Пример 8. Вычислить

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат и введём новую переменную

Тогда получим

Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получим тождество

Откуда

Следовательно,

Пример 9. Вычислить

Решение. Рационализируем подинтегральную функцию с помощью подстановки

Тогда

Пример 10. Вычислить

Решение. Обозначим Тогда

Пример 11. Вычислить

Решение. Интеграл от дифференциального бинома где m,n,p

Выражается через элементарные функции только в следующих трёх случаях (теорема Чебышёва):

1) p – целое. Полагаем где k – общий знаменатель дробей m и n.

2) целое. Полагаем где - знаменатель дроби p.

3) - целое. Полагаем где - знаменатель дроби p.

Перепишем интеграл в виде

Здесь целое. Применим подстановку

Тогда Обозначая получим

Пример 12. Вычислить

Решение. В этом примере m=-2, n=3, p= - целое.Поэтому полагаем Следовательно

Пример 13. Вычислить

Решение.

Перепишем интеграл в виде Полагаем что даёт

Пример 14. Вычислить .

Решение. Применим подстановку Тогда

Возвратимся к исходной переменной. Для этого заметим,что

Окончательно получим

Пример 15. Вычислить

Решение. Для вычисления интеграла применим формулу

где - многочлен степени n,

- многочлен степени ,

Дифференцируя это тождество, получим

Откуда

Таким образом, окончательно имеем при

Пример 16. Вычислить

Решение. Воспользуемся формулой из предыдущего примера.

Дифференцируя последнее равенство, получим

Значит

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получим

Решая эту систему, находим

Окончательно получим

Пример 17. Вычислить

Решение. Воспользуемся методом Остроградского.

Дифференцируя обе части формулы, получим

Приравнивая числители дробей, получим систему

Решая эту систему, найдём коэффициенты

Окончательно получим

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример 18. Вычислить

Решение.

Пример 19. Вычислить .

Решение. Используем формулу интегрирования по частям

Применяя эту формулу еще раз

,

получим

Пример 20. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся подстановкой . Тогда

Рассмотрим приложения определённого интеграла к решению некоторых геометрических задач.

Вычисление площадей плоских фигур

Пример 21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , и прямыми и , находим по формуле .

Найдем абсциссы точек пересечения кривых

Т.к. при , то

Пример 22. Вычислить площадь фигуры, ограниченной циклоидой

и осью Ox

Решение. Построим фигуру

y

x

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и отрезком оси ОХ, находятся по формуле , где находятся из условий , ( при .

Применяя эту формулу, получим

Пример 23. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями и .

Решение. Для вычисления площади фигуры, граница которой задана уравнением в полярных координатах, воспользуемся формулой .

Построим окружности. Для этого запишем уравнения окружностей в каноническом виде, пользуясь формулами перехода к декартовым координатам

Умножив обе части уравнения первой окружности на , получим ,т.е.

, откуда - окружность с центром в т.(0; 1), радиуса, равного 1.

Аналогично, для второй окружности получим

- окружность с центром в т. (0; 2), радиуса, равного 2.

Построим эту фигуру.

y

x

Таким образом, площадь фигуры равна разности площадей фигур, ограниченных первой и второй окружностями (заштрихованная часть плоскости):

Пример 24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

Решение. Функция имеет период , поэтому при изменении от до радиус-вектор описывает три равных лепестка кривой. При этом допустимыми для являются те значения, при которых , откуда

Следовательно, один из лепестков описывается при изменении от до и является симметричным относительно оси Ox. Остальные два лепестка получаются при изменении от до и от до .

Таким образом,

Вычисление длин дуг плоских кривых.

Пример 25. Вычислить длину дуги кривой от до .

Решение. Если кривая имеет непрерывную производную , то длина дуги этой кривой находится по формуле

В нашем случае ,

.

Таким образом,

.

Пример 26. Вычислить длину петли кривой

Решение. Если кривая задана уравнением в параметрической форме и производные непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

Найдём пределы интегрирования и для нашего примера.

Из условия следует, что кривая лежит в правой полуплоскости. Так как то кривая симметрична относительно оси Ох. Из равенства следует, что принимает одно и то же значение не более, чем 2 раза. Это значит, что точки самопересечения кривой лежат на оси Ох. Из условия у=0 находим Так как , то точка является единственной точкой самопересечения кривой. Стрелками на рисунке показано направление, в котором точка М(х,у) пробегает кривую при изменении от до . Найденные значения и являются пределами интегрирования.

Далее находим , откуда . Следовательно,

Пример 27. Вычислить длину дуги кривой от до .

Решение. Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то длина дуги кривой находится по формуле .

Найдём подинтегральное выражение

.

Из уравнения кривой находим . Тогда

Вычисление объёмов тел.

Объём тела выражается интегралом , где - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке .

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ох и прямыми и выражается интегралом .

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Оу и прямыми и выражается интегралом .

Пример 28. Найти объём эллипсоида

Решение. Сечение эллипсоида плоскостью , , есть эллипс с уравнением и полуосями и .

Площадь сечения .

Тогда

Пример 29. Фигура, ограниченная дугой синусоиды , осью ординат и прямой у=1, вращается вокруг оси Оу. Найти объём полученного тела вращения.

Решение. Уравнение кривой рассматривается на отрезке . Поэтому

Вычислим интеграл методом замены переменной, применяя подстановку . Отсюда Новые пределы интегрирования 0 и . Полученный при этом интеграл вычислим методом интегрирования по частям.

.

Вычисление площади поверхности вращения.

Площадь поверхности S, образованной вращением вокруг оси Ох дуги L кривой . Выражается интегралом .

Эту формулу часто записывают в виде , где - дифференциал длины дуги.

Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то достаточно произвести замену переменной, выразив соответствующим образом дифференциал длины дуги:

,если ,

, если .

Пример 30. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением астроиды

вокруг оси Ох.

Решение. Дифференцируя уравнение астроиды, получим , откуда получим . Далее найдём .

Астроида симметрична относительно оси Оу, поэтому при вычислении площади поверхности можем считать , а затем удвоить результат.

Таким образом,

.

Для вычисления интеграла используем замену ; .

Тогда получим = .

Пример 31. Вычислить площадь поверхности тора, образованного вращением окружности (0< r < b) вокруг оси Ох.

Решение. Запишем уравнение окружности в параметрической форме:

, . Откуда , .

Найдём площадь поверхности (см. рис.):

Пример 32. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты

вокруг полярной оси.

Решение. Действительные значения для получаются при условии ,т.е. при (правая ветвь лемнискаты) и (левая ветвь лемнискаты).

Площадь поверхности найдём по формуле .

Найдём

.

Далее .

Тогда

---

Дата добавления: 2015-10-21