· Матрицы. Основные понятия. Матрица-это прямоугольна таблица, состоящая из чисел, называемых элементами матрицы, включающая в себя m-строк и n-столбцов.

· Матрицы. Основные понятия. Матрица-это прямоугольна таблица, состоящая из чисел, называемых элементами матрицы, включающая в себя m-строк и n-столбцов.

Виды матриц: 1) Квадратная. Если у матрицы число строк равно числу столбцов, то она называется квадратной. 2) Диагональная. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали равны 0, называется диагональной. 3) Диагональная матрица у которой элементы главной диагонали равны 1, называется единичной (E). 4) Треугольная. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы расположенные ниже или выше тот главной диагонали равны 0. 5)Ступенчатая. У прямоугольной матрицы треугольная матрица будет называться ступенчатой. 6) Нулевая. Матрица у которой все элементы равны 0, называется нулевой. 7) Вектор. Если матрица содержит одну строку или один столбец её называют вектором. 8) Транспонированная матрица. Матрица, полученная путем замены каждой ее строки столбцом. С тем же номером называется транспонированной (). Она обладает свойством: =А. 9) Каноническая. При помощи элементарных преобразований любую марицу можно привести к матрице, у которой вначале на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны 0, такую матрицу называют каноническая. Размерность матрицы: m*n. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е. А=В, если.

A= A=()-где i- номер строки, а j- номер столбца.

· Действия над матрицами. 1) Сложение-операция вводится только для матриц одной размерности. Суммой двух матриц и, есть матрица, такая, что. Аналогично определяется и разность 2) Умножение на число. Умножение матрицы есть число такая, что Матрица называется противоположной матрицей А, если выполняется следующее равенство- -А=(-1)*А. Операции сложения и умножения на число обладают такими свойствами: 1) А+В=В+А 2) (А+В)+С=А+(С+В) 3) А+(-А)=0 4)А+0=А 5) 1*А=А 6) к(А+В)=кА+кВ 7) (к+р)*А=кА+рА 8) (к*р)*А=(кА)*р 2) Произведение матриц. Это действие выполняется если число столбцов первой матрицы, равно числу строк второй. Матрица, где элемент матрицы С находится следующим образом.

· Определители. Основные понятия. Квадратной матрице А порядка n имеет характеристическое число, которое называется определителем матрицы. Правило вычисления определителя: 1) n=1 II= 2) n=2 =. 3) n=3 (Правило Сарриуса) = a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31)-(a31a22a13+a21a12a33+a32a23a11).

· Свойства определителей. 1) Определитель не изменяется, если строки поменять столбцами и наоборот. 2) Если поменять местами параллельные ряды, то определитель меняет знак. 3) Если в определители имеются 2-а параллельных одинаковых ряда, то он равен 0. 4) Общий множитель элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя. 5) Если в определители имеются 2-а параллельных ряда, элементы которых пропорциональны. 6) Если какой-либо ряд можно разложить в виде суммы, то определитель равен сумме определителей в одном из которых стоят первые слагаемые в другом вторые. =+ 7)Определитель не изменится если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующее элементы ряда умноженные на одно и тоже число отличное от 0. 9) Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие алгебраические дополнения. + 9) Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на соответствующие алгебраические дополнения параллельного ряда равно 0. +=0

· Обратная матрица. Квадратная матрица определитель которой не равен 0, называется невырожденной, в противном случае выражденной. Матрицей союзной к матрице А,называется матрица элементами которой являются алгебраические дополнения, транспонированной матрицы А. Матрица называется обратной к матрице А, если выполняется следующее равенство: А*Теорема(всякая невырожденная матрица имеет обратную). Док-во: 1)А= составим для неё союзную = 2) найдем (воспользовавщись 8 и 9 свойством определителя имеем)==. в результате А= согласно определителю квадратной матрицы имеем: А*=Е следует, что

· Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. В правильной матрице можно выделить k–строк и k–столбцов из которых составляются определители k–того порядка, но только 1kminm;n. Все эти определители называются минорами матрицы. Миноров в матрице размерности m*n можно составить -число=. Наибольшее из порядков миноров отличный от 0 называется рангом матрицы. r(A), rangA. Минор порядка которого определяет ранг матрицы называется базисным. Свойства: 1) При транспонировании матрицы ранг не меняется. 2)Если вычеркнуть из матрицы нулевой столбец ранг не меняется. 3) Ранг не изменяется при элементарных преобразованиях над матрицей. 4) Ранг канонической матрицы равен числу единиц, стоящих на главной диагонали.

· Характеристическое уравнение матрицы. Пусть А- квадратная матрица n-ного порядка. Имеется Х-вектор столбец, высотой n, тогда имеет место произведение A*x в результате получим матрица столбец n-ной высоты. Разыскиваем ненулевые вектор-столбцы х, для которых умножение на А слева равносильно умножению на число,т.е. имеет место равенство: А*Х=*Х(1), если Х-нулевой вектор, тогда -любая. А если Х-ненулевой столбец, то равенство (1) выполняется для ограниченного числа. -собственноге число матрицы А, если существует ненулевой вектор Х, такой что выполняется равенство (1). Если собственное число матрицы А, то всякий столбец Х при котором имеет место равенство (1) называется собственным вектором матрицы А. Рассмотрим матрицу 3-его порядка: А= Х=. Равенство (1) будет выглядеть так:. Получим однородную систему у которой всегда есть тривиальное решение: х1;х2;х3=0. Для того, чтобы получить ненулевой вектор Х необходимо, чтобы система имела ненулевое решение, но это возможно тогда и только тогда, когда ее определитель равен 0,т.е.: ==0 Это уравнение называется характеристическое равнение матрицы А(вековое уравнение).

· Системы линейных уравнений. Основные понятия.

Данную систему можно представить в матричном виде: АХ=В,где А= X= B=. Решением системы СЛАУ называется n-значений неизвестных x1=C1, х2=С2…хn=Сn, при подстановке, которых в систему все уравнения будут обращаться в верное равенство. СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае она несовместна. Совместная СЛАУ называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если более 1-ого решения называется частным решением СЛАУ. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

· Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Решить систему-выяснить совместна она и если да, найти её общее решение. Эквивалентными называют системы, которые имеют одно и тоже решение. Эквивалентные системы (равносильные) получаются путем элементарных преобразований расширенной матрицы, но только со строками. Однородная система (все свободные члены=0) всегда совместна. Т. Кронекера-Капелли: СЛАУ совместно тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу расширенной. 1) Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то СЛАУ является определенным, т.е. имеет единственное решение. 2) Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то СЛАУ имеет бесконечное множество решений(неопределенная).

· Правило решение произвольной системы линейных алгебраических уравнений. 1) Находим ранги основной и расширенной матрицы, если ранг основной не равен рангу расширенной матрицы, система несовместна и решений нет, в противном случае… 2) если ранг расширенной равен рангу соновной находим какой-либо базисный минор порядка r и берем r-уравнений из коэффициентов которого составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор называются главными. Их оставляют слева от равно. Остальные неизвестные переносят в правую часть уравнений, их называют свободными переменными. 3) находим выражение главных переменных через свободные-это и будет общее решение СЛАУ. 4) Придавая свободным неизвестным произвольные значения будем получать соответствующие значения главных переменных, что является частным решение СЛАУ. Среди частных решений выделяют базисное решение, это когда свободные переменные имеют значение равное 0.

· Решение невырожденных линейных систем. Формула Крамера. Метод матричного исчисления. Если в системе имеет одинаковое число уравнений и неизвестных при этом они невырожденные (имеют решение), то их можно решить методом матричного исчисления и методом Крамера. 1) Матричное исчисление: Если определитель основной матрицы не равен 0, то система является невырожденной. АХ=В (умножим левую и правую часть на обратную матрицу) АХ=В,Е Х=, Х=, 2) Методом Крамера решение СЛАУ осуществляется по формуле:, где - доп.определитель, полученный из главного, путем замены -того столбца свободными членами.

· Решение СЛАУ методом Гаусса. Процесс решения в 2-а этапа: 1) Прямой ход. Система приводится к ступенчатому виду (в частности треугольному). Коэффициенты -главные элементы системы. 2) Обратный ход. Решается ступенчатая система. Она имеет бесконечное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное через остальные. Далее поднимаемся в следующее уравнение и подставляем вместо то, что получилось в нижнем. В этом уравнении выражаем через остальные переменные и подставляем полученное выражение в следующее уравнение, стоящее выше и т.д. до первого.(Замечание: этим методом на практике удобно работать с расширенной матрицей)

· Решение СЛАУ методом Жордана-Гаусса. Модифицированный метод Гаусса. Он основан на выделении в основной матрицы единичной подматрицы (порядок столбцов безразличен), по определенному правилу выделяется разрешающая строка и разрешающий столбец в 1-ой таблице. Элемент, стоящий на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца, называют разрешающий элемент. В следующей таблице элементы стоящие в разрешающей строке делятся на разрешающий элемент.. В разрешающем столбце все элементы, ккроме разрешающего элемента равного 0. Все остальные элементы вычисляются по формуле:

· Векторы. Основные понятия. Вектор- отрезок, имеющий направление. Длина вектора(модуль)-. Нулевой вектор-точка(0), единичный вектор-II=1 (е). Если единичный вектор параллелен и направлен в сторону вектора-называется ортой. Векторы равны, если равны длинны и одинаковы направления. Компланарные вектора рассматриваются в пространстве лежат на одной плоскости, либо на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов, хотя бы один нулевой или два любых коллинеарных, то эти вектора всегда компланарны.

· Линейные операции над векторами. 1) Сложение. Правило параллелограмма и правило треугольника. Если вектора 3-и, тогда сначала необходимо сложить 2-а,а потом прибавить 3-ий. 2) Вычитание. 3) Произведение вектора на число а) если число больше 0, то направлен к точке. Б) если число меньше 0, то направление меняется. Свойства линюопераций:1) Коммуникативный9переместительный) 2)Ассоциативный(сочетательный) 3)(1*2) 4) 5)(++

· Скалярное произведение векторов. Это произведение их длин на косинус угла между ними.. Векторы i, j, k-единичные вектора, соответствующие осям Ох, Оу и Оz соответственно разложение по ортам-. - проекция вектора на соответствующие оси, тогда - составляющие векторА вЕктора а. Скалярное произведение, если дан вектор в координатной форме:. называются направляющими, а косинуссы этих углов-направляющими косинусами:,,. Сумма квадратов направляющих равна 1=1. Свойства скалярного произведения: 1) коммуникативный 2) сочетательный 3) дистрибутивное)= 4)скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. 5)скалярное произведение равно 0, если векторы перпендикулярны.

· Векторное произведение векторов. Это вектор длина которого равна площади параллелограмма построенного на этих векторах и который перпендикулярен плоскости этого параллелограмма и направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайщий путь от вектора а к вектору b против часовой стрелки.. Если векторы заданы разложением по координатам то удобно векторное произведение находить по формуле:. Свойства векторных произведений: 1) Если вектора коллинеарны, то векторное произведение равно 0. 2) При перестановке сомножителей знак векторного произведения меняется: 3) Распределительное. 4) Сочетательное.

· Смешанное произведение векторов. Имеет вид =. Геометрический смысл смешанного произведения при условии, что векторы некомпланарны, состоят в том, что результат смешанного произведения равны объему паралеллепипеда построенного на векторах а, b, c. Свойства: 1) смешанное произведение не меняется, если происходит перестановка его сомножителей 2) смешанное произведение не изменяется если поменять местами знаки векторного и скалярного проиведения. 3) при перестановке 2-ух других векторов смешанное произведдение меняет знак. 4) смешанное произведение равно 0, если а) вектора комплонарны, б) 2-а из них комплонарны в) один из них нулевой.

· Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Вектор называется линейной комбинацией вектора с коэффициентами, если может быть представлен в виде:. Определение: Система векторов (1) называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы есть линейная комбинация остальных. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. (если какой-то знаменатель равен 0, то и числитель равен 0). Лемма: Система векторов (1) линейно зависима тогда и только тогда, когда ур-ние имеет не тривиальное решение.

· Базис. Разложение вектора по произвольному базису. Система векторов называется базисом, если всякий вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы:. Если система векторов (1) образует базис в -мерном пространстве, то она всегда линейно независима. Теорема: Для того, чтобы система векторов была базисом в n-мерном пространстве необходимо и достаточно, чтобы определитель составленный из координат этих векторов был отличен от 0. Рассмотрим в n-мерном пространстве из ортов: Система орт всегда представляет собой базис- естественный, т.е. любой вектор можно разложить по ортам, причем в линейной комбинацией коэффициенты есть координаты этого вектора. Свойства: 1) если векторы линейно независимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинацией остальных. 2) если некоторые из векторов линейно зависимы, то и система из этих векторов так же линейно зависима. 3) два колинеарных вектора линейно зависимы. 4) два не колиниарных вектора линейно независимы. 5) если среди векторов есть хотя бы один нулевой, то система векторов линейно зависима. 6) три копланарных вектора линейно зависимы. 7) три некомпланарных вектора линейно независимы. 8) четыре любых вектора в пространстве всегда линейно зависимы.

Дата добавления: 2015-09-30