24, евклидово пространство

24, евклидово пространство Линейное (векторное) простр-во, в кот. Задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющ. Св-вам назыв. Евклидовым векторным простр-вом. Е. простр-во образует ортонормированный базис, если эти вектора попарно ортогональны, а норма кажд. Из них = 0. е1…еп – ортогональный базис Е. простр-ва. Во всяком п-мерном Е. простр-ве сущ-ет ортонормированный базис.	23, квадратичные формы. Кв. форм. L(х1…хп) назыв. Сумма, кажд. Член кот. Явл. Либо квадратом одной из переменных, либо произведением 2х переменных, взятых с некоторым коээф. L(x1…xn)=∑∑ aig xi*xg Квадр. Форм. Назыв. Каноничной, если все коэфф. При смешанных произведениях переменных =0. aig=0 i≠g, тогда L можно записать: L=∑ ai*xi^2	Кв. форма назыв. +/- определенной, если при всех знач. Переменной, из кот. Хотя бы одно, отличное от =0, +/-. Для того, чтобы кв. форма была +/- определенной, нужно чтобы все соотв. Значения матрицы кв. формы были +/-. Критерий Сильвестра: для того, чтобы кв.форма была + определен., нужно чтобы все главные миноры матрицы этой формы были +. Для – нужно, чтобы знаки главного минора матрицы чередовались с -.	22, собств. векторы и собств. знач. лин. оп-ра. Вектор х, отличный от 0, назыв. Собств. Вект. Лин. оп-ра Ẵ, если сущ-ет такое число λ, что обрах век-ра х, относит-но оп-ра Ẵ=λ*х Ẵ(х)=λх Пример: оп-р гомотетии. λ – собств. Знач. Лин. оп-ра Ẵ.	21, лин. оп-ры. Действия над ними. Оператором назыв. Закон, соответствие А: R^n →R^m, при кот. Каждому элементу из простр-ва R^n ставится в соответствии единственный элемент из простр-ва R^m. Оп-р А назыв. линейным, если для любых векторов х,у Ә R^n и любого действит. числа £, выполн. 2 усл.: 1)А(х+у) = Ах+Ау 2) А(£х)=£(Ах) Действия: 1)Сумма 2х оп-ров А+В. (А+В)х=Ах+Вх 2)произведен. Оп-ра на λ назыв λА такой что (λА)х=λ(Ах). 3)произведен. оп-ров: (А*В)х=А(В*х).
20, переход к новому базису. Связь координ. век-ра х в старом и новом базисе. Фор-ла для перехода от одного базиса к другому: е'1=£11е1+£12е2+£1nеn е'2=£21е1+£22е2+£2nеn е'n=£n1е1+£n2е2+£nnеn Пусть вектор х в 1 базисе имеет координаты: х=(х1х2хn). Этот же вектор во 2 базисе имеет корд. Х=(х1' х2' хn'). Кажд. вектор можно разложить по эл-там базиса: Х=х1е1+х2е2+хnen Х=х1'е1'+ х2'е2+' хn'еn'. Нужно установить зависимость между корд. в 1 базисе и во 2 базисе: Х1= х1'е11'+ х2'е12'+ хn1'еn' Хn= х1'е1n'+ х2'е2n'+ хnn'еnn'.	19, размерность и базис лин. простр-ва. Вектор Хn назыв. лин. комбинацией векторов х1,х2…хn-1 если хn=£1х1+£2х2+…+£n-1хn-1, где £iӘR, 1≤i≤n-1. Лин. зависим. и лин. независ. век-ра образуют базис, если сущ-ет n-линейно независ. век-ров лин. простр-ва, то дан. векторн. простр-во назыв. n- мерным.	Базисом системы векторов х1...хn назыв. максимально лин. независ. сист. век-ров, через кот. выражаются остальные век-ра дан. сист. Кажд. век-р лин. простр-ва мож. выразить через элемент базиса: любой х=R^n X=£1х1+…£rxr, где х1, х2, хn – базис сист. век-ров. Размерность век-ого простр-ва совпад. с кол-вом век-ров, входящ. в базис. Любые 2 базиса n-мерного век-ого простр-ва сост. из одинак. числа векторов.	18, лин. завис. и лин. независ. сист. век-ров и их св-ва. Сист. век-ов х1,х2,хn назыв. лин. независ., если £1х1+£2х2+..+£nxn=0 => £1=0, £2=0, £n=0. Св-ва сист. век-ов: 1)х+у=у+х 2)х+(y+z)=(x+y)+z 3)(£B)x=£(Bx) 4)(£+B)x=£x+Bx 5)£(x+y)= £x+£y 6)0*x=0 7)для люб. Х сущ-ет! (-х): х+(-х)=0 8) 1*х=х	Век-ры х1…хn назыв. лин. независ., если есть числа не все = 0, удовлетворяющ. рав-ву £1х1+..+£nxn=0, где есть £i≠0 и 1≤i≤n. Св-ва лин. зависимости сист. век-ров: 1)сист. век., содержащ. нулевой век. – лин. завис. 2)сист. век. лин. завис., если какая-нить ее подсист. лин. завис. 3)сист. век., в кот. а1≠0 лин. завис. ↔ когда хотя бы 1 век. А2, а3, аn явл. лин. комбинац. предшествующих век-ов. 4) если сист. век. лин. независ., а сист. век. А1, а2, аn, b лин. завис., то век. B лин. выражается через век-ра системы и при том единств. образом.
17, лин. простр-во. Лин. прост-вом назыв. мн-во элементов произвольной природы, на кот. задаются операции сложен. и умножен. на число, удовлетворяющ. св-вам. Мн-во многочленов – это лин. простр-во.	16, схема Горнера. Корни многочлена. Схема Горнера F(x)=a x^n+ax^n-1+a^n Ai Ә R Число С явл. корнем многочлена ↔ когда f(x) делится на х-с без остатка.	15, многочлены (теорема делимости с остатком). Для любых двух многочленов f(x) и g(x), отличных от 0, сущ-ет единственная пара многочленов g(x) и r(x) таких что f(x)= g(x)*g(x)+r(x). Deg r(x)<deg g(x) G(x) делитель, r(x) остаток. G(x) -неполное частное.	14, комплексные числа (алгеброич. и тригонометрич. вид). Комплекс. числом назыв. выраж. a+bi, где a и b – действит. числа. i – лин. единица а – действит. число b – линейн. часть числа. Все действит. числа явл. комплексными, т.к. их мож. представить а+ i*0. Все комплекс. числа обознач. С. С – мн-во комплекс. чисел. В алгеброич. форме: z=a+b*i (i^2=-1)/ В тригоном. форме: z=r(cos φ+I sin φ).	13, теорема Кронекера-Капелли. Сист. совместна ↔, когда ранг матрицы + рангу ее расширенной матрицы.
9, сист. лин. ур. (опр-ие, реш. сист., равносильность 2х сист., совместная и несовместная запись сист. лин. ур. в матрич. виде). 10, метод крамера. 12, метод гаусса. Сист. лин. ур. имеет вид: а11х1+а12х2+…+а1nхn=b1 а21х1+а22х2+…+а2nxn=b2 ……………………………. am1x1+am2x2+…+amnxn=bm, где aig – коэфф. при неизвестных. bi- свобод. члены (i=1,2,3..m; g=1,2,…n). Прямоуг. таблица чисел, составленная из коэфф. при неизвестных. назыв. матрицей системы. 1)метод крамера. Сист. лин. ур. записываем как определитель и находим его. Затем, вместо первого	столбца записываем известные ответы сист. лин. ур. в определитель и находим его. Дальше вместо второго столбца записываем известные нам ответы сист. лин. ур. и находим 2 определитель и так до конца. По формуле ∆n\∆ находим соответств. знач. х1,х2,хn и запис. в ответ. 2) метод гаусса. Сист. лин. ур. запис. в матрицу. С помощью элементар. Преобраз. Последнюю (и если это возможно, то и предпоследнюю и т.д.) строчки приводим к 0 и вычеркиваем их.	столбца записываем известные ответы сист. лин. ур. в определитель и находим его. Дальше вместо второго столбца записываем известные нам ответы сист. лин. ур. и находим 2 определитель и так до конца. По формуле ∆n\∆ находим соответств. знач. х1,х2,хn и запис. в ответ. 2) метод гаусса. Сист. лин. ур. запис. в матрицу. С помощью элементар. Преобраз. Последнюю (и если это возможно, то и предпоследнюю и т.д.) строчки приводим к 0 и вычеркиваем их.	8, Элементарные преобраз. матрицы (теор. О ранге матрицы, алгоритм нахожд. Ранга матрицы). 1)отбрасыв. Нулевой строки\столбца. 2)изменение порядка строк\столбцов. 3)умнож. эл-ов матрицы на некотор. число. 4)прибавление к эл-там какой-либо строки\столбца матрицы соответств. эл-ов строки\столбца, умноженных на некотор. число, отличное от 0. 5)транспанир. матрицы. Ранг матрицы не меняется при элементар. преобразован. Теорема: Ранг матрицы = максимал. числу ее линейно независ. строк и столбцов, через кот. выраж. все остальные строки и столбцы.	1) элементар. преобраз-ями превратить матрицу в трапецедальную. Подсчитать кол-во ненулевых строк в трапец. матрице, это и будет ранг матр. 2)найти ненулевой эл-т матр.(если такого нет, то ранг матр. = 0). Вычислить миноры 2ого порядка, кот. окаймляют выбранный эл-т. Если среди вычесленных миноров 2ого порядка имеется отличный от 0, то рассм. все миноры 3его порядка, окаймляющие какой-нить минор 2ого порядка, ≠0. продолж. Так до тех пор, пока все миноры, окаймляющ. ненулевой минор i-ого порядка, не будут =0. В этом случае ранг матрицы = i.

7,ранг матрицы (опр-ие минора n-ого порядка, опр-ие ранга и св-ва ранга матр.). Рангом матр. А назыв. наивысш. порядок минора отличного от 0 данной матри. Эл-ты, стоящие на пересеч. выделенных строк и столбцов, образуют квадрат. матрицу r-ого порядка, определитель кот. назыв. минором r-ого порядка матрицы А. Эл-ты матр. А явл. минорами 1-ого порядка. Св-ва: 1) ранг матр. не превосх. минимального из его размера.2)ранг матр.,=0, назыв. матрицей, в кот. все эл-ты =0.3)ранг квадрат. матр. n-ого порядка = n, когда дан. матр. невырожденная.	6,фор-ла для нахожд. обрат. матрицы. ∆- опр-ль матрицы А Аig-алгеброич. дополнение эл-та aig матрицы А.	5,обратная матрица (сущ-ие обр. матр., опр. вырожд. и невырожд. обр. матр.). Матрица А^-1 назыв. обрат. Для квадр. матрицы А, если АА^-1=А^-1А=Е. Квадрат. матр. А имеет обрат. ↔, когда ее опр-ль ≠0. И она имеет единств. обрат. матр. Матр. А назыв. невырожд., если ее опр-ль ≠0. и наоборот.	4,св-ва опр-ля n-ого порядка. 1)определители квадрат. и транпонир. матриц. равны. |A|=|А^t|.2)если одна из строк опр-ля сост. из нулей, то опр-ль матрицы =0.3)при перестановке 2х строк\столбцов матрицы, ее опр-ль меняет знак.4)опр-ль, содержащ. 2 одинак. строки =0. 5)если все эл-ты некоторой строки\столбца опр-ля умнож. на некотор. число, то и сам опр-ль умнож-ся на это число.6)общ. множитель некоторой строки\столбца всех эл-тов мож. выносить за знак опр-ля.	3, миноры и алгеброч. дополнение (теор. Лапласа). Минором Мig эл-та аig опр-ля n-ого порядка назыв. опр-ль(n-1)-ого порядка, кот. получ-ся в результ. вычеркивания в опр-ле n-ого порядка строки и столбца, содержащих эл-т аig. Алгеброич. дополн. Аig эл-та а-ig назыв. его минор, умнож. на -1^i+g. Теор.: опр-ль квадр. матрицы А = сумме произведен. какой либо строки или столбца на их алгеброич. дополн.
2,опр-ль матрицы (вычисл. опр-ля 2-ого и 3-его порядка, опр-ля матр. n-ого порядка). Опр-лем n-ого порядка квадр. матр. А назыв. алгеброич. сумма n! членов, составленная следующ. образом:эл-ами служат всевозможн. Произвед. N эл-ов матр. А, взятых по одному из кажд. строки и кажд. столбца, при чем член берется со знаком + если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком – если наоборот.	1,матрица и действия над ними (опр-ие, виды матр., единич. матр., умнож. на число, сложен. матр., произведен. матр., св-ва действий над матр., транспонир. матр.). Св-ва оперец. над матрицей: 1)£(А+В)=£А+£В 2)(£+ß)А=£А+ßА 3)(£ß)А=£(ßА) 4)1*А=А 5)(А*В)С=А(В*С) 6)А(В+С)=АВ+АС

Дата добавления: 2015-09-30