к экзамену по курсу «Математический анализ» за II семестр

ВОПРОСНИК

к экзамену по курсу «Математический анализ» за II семестр

для группы СВБС-21 вечернего ф-та.

1. Сформулируйте правила Лопиталя в различных случаях. Расскажите о типах

неопределённости при вычислении пределов. Сравните поведение при

логарифмической, степенной и показательной функций.

2. Напишите формулу Тейлора для функции одного переменного с остаточным членом

в форме Пеано и Лагранжа. Приведите стандартные разложения для функций:

.

3. Дайте определение первообразной и неопределённого интеграла. Сформулируйте

теорему об общем виде первообразной и перечислите основные свойства

неопределённого интеграла.

4. Приведите таблицы неопределённых интегралов (основную и расширенную).

5. Опишите методы замены переменной и подведения под знак дифференциала в

неопределённом интеграле. Приведите примеры.

6. Расскажите об интегрировании по частям в неопределённом интеграле. Приведите

примеры.

7. Расскажите об интегрировании правильных и неправильных рациональных дробей.

8. Дайте определение определённого интеграла, объясните его геометрический смысл.

9. Перечислите основные свойства определённого интеграла: линейность, аддитивность,

интегрирование модуля. Сформулируйте теоремы об интегрировании неравенств и об

оценке интеграла. В чём геометрический смысл этих теорем?

10. Сформулируйте теорему о дифференцировании интеграла с переменным верхним

пределом. Выведите из неё формулу Ньютона-Лейбница.

11. Расскажите о методах замены переменной и интегрирования по частям в

определённом интеграле. Приведите примеры.

12. Расскажите о геометрических приложениях определённого интеграла: площадь

фигуры, объём тела вращения, длина дуги.

13. Приведите формулы прямоугольников и трапеций для приближённого вычисления

определённого интеграла, объясните их геометрический смысл, оцените погрешность.

14. Определите понятия несобственного интеграла I-ого рода (по бесконечному

промежутку) и II-ого рода (от неограниченной функции), исследуйте на сходимость

интегралы Дирихле.

15. Сформулируйте признак сравнения и предельный признак сравнения для

несобственных интегралов, приведите примеры.

16. Что такое пространство ? Функции нескольких переменных, примеры таких

функций, их область определения. Непрерывность таких функций.

17. Дайте определение первых частных производных для функции двух и трёх

переменных. Что такое частные производные старших порядков? Сформулируйте

теорему Шварца о смешанных производных и проиллюстрируйте её на примере

функции .

18. Определите понятие дифференциала для функций двух и трёх переменных.

Сформулируйте теорему о связи приращения и дифференциала для непрерывно

дифференцируемых функций.

19. Объясните, что значит линеаризовать функцию многих переменных. Вычислите

приближённо .

20. Приведите правила дифференцирования сложных функций.

21. Дайте определение и приведите необходимое условие локального экстремума функции

двух переменных. Сформулируйте достаточные условия локального экстремума.

22. Определите понятия градиента и производной по направлению для функций двух и

трёх переменных. Приведите формулы для производной по направлению. Как найти

направление наибольшего роста функции?

23. Определите понятия дифференциального уравнения первого порядка, его частного и

общего решения, интегральной кривой, задачи Коши. Сформулируйте теорему

существования и единственности для такого уравнения.

24. Изложите методы решений ДУ первого порядка: а) с разделяющимися переменными;

б) с однородной правой частью.

Перед ответом по билету необходимо (обязательно!) решить две элементарные задачи на д ифференцирование функции двух переменных и вычисление интегралов. Примерный уровень трудности приводится ниже.

Найти для функций типа:

, , , .

Вычислить: , , , .

Экзаменационный билет содержит два теоретических вопроса. Нужно знать формулировки теорем (без доказательств!).

Необходимым (но не достаточным!) условием успешной сдачи экзамена является знание (на уровне определений) следующих понятий.

1. Формула Тейлора для . 2. Первообразная и неопределённый интеграл.

3. Обе таблицы интегралов. 4. Формула Ньютона-Лейбница.

5. Несобственные интегралы I-ого и II-ого рода.

6. Первые частные производные, дифференциал и градиент функции.

7. Экстремум функции , необходимые и достаточные условия его

существования.

Дата добавления: 2015-10-21