1.Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

.Матрицей размера mxn наз-ся прямоуг.таблица чисел,сост.из n-строк и m-столбцов.Эл-ты м-цы – числа,составл.м-цу. М-цы обознач.прописными(загл.)б-ми лат.алфав.,напр.:А,В,С,..,а для обознач.эл-тов м-цы исп.строч.буквы с двойной индексацией:а_ij,где i-номер строки, j – номер ст-ца. М-ца наз-ся невырожденной (неособенной, если |A|≠0. При |А|=0 – вырожденная (особенная) м-ца.

Виды м-цы: м-ца(вектор)столбец – м-ца,сост.из одного столбца; м-ца(вектор)строка – м-ца,сост.из одной строки; квадр.м-ца n-го порядка – м-ца,ч-ло стр.которой=ч-лу ст-в и =n.; диагонал. – все недиагонал.эл-ты квадр.м-цы равны 0.; единич. (обознач.Е) – все диагонал.эл-ты диагонал.м-цы =1; нулевая – м-ца,любого размера, если все её эл-ты равны 0.

Трансп.м-цы – это смена местами строк и ст-в с сох-м порядка следования эл-тов. А – исходная, А’(А^т)-транспонир. Если А м-ца имеет размер mxn, то А’ м-ца – nxm.

Равенство м-ц:две м-цы одинак.размера наз.равными,если они равны поэлементно.

Сложение м-ц: (одинак.размера)Складываем соотв.эл-ты.

Умножение на число: все эл-ты м-цы умнож.на это число. (Общ.множитель всех эл-тов выносится за знак.м-цы).

Умножение 2-х м-ц: произведение м-цы А_mxn на м-цу В_nxp наз-ся м-ца С_mxp,каждый эл-т которой равен сумме произведений эл-в i-строки на соотв.эл. j – столбца. Перемножать можно только такие м-цы,когда число столбцов 1-ой м-цы равно числу строк 2-й м-цы. Произведение м-ц не коммуникативно. 2х3 3х7 не = 3х7 2х3,т.к. 7 не = 2.

Возвед.квадр.м-цы в степень. (только квадр.) А^m = А_* А_*..А. m раз.

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Линейная зависимость и независ.строк м-цы.Расм.прямоуг.м-цы А_mxn

l₁=(a₁₁,a₁₂,a₁₃,a₁₄,..,a_1n) – 1-я строка; l2=(a₂₁,a₂₂,a₂₃,a₂₄,..,a_2n) – 2-я строка.

l_m=(a_m,a_m2,a_m3,a_m4,..,a_mn) Линейной комбинацией строк м-цы наз-ся выраж. λ– «лямбда».

λ_{1 *}k₁+ λ₂k₂+… + λ _m_-1k_m_-1+ λ _mk_m, где все λ -это числа.

Опред.:строки l₁,l₂,..,l_m – линейно независимые,если их линейная комбинация равна нулевой строке,когда все числа λ =0 (λ₁=0, λ₂=0, λ₃=0,.. λ _m=0). Если опред-ль А не=0, то строки линейно независимы.

Опр:строки l₁,l₂,l₃,..l_m_-1,l_m – лин.завис.,если их лин.комбинация = нулевой строке только, когда хотя бы одно из чисел λ₁, λ₂, λ _m ≠0.

ТЕОР.о ранге м-цы. Ранг м-цы равен максимальному числу её лин.независ.строк или ст-в м-цы, через которые линейно выражаются все остальные её строки (ст-цы).

Пусть м-ца А размера mxn имеет ранг r(r≤min(m;n)). Это означает,что сущ-ет отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий нулевой минор r-го порядка будет наз-ть базисным минором. Пусть для определённости это минор

|a₁₁ a₁₂... a₁_r|

|a₂₁ a₂₂... a₂_r|

∆= |... | ≠0.

|a_r₁ a_r₂... a_rr|

Тогда строки м-цы e1,e2,...,er линейно независимы. Предположим противное,т.е.одна из этих строк,напр. еr, явл-ся лин-й комбинацией остальных:

e_r=λ₁e₁+λ₂e₂+...+λ_r_-1e_r_-1.

Вычтем из эл-тов r-й строки эл-ты 1-й строки,умноженные на λ₁, эл-ты 2-й строки, умноженные на λ₂, и т.д., наконец,эл-ты (r-1)-й строки,умнож-е на λ_r_-1. При таких преобразованиях м-цы её опред-ль ∆ не изм-ся, но т.к. теперь r-я строка будет состоять из одних нулей, то ∆=0 – противоречие, и наше предполож.неверно.

10. 10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А ^–1 В).

Рассм.с-ма лин.ур.,в кот.ч-ло ур-ний = ч-лу неизв-х. Тогда м-ца с-мы (сост.из коэф-в при неизв-х,когда в 1-м ст-це коэф-та Х₁, во 2-м коэф-та Х₂ и т.д.) квадратная.

Если м-ца с-мы невырожденная, то реш.с-мы ст-ц неизв-х

Х=А^-1В, где В – ст-ц своб.чл-в.

Для получ.реш-я с-мы (ф.1) при m=n в общ.виде предположим, что квадр.м-ца с-мы А_nxn невырожд.,т.е. её опред-ль |A|не=0. В этом сл-е сущ-ет обр.м-ца А^-1.

Умножая слева обе части матричного равенства (ф.5) на м-цу А^-1,получим А^-1(АХ)= А^-1В. Т.к. А^-1(АХ)=(А^-1А)Х=ЕХ=Х, то реш-м с-мы методом обр.м-цы будет м-ца-столбец Х= А^-1В.

А_mxn*Х_nx1=В_mx1 <=> (ф.1)

(a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+ а_nx_n=b₁

(a₂₁x₁+a₂₁x₂+… +a_2nx_n=b₂

(….

(а_mx₁+а_2mx₂+… +а_mnх_n=b_m

(а₁₁х₁+ а₁₂х₂ +…+а₁_jx_j+...+а₁_nx_n=b₁; (ф.5)

(а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а₂_jx_j+…+а₂_nx_n=b₂;

(...........

(а_i₁х₁+а_i₂х₂+…+a_ijx_j+…+a_inx_n=b_i;

(...........

(а_m₁х₁+а_m₂х₂+…+а_mjx_j +…+а_mnx_n=b_m.

2. Определители 2, 3 и n -го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Опред.1-го порядка (м-цы 1-го порядка) наз-ся эл-т этой м-цы а₁₁. Е=(1),|E| = detE=1

A=(0),|A|=0.

Опред.2пор.наз-ся ч-ло,кот.считается след.образом |A|=a_11*a₂₂ – a_12*a_21.

Опред.3пор.наз-ся ч-ло,кот.наход.по ф-ле (когда вычёркивают по пересечению..)

Теор.Лапласа(о разлож.опред.) Опред.квадр.м-цы равен сумме произведений эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца на их алгебраич.дополнения.

_^3= a_11*A₁₁ + a_12*A₁₂ + a_13*A₁₃ (_^3= a_{11 *}M₁₁ – a_{12 *}M₁₂ + a_{13 *}M₁₃)

Замечание:Для _^-ной м-цы (то есть такой,в кот.под эл-ми гл.диагонали-нули)опред-ль равен произвед.диагонал.эл-тов(эл-тов гл.диаг.)

Св-ва опред-й: 1) При трансп.опред-ль м-цы не меняется.

2) Если в м-це есть нулевая строка или нулевой столбец,то опред-ль такой м-цы =0.

3) Если в м-це поменять местами 2 ст-ки или ст-ца с сохр-м порядка след.эл-тов,то опред-ль поменяет знак на противопол.

4) Если в м-це есть 2 одинак.строки или столбца,то опред-ль такой м-цы =0.

5) Общ.множ-ль эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца можно вынести за зн.опред-ля.

6) Если к эл-там какой-либо стр.или ст-ца прибавить эл-т др.ст-ки или ст-ца,умноженные на любое число,то опред-ль не изм.

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Опр: В-р Х наз-ся собственным в-ром квадр.м-цы А, если он не нулевой и удовлетворяет ур-е А_nx_1* Х_nx₁=Y_* X_nx₁,где Y -собств.зн-е квадр.м-цы А. коллинеарный в-р.

Число Y наз-ся собственным зн-ем оператора А^~ (м-цы А),соответствующим в-ру Х.

Метод вычисления собств.зн-ий и собств.в-ров. Т.к. Х_nx₁=Е_nx₁ _* Х_nx₁, то АХ=YEX ~ AX-YEX=0 ~ (A-YE)X=0. Если _^= |A-YE|=0,то т.к.все _^1=0, сист.ур-ий имеет бескон.много реш.в этом сл-е (0/0).

Ур-е |A-YE|=0 – характеристическое ур-е м-цы. Из него находим Y и далее по ур-нию (A-YE)X=0 находим соотв.ненул.в-р Х.

Св-ва собств.зн-ний м-цы А: 1) Произвед-е собств-х зн-ний м-цы А равно её определителю |А|=Y₁,Y₂,...,Y_n.

2) Число отличных от нуля собств.зн-ний м-цы А = её рангу.

3) Все собств.зн-я м-цы отличны от 0 тогда и только тогда,когда м-ца А невырожд.

4) Если Yне=0 – собств.зн-е невырожд.м-цы А,то Y-1=1/Y – собств.зн-е обрат.м-цы А^-1. 5) Если Y – собств.зн-е м-цы А,то Y^m -собств.зн-е м-цы А^m, где m – натур.ч-ло.

9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

Метод Гаусса – метод послед-го исключ.переменных.

Сначала(на 1-м шаге прямого хода Гаусса) из всех ур-ний,кроме 1-го исключается переменная х₁. Потом (на 2 шаге) из всех ур-й,кроме первых 2-х исключается переменная х₂ и т.д.,пока последнее ур-е не приобретёт вид: С _* Х_n=b_m, если ч-ло С=0, а b_m не=0,то с-ма не совместная,т.е.нет решений. Если С=0 и b_m=0,т.е. 0_*Х_n=0,то с-ма неопределённая,т.е. имеет бескон.мн.реш.,то с-ма совместно-определённая. В этом сл-е Хn=b_n/C

Полученное зн-е Х_n подстав.в предпосл.ур-е,находим Х_n_-1 и тд.,пока не получ.все неизв-е.

Обратный ход Гаусса. Из м-цы ступенч.вида записывается ур-е. Далее,начиная с конца находим все переменные. Допустим Х₄. Подставляем в верхнее и нах-м Х₃ и т.д.

Метод Гаусса — Жордана исп-ся для реш.квадр.систем лин.ур-ний, нахождения обрат.м-цы, отыскания ранга м-цы. Метод явл-ся модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.

Теорема Кронекера-Капелли. Сист.лин.ур-й совмест.тог.и т.тог,ког.ранг м-цы сист.А равен рангу расшир.м-цы (А|B) этой с-мы.

r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые;

r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые;

r(A)не=r(A|B) - с-ма несовм-ная;

r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная;

r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.);

r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.)

Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная.

Если система лин.ур-й имеет единств.решение Х=(х₁,х₂,…х_n),то такая сист.наз. определённой. Если СЛУ имеет больше, чем одно реш-е,то такая сист .не определённая.

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

Определители квадр.м-ц:

Опред.1-го порядка (м-цы 1-го порядка) наз-ся эл-т этой м-цы а₁₁. Е=(1),|E| = detE=1

A=(0),|A|=0.

Опред.2пор.наз-ся ч-ло,кот.считается след.образом |A|=a_11*a₂₂ – a_12*a_21.

Опред.3пор.наз-ся ч-ло,кот.наход.по ф-ле (когда вычёркивают по пересечению..)

Св-ва опред-й: 1) При трансп.опред-ль м-цы не меняется.

2) Если в м-це есть нулевая строка или нулевой столбец,то опред-ль такой м-цы =0.

4) Если в м-це есть 2 одинак.строки или столбца,то опред-ль такой м-цы =0.

5) Общ.множ-ль эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца можно вынести за зн.опред-ля.

Опред.квадр.м-цы равен сумме произведений эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца на их алгебраич.дополнения.

_^3= a_11*A₁₁ + a_12*A₁₂ + a_13*A₁₃ (_^3= a_{11 *}M₁₁ – a_{12 *}M₁₂ + a_{13 *}M₁₃)

М-ца наз-ся невырожденной (неособенной, если |A|не=0. При |А|=0 – вырожденная (особенная) м-ца.

Присоедин.м-ца. А^~ присоединённая для м-цы А,если она сост.из алгебраич.дополнений к эл-там транспонир.м-цы. Замеч.:чтобы быстро найти присоедин.м-цу для квадр.м-цы 2-го порядка надо поменять местами эл-ты на гл.диагонали, а перед другими двумя Эл-ми поменять знак на противоп.

Обратная м-ца. А^-1 наз-ся обратной для м-цы А, если произведение этих м-ц в любом порядке есть Единичное. А_*А^-1=А^-1_*А=Е Замечание:если опред-ль м-цы А не равен 0,то такая м-ца наз-ся невырожденной (неособенной).

ТЕОР.для того, чтобы квадр.м-ца А имела обратную,необх.и достат., чтобы она была невырожденной. А^-1 нах-ся о формуле: А^-1=1/|А| _* А^~(сначала находим опред-ль (|A|), затем присоед.м-цу (А^~), потом по ф-ле находим обр.м-цу А^-1)

8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

8. Система лин.ур-ний:

А_mxn_*Х_nx₁=В_mx₁ <=> (ф.1)

(a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+ а_nx_n=b₁

(a₂₁x₁+a₂₁x₂+… +a₂_nx_n=b₂

(….

(а_mx₁+а₂_mx₂+… +а_mnх_n=b_m

В матричной форме система имеет вид АХ=В, где

(а₁₁ a₁₂... a_1n)

A= (a₂₁ a₂₂... a_2n)

ф.2(............);

(a_m1 a_m2.. a_mn)

(x₁)

X= (x₂)

ф.3 (....);

(x_n)

(b₁)

B= (b₂)

ф.4(....);

(b_m)

называются собственно матрицей системы, матрицами-столбцами переменных и свободных членов.

Решение системы:а) методом обр.м-цы. Ур-е в матричной ф-ме имеет вид АХ+В. Найти обр.м-цу. И найдём Х по ф-ле Х=А^-1В,( т.е.х₁,х₂,х₃.)

б) По ф-ле Крамера. Найти определитель системы _^=|A|. Если он не=0,то сист.имеет единств.реш. Далее вычислить опред-ли м-ц _^ ₁, _^ ₂, _^ ₃,полученных их м-цы А,заменой соотв-но 1-го,2-го и 3-го ст-цов столбцом своб.членов. Далее по ф-лам Крамера:х1= ^ 1/ _^, х2= ^ 2/ _^, х3= ^ 3/ _^.

Расширенной м-цей системы наз.м-ца (А|В),полученная из м-цы сист.А добавлением к ней ст-ца членов этой системы,т.е. (А|В)=(ф.2|ф.4)

r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые;

r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые;

r(A)не=r(A|B) - с-ма несовм-ная;

r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная;

r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.);

r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.)

Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная.

4. Понятие минора k- го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

Минором M_ij эл-та a_ij квадр.м-цы A n-ого порядка наз-ся опред-ль квадр.подм-цы n-1-го порядка, полученной из исходной вычёкиванием i-строки и j-ст-ца.

Если в м-це А размера mxn выделить какие-либо k ст-к и k ст-в (k ≤ min (m,n)),то опред-ль подм-цы из получаемых на пересечении этих строк и ст-в эл-в наз-ся минором k-го порядка м-цы А.

Ранг м-цы - это наивысший порядок минора м-цы отличный от нуля. (Минор м-цы – то опред-ль квадр.подм-цы). r(А) = n

Ранг м-цы равен максимал.числу лин.независ.ст-к или ст-в м-цы.

Эл.преобраз.:1)отбрас.нулевой строки или ст-ца. 2)Трансп.м-цы, 3)Сложение(или вычит.)эл-тов какой-либо строки или ст-ца с соотв.эл-ми др.стр.(ст.), умноженными на какое-то(любое)число., 4)Смена местами стр-к или ст-в м-цы с сохран.порядка след.эл-тов в них.

ТЕОР.Ранг м-цы не меняется при эл.преобраз.

Опр:М-ца наз-ся ступенчатой,если под эл-ми гл.диагонали такой м-цы только нул.эл-ты или эл-тов вообще нет. Замечание:Элементарн.преобразованиями любая м-ца приводится к ступенчатой. В такой ступенчатой матрице ранг это число строк в ней. Это число совп.с рангом исх.м-цы,т.к.при элементар.преобр.ранг не меняется.

*2 (2 -4 1 5 3)<\

| (0 -1 3 0 2) |

+ (-4 5 7 -10 0) | ~

(-2 1 8 -5 3)</

(2 -4 1 5 3) (2 -4 1 5 3)

(0 -1 3 0 2)*3 (0 -1 3 0 2)

~ (0 -3 9 0 6) - ~ (0 0 0 0 0)

(0 -3 9 0 6) - (0 0 0 0 0)

(2 -4 1 5 3)

(0 -1 3 0 2)

~ (0 0 0 0 0) > r(A)=2,т.к.

(0 0 0 0 0) 2 строки в ступенч.м-це.

11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).

.Ф-лы Крамера решения с-м из n ур-ний с n неизв.

Рассм.сист.из n ур-й с n незв.,которая в матричном виде м.б. записана А_nxnХ_nx₁=В_nx₁.

Обозначим опред-ль м-цы системы |А|=_^. Если (опред-ль м-цы) _^не=0,то сист.имеет ед.реш. х_i=^i/_^, i=1...n, где _^1,_^2, _^3,..._^_n побочные опред-ли. Когда находят _^1,то в м-це системы 1-ый ст-ц заменяет ст-ц своб.чл. Для определению _^2в м-це сист.2-ой ст.заменяют ст.св.чл-в.

Для вычисл._^3 в м-це с-мы 3-й ст.заменяют ст.св.чл-в. Затем находят х₁,х₂,х₃ по ф-ле х_i=^i/_^.

Замечание: (Из метода гаусса 0_*Х_n=0,то бескон.мн.реш. Формально Х_n=0/0 – неопред.)

Если _^=0 и все _^_i=0 (i=1,...n),то сист.имеет бескон.мн.реш(кот.устан.мет.Гауса). Если _^=0 и хотя бы один из _^_i не=0 (5/0-нельзя),то с-ма не совместна,т.е.не имеет реш.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Пусть _^ - опред-ль м-цы с-мы А, а _^_j – опред-ль м-цы, получаемый из м-цы А заменой j-го ст-ца ст-цом св.чл-в. Тогда,если _^не=0,то с-ма имеет единств.реш.,определяемое по ф-лам: Х_j=^j/_^ (j=1,2,...,n). Ф-лы получ.назв.ф-мул Крамера.

Обр.м-ца А^-1=1/|A| _*A^~, где А^~ - м-ца,присоед.к м-це А.Т.к. эл-ты м-цы А~ есть алгебраич.доп-я эл-в м-цы А’,трансп-й к А, то

(х₁) (А₁₁ А₁₂ … А_n₁) (b₁)

(х2) (А₁₂ А₂₂ … А_n₂) (b₂)

(…) = 1/|А| (…) (…)

(х_n) (А₁_n А₂_n …А_nn) (b_n)

Учитывая, что |А|=^,получим после умнож.м-ц

(х₁) (b₁А₁₁+ b₂А₁₂+ … + b_nА_n₁)

(х₂) (b₁А₁₂+ b₂А₂₂+ … + b_nА_n₂)

(…) = 1/^ (…)

(х_n) (b₁А₁_n+ b₂А₂_n+ … + b_nА_nn)

откуда следует, что для любого j(j=1,2,…,n) Х_j=1/_^ (b₁A₁_j + b₂A₂_j +.. + b_nA_nj).

b₁А₁_j + b₂А₂_j +.. + b_nА_nj = _^_j, где _^_j- опред-ль м-цы,получ.из м-цы А заменой j-го ст-ца (j = 1,2,..,n) ст-м св.чл-в. След-но, Х_j=^j/_^. чтд

21. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.

Опр: Производной ф-ции у=f(x) наз-ся предел отнош.приращ.ф-ции к приращ.аргумента, при усл-ии, что приращ.арг. мало, а предел сущ-ет и конечен. y’=lim_∆_x_→0∆y/∆x.

АВ – секущая гр.ф-ции y=f(x)

α=_└ВАС.

Kсек=tgα=tg_└ВАС=ВС/АС=∆у/∆х

Если ∆х→0, то т.В→с т.А.

Секущая АВ→в своё предельное положение, называемой касательной АВ. Значит Kкас= lim_∆_x_→0∆y/∆x.

Т.о. Геом.смысл производной заключ.в том, что производная в т.касания равна угл.коэф-ту касательной, т.е. f’(x)=Kкас.

Ур-е касат-й: y-y0=f’(x₀)(x-x₀).

y₀=f(x₀)

6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n -мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

Геом.вектор. Вектор АВ^-> – направленный отрезок прямой (АВ) с нач.в т.А и концом в т.В. При умнож.вектора на число «У» получается коллинеарный в-р.

Длина в-ров |АВ|= кв.корень х²+у²

В-ры,лежащие на одной прямой наз-ся коллинеарными. В-ры,лежащие в одной плоскости или ||-ных плоскостях наз-ся компланарными. Если нач.и конец вектора совп.,то в-р наз-ют нулевым. Длина нул.вект.=0.

Вектором,противоп-м в-ру а^->, наз-сяпроизвед.в-ра а^->на ч-ло (-1),т.е. - а^-> =(-1) а^->.

Координатами в-ра а^->наз-ся корд-ты его конечной точки. На плоскости Oxy два ч-ла - (х;у), в пространстве Oxyz три ч-ла - (х;у;z).

В-р а^->= (x;y;z)мож.б.записан в виде а^->=хi^-> +yj^->+zk^->.i^->,j^->,k^-> – единичные в-ры(орты),совпадающие с направл.соотв.осей Ох,Оу,Оz. хi^->,уj^->,zk^->- компоненты в-ра.

Операции над в-ми:

1) Суммой двух в-ров а^->иb^->наз-ся в-р с^->=а^->+ b^->,нач.кот.совп-т с нач.в-ра а^->, а конец – с концом в-ра b^->при усл.,что нач.в-ра b^-> совп.с концом в-ра а^->.

Правило треугольника. Для слож.2-х в-ров а^->и b^-> по правилу треуг-ка оба эти в-ра переносятся ||-но самим себе так,чтобы нач.одного из них совп.с концом другого. Тогда в-р суммы задаётся 3-ей стороной образовавшегося треуг-ка, причём его нач.совп.с нач.первого в-ра.

2) умнож.в-ра на ч-ло:при умнож.в-ра на ч-ло Y пол-ся коллинеарный в-р. (Произвед.в-ра а^->на ч-ло У наз-ся в-р b^->=Уа^->, имеющий длину |b^->|=|У||а^->|, направление кот.совп.с направл.в-ра а^->, если У<0.) Если b^->=а^->Y,то а^->|| b^->. И наоб.,если а^->|| b^->( а^->не=0),то b^->=а^->Y.

3) Разностью 2-х в-ров а^->и b^-> наз-ся сумма в-ра а^->и в-ра -b^->, противоположного b^->.

||Скалярным произведением 2-х в-ров наз-ся ч-ло,равное произведению длин этих в-ров на косинус угла между ними: а^-> * b^-> *cosф, где ф-угол между в-рами а^-> и b^->. В-ры явл-ся ||-ми тогда и только тогда, когда их скал.произвед.=0.

|| n-мерным в-ром наз-ся упорядоченная совокуп.n действительных чисел,записываемых в виде х=(х₁,х₂,..,х_n),где числа х₁,х₂,х₃,..х_n компоненты в-ра.

Равенство в-ров. Векторы х и y равны тогда и только тогда, когда равны их соотв.компоненты,т.е. х=у,если х_i=у_j_,i=1,2,…,n.

Суммой 2-х в-ров одинак.размерности n наз-ся в-р z=x+y,компоненты кот.равны сумме соотв.компонент слагаемых в-ров,т.е.z_i=x_i+y_i,i=1,2,...,n.

Произв-м в-ра на действит.ч-ло Y наз-ся в-р u=Yx,комп-ты кот.равны произв-ю Y на соотв.комп-ты в-ра х,т.е. u_i = Yx_i, i=1,2,...,n.

Линейные оп-ции над люб.в-рами удовлет.след.св-вам: 1) х+у=у+х – коммутативное, 2) (х+у)+z=х+(у+z) – ассоциативное(сочетательное), 3) альфа(бета*х)=(альфа*бета)х, 4) альфа(х+у)=альфа*х+альфа*у, 5) (альфа*бета)х=альфа*х+бета*х, 6) сущ-т нул.в-р 0=(0,0,…,0)такой,что х+0=х для люб.в-ра х., 7) для люб.в-ра сущ-т противоп.в-р (-х) такой,что х+(-х)=0., 8) 1*х=х для люб.в-ра х.

Опр.: ВЕКТОРНОЕ ПР-ВО:множество в-ров с действит.компонентами,в котором определены операции сложения в-ров и умнож.в-ра на ч-ло,удовлетворяющее приведённым выше 8-ми св-вам.

n-векторное пространство – это множество всех n-мерных векторов.

Вектор а _m наз-ся линейной комб-ей в-ров а₁,а₂,..,а_m в-рного простр-ва R ,если он равен сумме произв-ний этих в-ров на произвол.действит.ч-ла: am= Y₁a₁+ Y₂a₂+...+Y_m_-1a_m_-1, где Y₁,Y₂,...,Y_m_-1 – какие угодно действит.ч-ла.

Опр.: В-ры а₁,а₂,…,а_m в-рного простр-ва R наз-ся лин.завис.,если сущ-ют такие ч-ла Y1,Y2,...,Ym,не равные одновременно нулю, что Y₁a₁+Y₂a₂+...+ Y_ma_m=0. В противном случае в-ры наз-ют лин.независ.

Лин.простр-во наз.n-мерным,если в нём сущ-ет n линейно независ.в-ров,а любые из (n+1) в-ров уже явл-ся завис. Размерность пр-ва – это максимально ч-ло содержащихся в нём линейно независ.в-ров. Ч-ло n наз-ся размерностью пр-ва R. Совокупность n линейно независ.в-ров n-мерного пр-ва таких,что любой в-р прост-ва может быть единственным образом представлен в виде их лин.комбинации наз-ся БАЗИСОМ.

Если е₁, е₂,…, е _n – система лин.независ.в-ров пр-ва R и любой в-р а лин.выражается через е₁, е₂,…, е _n, то пр-во R явл-ся n-мерным,а в-ры е₁, е₂,…, е _n – его базисом.

Дата добавления: 2015-09-30; просмотров: 57 | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Понятие автоматизированных систем и их классификация.	\|	Жанр: Эротика, Любовно-фантастические романы,Слеш

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.049 сек.)