Плоская электромагнитная волна с амплитудой и частотой f распространяется в положительном направлении оси z в бесконечной среде. Электрическое поле поляризовано по оси x. Параметры среды где .

Задача 1 (3.1 б)

Плоская электромагнитная волна с амплитудой и частотой f распространяется в положительном направлении оси z в бесконечной среде. Электрическое поле поляризовано по оси x. Параметры среды где .

Записать полное пространственно-временное представление для действительного вектора напряжённости электрического поля, предварительно вычислив коэффициенты затухания и фазы . Используя MATLAB, построить зависимости фазовой и групповой скоростей от частоты в диапазоне 30 < f < 3000 МГц.

Здесь

Решение:

Решив волновое уравнение, мы получили для мгновенных значений вектора напряженности поля плоской однородной волны следующее выражение:

где коэффициент затухания волны , а коэффициент фазы . В свою очередь они равны

Здесь

тангенс угла диэлектрических потерь;

постоянная распространения среды без потерь.

Комплексная постоянная распространения . Соответственно,

Далее запишем выражения для фазовой и групповой скоростей:

При помощи MATLAB строим зависимости фазовой и групповой скоростей от частоты в диапазоне .

Текст программы:

%Дано:

eps0 = 1e-9/(36*pi);

mu0 = 4*pi*1e-7;

c = 3e8;

eps = 8;

mu = 1;

sigma = 10;

%Абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды:

epsa = eps0*eps;

mua = mu0*mu;

f = 30e6: 10e6: 3e9;

w = 2.* pi.* f;

%Выражения для фазовой и групповой скоростей:

tg2 = (sigma./(w.* epsa)).^2;

comp1 = sqrt(1/(epsa*mua));

comp2 = sqrt(1+tg2);

comp3 = 1+comp2;

Vph = comp1.*sqrt(2)./sqrt(comp3);

Vgr = sqrt(2).*comp1.*comp2.*sqrt(comp3)./(comp2.*comp3-0.5.*tg2);

%Построение графиков:

figure('Color', 'w');

plot (f./1e9, Vph./c, 'b-', f./1e9, Vgr./c, 'r:');

grid on;

title ('Зависимости фазовой и групповой скоростей от частоты');

xlabel ('f, ГГц');

ylabel ('V/c');

legend ('Фазовая скорость',...

'Групповая скорость');

legend ('location', 'NorthWest');

Плоская электромагнитная волна в диэлектрике с потерями ()

В этом случае . Соответственно,

Для того, чтобы выполнялось условие , будем строить графики для высоких частот. В этом случае текст программы будет выглядеть так:

%Дано:

eps0 = 1e-9/(36*pi);

mu0 = 4*pi*1e-7;

c = 3e8;

eps = 8;

mu = 1;

sigma = 10;

%Абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды:

epsa = eps0*eps;

mua = mu0*mu;

f = 30e6: 10e9: 3000e9;

w = 2.* pi.* f;

%Выражения для фазовой и групповой скоростей:

Vph = sqrt(1/(epsa*mua));

Vgr = sqrt(1/(epsa*mua));

%Построение графиков:

figure('Color', 'w');

plot (f./1e9, Vph./c, 'b-', f./1e9, Vgr./c, 'r-');

grid on;

ylim ([0, 0.4]);

title ('Зависимости фазовой и групповой скоростей от частоты');

xlabel ('f, ГГц');

ylabel ('V/с');

Плоская электромагнитная волна в проводнике ()

В этом случае . Соответственно,

Для того, чтобы выполнялось условие , будем строить графики для низких частот. В этом случае текст программы будет выглядеть так:

%Дано:

eps0 = 1e-9/(36*pi);

mu0 = 4*pi*1e-7;

c = 3e8;

eps = 8;

mu = 1;

sigma = 10;

%Абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды:

epsa = eps0*eps;

mua = mu0*mu;

f = 30e3: 10e3: 3e9;

w = 2.* pi.* f;

%Выражения для фазовой и групповой скоростей:

Vph = sqrt(2.*w./(mua.*sigma));

Vgr = sqrt(8.*w./(mua.*sigma));

%Построение графиков:

figure('Color', 'w');

plot (f./1e9, Vph./c, 'b-', f./1e9, Vgr./c, 'r:');

grid on;

title ('Зависимости фазовой и групповой скоростей от частоты');

xlabel ('f, ГГц');

ylabel ('V/c');

legend ('Фазовая скорость',...

'Групповая скорость');

legend ('location', 'NorthWest');

Задача 2 (3.2 б)

Плоская электромагнитная волна с амплитудой и частотой f распространяется в положительном направлении оси z в бесконечной среде. Электрическое поле поляризовано по оси x. Параметры среды где .

Рассчитать скин-слой для заданной удельной проводимости . Записать пространственное представление для действительной амплитуды электрического поля плоской волны, распространяющейся в заданной среде в момент времени , предварительно вычислив коэффициенты затухания и фазы . Используя MATLAB, построить зависимость .

Здесь

Решение:

Волна затухает в раз от начальной амплитуды на расстоянии скин-слоя .

При вычислении коэффициентов затухания и фазы используем низкочастотную аппроксимацию – , так как, действительно,

. В этом случае

Используя MATLAB, построим зависимость .

Текст программы:

% Входные данные:

mu = 4*pi*1e-7;

E0 = 10;

sigma = 4e7;

f = 3e9;

z = 0: 0.01e-6: 14e-6;

% Нахождение коэффициентов:

alpha = sqrt(pi*f*mu*sigma);

beta = sqrt(pi*f*mu*sigma);

% Построение графика:

figure ('color','w');

Ex = E0.*exp(-alpha.*z).*cos(-beta.*z);

plot(z*1e6, Ex, 'r-');

grid on;

xlabel('z, мкм');

ylabel('Ex, В/м');

Задача 3 (4.1 б)

Найти и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля между двумя концентрическими цилиндрами (в предположении бесконечно протяженной структуры). Граничные условия: Здесь

Решение:

Граничные условия для электростатического потенциала на поверхности S проводника имеют вид

где нормаль n внешняя по отношению к проводящей среде. При наличии совокупности проводящих тел распределение на каждом из них неизвестно и краевые задачи формулируются как задача Дирихле:

В нашей задаче мы имеем дело с двумя концентрическими цилиндрами, поэтому будем решать уравнение в циллиндрической системе координат:

по причине симметрии.

Таким образом, получим

Решение этого уравнения имеет вид:

Константы найдем, используя граничные условия:

Решив систему, мы получим:

Тогда для потенциал электростатического поля равен:

Используя MATLAB строим распределение скалярного потенциала электростатического поля между двумя концентрическими цилиндрами.

Текст программы:

% Входные данные:

a = 0.02;

b = 0.04;

Uo = 6;

p = a: 1e-3: b;

% Построение графика:

U = Uo.*log(p./b)./log(a./b);

figure ('color', 'w');

plot (p, U, 'r-');

grid on;

xlabel ('\rho, м');

ylabel ('U, В');

Задача 4 (4.4 б)

Вычислить методом конечных разностей и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля u между двумя бесконечными плоскостями при заданных значениях на них. Электрические заряды в пространстве между указанными поверхностями отсутствуют. Сравнить с аналитическим решением.

Здесь , шаг дискретизации по оси x = 0.2 м

Решение:

Краевая задача формулируется как одномерная задача Дирихле, которая дискретизируется в форме ячеек, содержащих конечное число узлов. Величина скалярного потенциала электростатического поля u в каждом узле равна

Используя это выражение и учитывая, что , для каждого узла, соответствующего заданному шагу дискретизации , запишем выражение:

Составим систему относительно :

Теперь запишем систему в матричном виде:

Используя MATLAB, решаем матричное уравнение, что с учётом граничных условий даёт , и строим распределение скалярного потенциала электростатического поля между поверхностями.

Текст программы:

% Входные данные:

size = 4;

h = 1/(size+1);

x = 0:h:1;

% Решение матричного уравнения a*U = b:

a = [1, -0.5, 0, 0;

0.5, -1, 0.5, 0;

0, 0.5, -1, 0.5

0, 0, -0.5, 1];

b = [0, 0, 0, 1.5].';

A = inv(a);

U = A* b;

% По краям матрицы добавляем данные из граничных условий

U_all = [0, U.', 3];

% Построение графика:

figure ('color', 'w');

plot(x, U_all, 'r-', x, U_all, 'ko');

grid on;

title ('Распределение скалярного потенциала электростатического поля между поверхностями');

xlabel('x');

ylabel('U');

Дата добавления: 2015-10-21