Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Липецкий государственный технический университет

Кафедра физики

и биомедицинской техники

«Утверждаю» Заведующий кафедрой _________________ С.И. Шарапов «____»___________ 2010 г.

ЛЕКЦИЯ № 12

по разделу «Механика»

учебного курса «Общая физика»

для технических специальностей металлургического факультета

(1 семестр изучения физики)

Механические маятники

1. Гармонический осциллятор.

2. Пружинный маятник.

3. Математический маятник.

4. Физический маятник.

Затухающие колебания

5. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы.

6. Декремент затухания.

7. Добротность механической колебательной системы.

Вынужденные колебания

Составил: _____________ Еремеев Б.Н.

Липецк – 2010

12.1. Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называется колебательная система, описываемая уравнением вида:

, (12.1.)

где ,

s – смещение при гармоническом колебании;

ω – круговая (циклическая) частота;

A – амплитуда колебания (максимальное значение s);

φ – начальная фаза колебания в момент времени t = 0;

(ωt +φ) – фаза колебания в момент времени t.

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический, математический маятники и электрический колебательный контур.

12.2. Пружинный маятник

, (12.2)

где k – жесткость пружины

x – перемещение груза.

а) Уравнение движения пружинного

маятника

По второму закону Ньютона: ma = F

или (12.3)

Т.е. пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону

,

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы.

где , тогда , а период: (12.4)

б) Потенциальная энергия пружинного маятника

(12.5)

Учитывая, что ,

Если на маятник действует сила трения, пропорциональная скорости

,

где , а - коэффициент сопротивления, то колебания маятника будут затухающими и закон движения маятника будет иметь вид:

, (12.6) (12.7)

Уравнение затухающих колебаний имеет вид ,

очевидно, что , а . Смысл этих параметров будет рассмотрен позже в разделе «Затухающие колебания».

12.3. Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной l, и колеблющейся под действием силы тяжести без трения.

Хорошей моделью математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

При малых углах отклонения (маятник на большие углы не отклоняется) α можно считать .

Составляющая F силы тяжести P, направленная перпендикулярно линии подвеса, называется возвращающей силой.

Возвращающая сила математического маятника:

.

Поскольку возвращающая сила стремиться уменьшить x:

(12.8)

Уравнение движения:

или (12.9)

Следовательно, движение математического маятника описывается дифференциальным уравнением гармонических колебаний то есть происходит по закону , где (12.10); (12.11)

12.4. Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.

Если физический маятник отклонен от положения равновесия на некоторый угол α, то момент возвращающей силы:

(12.12)

C другой стороны, при малых углах

(12.13)

Где: J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О.

l – расстояние между точкой подвеса и центром масс С маятника.

– возвращающая сила (- т.к. она всегда противоположна направлению увеличения угла α. Следовательно:

(12.14) или (12.15)

Таким образом, при малых колебаниях физический маятник также является гармоническим осциллятором и совершает гармонические колебания с циклической частотой ω. Решением уравнения (12.5) является выражение:

(12.16)

Циклическая частота и период колебаний:

(12.17), (12.18)

Приведенная длина физического маятника:

- уравнение математического маятника

(12.19), тогда:

Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник.

Точка О’ на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на L, называется центром качаний физического маятника.

Применяя теорему Штейнера, получим:

Т.е. приведенная длина L физического маятника всегда больше длины l эквивалентного математического маятника (ОО’ всегда больше ОС).

Точка подвеса О и центр качаний О’ обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

Математический маятник является частным случаем физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в центре масс, а приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний физического маятника.

Далее – затухающие колебания

Затухающие и вынужденные колебания

12.4. Затухающие колебания

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Система называется линейной, если ее параметры не меняются в ходе колебательного процесса. Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями.

а) Дифференциальное уравнение свободных

затухающих колебаний линейной системы

(12.21)

где: x – колеблющаяся величина;

δ = const – коэффициент затухания;

ω₀ – циклическая частота свободных незатухающих

колебаний (при δ = 0).

В случае малых затуханий (δ² << ω²) решение этого уравнения:

,

где: – амплитуда затухающих колебаний.

– цикл. частота затухающих колебаний. (12.22)

- время релаксации – промежуток времени, (12.23)

в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз.

– Затухание нарушает периодичность колебаний.

– Затухающие колебания не являются периодическими.

Однако, если затухание мало, можно условно пользоваться понятием

периода затухающих колебаний:

б) Декремент затухания

Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, то их отношение e^δT – называется декрементом затухания:

(12.25)

{A(t+T) / A(t) = e^-δT }

А натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:

(12.26)

Здесь N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

в) Добротность колебательной системы

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная отношению энергии колебаний к ее убыли за один период, помноженному на 2π:

(12.27)

Т.к. энергия колебаний W(t) пропорциональна квадрату амплитуды A²(t), то

(12.28)

При малых значениях логарифмического декремента затухания

, поэтому, принимая добротность колеб.системы:

(1(12.29)2.29)

12.5. Вынужденные колебания

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация должна изменяться по гармоническому закону:

В случае механических колебаний вынуждающая сила F = F₀ cos ωt.

Закон движения для пружинного маятника будет иметь вид:

(12.30)

где: kx – упругая сила; – тормозящая сила;

F₀ cos ωt – вынуждающая сила.

Общий вид дифференциального уравнения вынужденных колебаний:

, (12.31)

где

Решение этого уравнения (12.31): , где

(12.32)

(12.33)

Конец 12 лекции

---

Дата добавления: 2015-10-21