Белорусский государственный университет

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет

Кафедра энергофизики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторной работе "МЕТОД КОМПЛЕКСНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧБСКИХ СВОЙСТВ ТВЕРДЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ КОМНАТНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ (МЕТОД ИСТОЧНИКА ПОСТОЯННОЙ ТЕПЛОВОЙ МОЩНОСТИ)"

Часть I

Минск 2009

МЕТОД КОМПЛЕКСНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТВЕРДЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ КОМНАТНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ (МЕТОД ИСТОЧНИКА ПОСТОЯННОЙ ТЕПЛОВОЙ МОЩНОСТИ)

§ I. Аналитические основы методов определения

теплофизических свойств. Цель и задачи работы.

Понимая в дальнейшем под теплофизическими свойствами (ТФС) (характеристиками) коэффициенты тепло- и температуропроводности (, ) и удельную теплоемкость с, отметим, что методы их определения основаны на решении дифференциального уравнения теплопроводности параболического типа при заданных краевых условиях. Метод комплексного определения ТФС в узком или широком темпера­турном диапазоне состоит в определении , , с из одного, непрерывно протекающего эксперимента.

Для неподвижной среды и при наличии в ней равномерно распределенных источников удельной мощности (Вт/м³) уравнение теплопроводности можно представить в виде

(1)

где температура

(2)

В общем случае уравнение (1) является нелинейным и его решение может быть получено только приближенными методами. В большинстве случаев теоретической основой методов определения ТФС являются решения (1) при некоторых упрощающих допущениях: свойства не зависят от температуры, источники внутри тела отсутствуют. Тогда (1) принимает более простой вид:

(3)

где коэффициент температуропроводности

(4)

- оператор Лапласа. Однако и решение (3) может быть достаточно сложным, особенно если температура зависит от всех трех координат и времени (зависимость (2)). Поэтому очень часто (это имеет свои основания) полагается, что температура зависит только от одной координаты и времени. В декартовой системе координат одномерное уравнение (3) можно записать так:

(5)

Поскольку теоретической основой методов определения ТФС являются решения уравнения теплопроводности, то в этом аспекте задача аналогична соответствующим задачам математической физики, аппарат которой широко используется в теории теплопроводности. Как известно, уравнения вида (1), (3) описывают целый класс явлений, имеющих самую различную природу. Функция (2) может быть не только температурой, что и подчеркивается в методах математической физики. Рассмотрим основные этапы, сопутствующие разработке того или иного метода определения ТФС. Выбор метода определяется объектом исследований - твердое тело, жидкость, газ, требуемой длительностью эксперимента и его задачей - определение свойств в узком или широком температурном интервале. Кроме того, могут налагаться дополнительные условия (высокие давления, фазовые переходы, движение среды и т.д.). Все эти факторы определяют не только постановку задачи, но и технические средства реализации этой задачи. Решив (3) при заданных краевых условиях (совокупность начального и граничного условия), получаем некоторую функциональную зависимость (2), которая наряду с независимыми переменными содержит параметры, отражающие свойства объекта и его взаимодействие с окружающей средой. Решения задач теплопроводности могут быть представлены в различной форме, в том числе и степенными рядами. Отыскание зависимости (2) (прямая задача теории теплопроводности) - первый этап построения метода определения ТФС. Следующий этап - анализ решения: оценка сходимости рядов, особенности развития температурных полей и т.д.

В зависимости от вида заданных граничных условий весь процесс нагрева можно разделить на несколько стадий, например, начальную (чисто нестационарную), стадию установившегося (регулярного) режима и стационарную стадию. В соответствии с этим и методы определения ТФС делятся на чисто нестационарные, регулярные и стационарные. Каждая из указанных групп может быть реализована в так называемом абсолютном и сравнительном варианте. В первом случае тепловой поток является величиной измеряемой, во втором поток исключается за счет использования эталона - материала с известными свойствами. Классифицируя методы определения ТФС по характеру изменения температуры во времени, не следует забывать о существовании специфической терминологии, конкретизирующей отдельные особенности метода при данном виде граничных условий: метод источника (зонда) постоянной мощности, метод температурных волн, метод нагретой нити и т.д. Время установления того или иного теплового режима определяется свойствами и размерами объекта исследований (в терминах теории подобия - обобщенным временем, числом Фурье ). Длительность эксперимента зависит не только от характера взаимодействия объекта с окружающей средой, но также и от стадии процесса, используемого для расчетов. Наиболее "быстро действующими" являются методы, основанные на использовании начальной стадии нагрева, самыми длительными - методы стационарного режима.

Оценка числа , при котором начинается та или иная стадия теплообмена - важный элемент анализа общего решения. Не менее важным является получение из решения задачи необходимых расчетных соотношений для вычисления ТФС (обратная задача тепло­проводности). Только для установившихся (регулярных) тепловых режимов выводятся простые формулы для вычисления этих свойств. Чисто нестационарные методы, в которых используется начальная стадия теплового процесса, как правило, основываются на использовании предварительно составленных таблиц и графиков. Возможности современной вычислительной техники во многом упрощают решение этой задачи. После разработки теоретических основ метода начинается его практическая реализация - создание соответствующей экспериментальной установки. Основное требование, предъявляемое к установке - обеспечить режим эксперимента, при котором теоретически постулированные условия теплообмена выполняются с наибольшей точностью. В этом случае удается существенно уменьшить систематическую ошибку определения ТФС. Вообще, в практике теплофизических исследований корректный расчет систематических погрешностей - задача чрезвычайно сложная, требующая иногда более сложных расчетов и решений, чем при разработке основ самого метода. Одной из причин этого является хаотичность движения тепловых потоков, их неконтролируемая «растекаемость», влияние контактных термических сопротивлений и т.п. В этом смысле перспективными являются методы "неразрушающих" измерений: оптические и акустические методы измерения температуры, лазерные источники тепловых потоков. Однако аналитическая основа и этих методов прежняя - феноменологическая теория теплопроводности. Не уменьшаются при этом и трудности определения тепловых потоков. Следует помнить, что уже при самой постановке задачи делается целый ряд допущений, идеализирующих объект исследований.

В данной работе указаны основные этапы решения несложной задачи теплопроводности при комбинированных граничных условиях (сочетание граничного условия первого и второго рода), приведены окончательные решения и показаны пути их реализации.

Цель настоящей работы - развить и закрепить навыки решения и анализа аналитических задач теплопроводности, показать многообразие расчетных вариантов, вытекающих из этих решений, практически реализовать определение ТФС твердых теплоизоляционных материалов различными методами, сформулировать задачи, более полно учитывающие условия эксперимента.

Отступая от традиционных методов изложения, при которых четко указывается порядок эксперимента и вычислений, авторы настоящей разработки полагают, что выполнение лабораторной работы в полном объеме возможно только при углубленном изучении текста инструкции и дополнительной самостоятельной работе.

§ 2. Теоретические основы метода плоского источника постоянной тепловой мощности (зонда постоянной мощности).

Аналитическая постановка задачи соответствует цели исследований теплоизоляторов в форме плоскопараллельных пластинок. Формулировка соответствующих задач не отражает свойства материалов - плохой или хороший проводник тепла. Между тем, этот фактор существенно влияет на систематическую ошибку метода. При исследовании, например, металлов, при прочих равных условиях систематическая погрешность за счет контактных термических сопротивлений может быть чрезвычайно велика. В качестве первого и основного приближения метода рассмотрим задачу теплопроводности в следующей формулировке. Дана неограниченная пластина толщиной 2h (начало координат в центре), имеющая начальную температуру t₀=const.

В некоторый момент времени в центре пластины начинает действовать тепловой поток постоянной мощности, а ее основания принимают температуру Т_с = const. Таким образом, требуется решить уравнение (5) при краевых условиях вида

(6)

(7)

(8)

где q (Вт/м²) - удельный тепловой поток.

Решение задачи при условиях (6)-(8) позволяет реализовать самые разнообразные методы определения ТФС. Если источник отсутствует, т.е. q=0, то имеем задачу для неограниченной пластины при граничном условии первого рода, из решения которой можно найти удобные расчетные соотношения для определения коэффициента температуропроводности; при и Т_С ==Т₀ - задачу для полуограниченного тела (полупространства), дающую возможность реализовать чисто нестационарные методы комплексного определения ТФС. Рассмотрим основные этапы решения задачи (6) - (7) при упрощенном условии (8), когда

(9)

т.е. основания пластины поддерживаются при температуре, равной начальной. Решение задачи будем искать методом преобразования Лапласа:

(10)

Применяя (10) к (5), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для изображения

(11)

При этом оказалось использованным начальное условие (6).

Преобразование граничных условий (7), (9) приводит к соотношениям:

(12)

(13)

Так как (11) - обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, то его решение ищется в обычной форме:

(14)

Используя (12) - (I3), находим постоянные в (14), а следовательно - решение задачи для изображения. Это решение можно записать в виде:

(15)

Выражение (15) есть отношение двух полиномов, удовлетворяющих теореме разложения. Корни полинома находятся из соотношения

(16)

Следовательно, (16) дает:

1. S=0 (простой корень)

2. бесчисленное множество корней, определяемых из уравнения:

(17)

Поэтому

(18)

Оригинал, т.е. решение задачи, находим, применяя к (15) обратное преобразование Лапласа

(19)

Теорема разложения (19) указывает последовательность выполнения операций для получения окончательного решения задачи. Полагая, что необходимые выкладки будут проведены самостоятельно, запишем решение задачи в виде:

(20)

В целом (20) отражает нестационарный процесс изменения температуры в пластине и включает стационарную и чисто нестационарную составляющие (соответственно первое и второе слагаемые (20)). Перепишем (20) в виде

(21)

Теоретически стационарный режим наступает при (практически при Fo 2). Тогда:

(22)

Ряд в (21) быстро сходящийся, т.к.

Расчеты показывают, что при Fo 2 все члены ряда пренебрежимо малы по сравнению с первым его членом. Поэтому (21) можно переписать в виде:

(23)

Следовательно, температура в любой точке пластины может быть определена на основе простого соотношения (23), пpичeм

(24)

Разность (24) при некотором, вполне определенном, значении описывается простой экспонентой. Такой тепловой режим называется регулярным. При отсутствии локальных или объемных источников (см., например, формулировку задачи при условии (6), (8)) стационарная составляющая равна нулю и закономерности регулярного режима упрощаются.

Основная особенность регулярного режима выявляется при преобразовании (24). Логарифмируя это выражение, найдем

(25)

т.е. в графическом представлении (25) как функции времени эта зависимость - прямая линия, наклон которой определяется теплофизическими свойствами и интенсивностью теплового воздействия. Если записать (25) для двух моментов времени, то путем несложных преобразований (выполнить самостоятельно) можно найти, что величина, называемая темпом изменения температуры в регулярной режиме, постоянна, т.е.:

(26)

Таким образом, характерные особенности регулярного режима при наличии локального источника тепла представляются соотношениями (25)-(26). Коэффициент температуропроводности находится из (26):

(27)

Величину m очень просто можно найти из графика

(28)

Отметим, что темп изменения температуры не зависит от координаты, причем рассмотренные закономерности справедливы и для тел другой формы. Аналогичные формулы будут отличаться только коэффициентами.

Измеряя разность температур между центром пластины (х=0) и ее основанием, из (22) находим:

(29)

Формулировка задачи и рассмотренные выкладки определяют схему эксперимента и методику обработки экспериментальных данных. Очевидно, что экспериментальная установка должна обеспечивать выполнение условий (6), (7), (9) на протяжении всего хода эксперимента, а также регистрацию зависимости (21), точнее, зависимости

(30)

Экспериментальным критерием вступления системы в регулярный режим является прямолинейность зависимости (28), которая строится по данным (30). В начальной стадии процесса (28) - некоторая криволинейная функция, монотонно переходящая в прямую.

Таким образом, рассмотренная методика комплексного определения ТФС предусматривает использование регулярной и стационарной стадии теплового процесса. Без знания стационарной составляющей нельзя определить ни коэффициент теплопроводности, ни температуропроводность. Основное достоинство метода - простота реализации, надежность и высокая точность. Недостаток – длительность эксперимента, необходимость знания стационарной составляющей, а также неиспользование начальной стадии нагрева. Для исключения стационарной составляющей можно найти скорость нагрева. Тогда, используя описанные приемы, найдем, что

(31)

Знание скорости нагрева позволяет непосредственно определить теплоемкость образца.

Решение задачи в форме (20) неудобно для расчетов в начальной стадии (число Fo мало), т.к. для расчета температуры с приемлемой точностью необходимо брать очень большое количество членов ряда. Для практического использования начальной стадии представим решение задачи в иной форме. Операционные методы дают такую возможность. Обратимся снова к решению (15) для изображения. Разложим в ряд:

Тогда (15) можно представить в виде:

(32)

Для перехода от изображения (32) к оригиналу воспользуемся таблицами из которых следует, что:

(33)

где , -- интеграл вероятностей и его дополнение, причем , , , ,

С учетом (33) решение задачи может быть представлено в виде:

(34)

Где - локальное число Фурье, Положим . Тогда второй член (34) и все члены ряда обращаются в ноль. Следовательно, решение нашей задачи можно записать в виде:

(35)

что совпадает с известным ранением для полуограниченного тела при q=const [1]. Соотношение (35) может быть использовано для определения тепловой активности

(36)

характеризующей аккумуляционную тепловую способность тела.

Действительно, при x=0 (35) можно записать в виде

(37)

Графическое изображение этой зависимости в координатах представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат с тангенсом угла наклона к оси абсцисс:

(38)

Из (38) и (37):

(39)

Коэффициент температуропроводности может быть определен по времени запаздывания, т.е. времени, в течение которого температура в некотором сечении x станет такой же, как и температура на нагревателе в момент времени . Необходимые расчетные соотношения находятся из равенства . Температуропроводность можно также найти по отношению температур в каких-либо двух точках образца с использованием выражения (35).

§3. Экспериментальная установка, комплексное определение теплофизических свойств.

Схема установки показана на рис.1. Основным ее элементом является калориметрическая ячейка, состоящая из двух пустотелых

плоскопараллельных медных блоков, которые могут перемещаться в вертикальной плоскости по направляющим струбцины. Испытуемый образец 1 изготавливается в виде двух плоскопараллельных квадратных или круглых пластинок, соотношение между линейными размерами образца должно удовлетворять неравенству

(40)

В этом случае изменение температуры в центре образца с высокой точностью может быть описано одномерным решением, рассмотренным в § 2. Блоки соединяются последовательно и подключаются к термостату (на рис.1 термостат не показан), с помощью которого через полости блоков прокачивается вода постоянной температуры. Между пластинками помещается малоинерционный плоский (круглый или квадратный) нагреватель 2, форма которого определяется формой образца. Система образец - нагреватель вносится в пространство между блоками и сжимается их плоскостями. Тщательная обработка поверхностей образцов и блоков обеспечивает хороший тепловой контакт и уменьшает побочные термические сопротивления, а, следовательно, - систематическую ошибку измерений. В качестве датчика, (преобразователя) температуры используется дифференциальная хромель-алюмелевая термопара диаметром 0,2 мм, один спай которой помещается в центре образца, а второй зачеканивается на поверхности одного из блоков. Свободные концы термопары подключаются к самописцу или АЦП. Нагреватель подключается к стабилизированому источнику питания по схеме, обеспечивающей измерение подводимой к нему мощности (источник и приборы для измерения мощности на рис.1 не показаны).

После осмотра калориметрической системы необходимо изучить приборы, которыми оснащена установка: термостат, самописец и сопряженный с ним усилитель, приборы для измерения электрической мощности, стабилизированный источник питания. Обратите внимание на подготовку их к работе, пределы измерений, включение, наличие заземления и т.д. Научитесь извлекать и заправлять диаграммную ленту самописца, убедитесь, что дифференциальная термопара подключена к усилителю. Поскольку задача теплопроводности решена в предположении, что ТФС не зависят от температуры, что справедливо при малых температурных перепадах, последние должны быть порядка 5 - 10°С. Используемая в опытах хромель-алюмелевая термопара при разности температур 10°С создаст тepмoЭДС 0,4 мВ. Исходя из этих данных, переключатель усилителя должен быть установлен в положение, соответствующее оптимальному режиму эксперимента. Температурный перепад в образце зависит от величины мощности, подводимой к нагревателю. Собрав схему для измерения электрической мощности с помощью амперметра и вольтметра, включите стабилизированный источник питания (плоский нагреватель в образце должен быть первоначально отключен от источника), самописец и усилитель.

Так как испытуемый образец находится в тепловом равновесии со средой комнатной температуры, то на ленте самописца будет прочерчиваться прямая, соответствующая нулевой разности температур между центром пластины и ее основанием. Затем включается термостат, причем уровень температуры, устанавливаемый с помощью контактного термометра, должен отличаться от комнатной температуры на величину порядка 10 С. Нагревательные элементы термостата окажутся включенными и температура воды, прокачиваемой через калориметрические блоки, начнет повышаться. Включение термостата - начало эксперимента. Так как один из спаев дифференциальной термопары контактирует с поверхностью блока, то возникшая и изменяющаяся во времени разность температур приведет к созданию на входе усилителя соответственно изменяющейся термоЭДС. Эти изменения и будут отражены на ленте самописца. Стабилизация температуры на основаниях пластины и по ее объему, как того требует условие задачи, может быть осуществлена и на уровне комнатной температуры. Для этого необходимо отключить нагреватели термостата. Однако предлагаемый режим термостатирования имеет свои преимущества, более того, он может быть полезно использован, по крайней мере, в двух вариантах исследований - для оценки степени одномерности тепловых потоков и для определения коэффициента температуропроводности. Подчеркнем, что в основу метода положены решения для неограниченной пластины и что такая модель - удобная математическая абстракция. При задании на основаниях пластины температуры более высокой, чем комнатная, начнется естественный процесс выравнивания температуры по ее объему. Вместе с тем, боковая поверхность образца обменивается теплом с окружающей средой комнатной температуры (условие конвективного теплообмена). Таким образом, имеет место теплообмен объекта со средами, имеющими постоянные, но различные по величине температуры. В данном случае теплообмен боковой поверхности с окружающей средой - фактор, искажающий требуемую теорией одномерность в области измерений (центр образца, куда помещен один из спаев дифференциальной термопары). Достаточно надежным экспериментальным критерием одномерности тепловых потоков является отсутствие разности температур между центром пластины и ее основанием в стационарном режиме, время наступления которого зависит от размеров пластины и ее ТФС. Соотношения между линейными размерами пластины, приведенные в инструкции и обеспечивающие одномерность, получены из решения задачи теплопроводности при теплообмене ограниченного образца со средами различных температур. Время установления термодинамического равновесия в образце при его термостатировании исчисляется десятками минут. Хотя результаты последующих измерений в регулярном режиме не зависят от начального распределения температуры в образце, по соображениям, изложенным выше, необходимо дождаться выхода системы на стационар, критерием этого будут не изменяющиеся во времени показания самописца. Кроме того, расчеты по модели "полуограниченное тело" требуют высокой степени равномерности начального распределения температуры. Это время должно быть использовано для подготовки проведения основной части работы - определения ТФС. Прежде всего, рассчитайте (ориентировочно) величину мощности, которая обеспечит требуемые температурные перепады, подумайте, как аналитически сформулировать задачу теплопроводности для пластины в случае отсутствия источника и задании на ее основаниях постоянной, но отличной от начальной температуры. Начните решение этой задачи любым известным вам способом. Решение задачи необходимо для реализации упоминавшегося метода определения температуропроводности в процессе термостатирования образца.

После выравнивания температуры по объему образца подключите нагреватель к источнику и с помощью регулятора установите расчетную мощность, которая в ходе эксперимента должна быть постоянной. На ленте самописца будет вычерчиваться кривая, ход которой соответствует решению (21).

Точность последующих расчетов зависит от качества этой кривой. Эксперимент заканчивается после выхода системы на стационарный режим (на ленте самописца - прямая, параллельная оси времени). Выключите источник напряжения, отсоедините от усилителя термопару, извлеките из калориметрической ячейки образец с нагревателем (усилитель с самописцем и термостат не отключаются).

Вторая часть работы - определение коэффициента температуропроводности в режиме нагревания (можно - при охлаждении). Объектом исследований является плоскопараллельный образец с заранее смонтированной дифференциальной термопарой (один спай - в центре, другой - на основании). Не внося образец в пространство между блоками, подключите (соблюдая полярность) свободные концы дифференциальной термопары к усилителю. На ленте самописца будет прочерчиваться линия, соответствующая приблизительно нулевой разности температур. После этого поместите образец между блоками и с помощью струбцины сожмите его. В процессе выравнивания температуры по объему образца на ленте самописца будет регистрироваться зависимость

(41)

Эксперимент заканчивается после наступления стационарного режима. В отличие от предыдущего опыта с источником, стационарная составляющая в этом случае будет приблизительно равна нулю. После окончания эксперимента выключить все приборы и извлечь диаграммную ленту, отделив от нее часть с термограммами. Записать скорость протяжки ленты.

Обработка экспериментальных данных проводится в соответствии с теорией метода (см. § 2). Для расчета используются данные, полученные в ходе эксперимента: площадь пластинки, полутолщина, температурный перепад в стационарном режиме, электрическая мощность, питающая нагреватель, удельный тепловой поток

где Р [Вт] - мощность, S [ м² ] - площадь нагревателя, равная площади основания пластинки, зависимость вида (41).

Эти и расчетные данные должны быть отражены в протоколе работы.

По данным эксперимента определить коэффициент теплопроводности в стационарном режиме. Обработать термограммы и построить графики зависимости логарифмов температурных перепадов при наличии источника и без него (см. § 2). Определить из этих графиков темп изменения температуры и рассчитать коэффициенты температуропроводности, пользуясь теорией регулярного режима. При отсутствии источника из решения дополнительной задачи по методике § 2 можно получить формулу

,

где

Рассчитав тепло- и температуропроводность, вычислить теплоемкость. Используя начальный участок кривой нагрева, найти тепловую активность (модель полуограниченного тела). Обычно, реализуя практически эту модель, берут параллелепипед, для которого соотношение (40) - больше единицы. В наших опытах используется тонкая пластинка. Однако в этом случае начальная стадия изменения температуры будет такой же, как и в полупространстве. Как оценить время, в течение которого можно использовать соотношение (37)? Экспериментальный критерий может быть найден из этого же соотношения:

(42)

или (43) -прямая линия.

Используя термограмму, построить зависимость (43). Найти аналитическое выражение для скорости нагрева в плоскости нагревателя. Какую характеристику можно найти, зная эту скорость? Пользуясь приемами графического дифференцирования, найти скорость нагрева (для первого эксперимента) в различные моменты времени. Рассчитать температуропроводность по формуле (31). Используя ЭВМ, построить теоретическую зависимость (21) безразмерной температуры

для точки x=0.

В выражении (44) - критерий Кирпичева. Представить выражение (35) в критериальной форме и на этом же графике построить зависимость, аналогичную (44). В практике теплофизических исследований систематическую погрешность определения ТФС делят на погрешность методическую и инструментальную (приборную). Общая погрешность метода - сумма этих двух частей. Величина последней определяется классом измерительной аппаратуры. Вычисление этой части погрешности проводится по хорошо известной методике. Методическая ошибка - следствие несоответствия реальных условий эксперимента теоретически постулированным условиям. Некоторые ее источники были указаны в настоящей инструкции. Количественные расчеты не могут быть проведены в рамках настоящей работы и должны основываться на специальных исследованиях. Поэтому ограничьтесь расчетом инструментальной погрешности определения коэффициентов тепло- и температуропроводности.

Контрольные вопросы

1. Почему уравнение вида (1) в общем случае нелинейно, как это показать?

2. Что такое стационарный режим и каковы его особенности?

3. Влияет ли теплоемкость нагревателя на точность определения теплопроводности?

4. Из каких соображений в экспериментальной установке использована симметричная схема?

5. Как распределится тепловой поток, если пластинки, образующие образец, будут иметь различную толщину?

6. Как учесть собственную теплоемкость нагревателя в формулировке задачи (5)-(7), (9)?

7. Что не учтено при вычислении погрешности по формуле (29)?

8. Что такое регулярный режим, каковы основные его особенности?

9. Как на основе (21) рассчитать время его наступления, связаны ли эти оценки со сходимостью рядов (2I)?

10. Какие другие методы определения температуропроводности могут быть использованы на основе решения (2I)?

Литература

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М., “Высшая школа”. I967.

2. Шашков А.Г. и др. Методы определения теплопроводности и температуропроводности. М., "Энергия". 1973.

Дата добавления: 2015-10-21