Федеральное государственное бюджетное

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М.Т.КАЛАШНИКОВА»

ФАКУЛЬТЕТ «МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ»

КАФЕДРА «ФИЗИКА И ОПТОТЕХНИКА»

Отчёт по лабораторной работе №1

«Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника»

Выполнил

студент группы б02-791-1 П.И.Вдовин

Проверил

доцент кафедры

«физика и оптотехника» А.И.Калугин

ИЖЕВСК - 2014

Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Цель работы: нахождение ускорения свободного падения и погрешности.

Приборы и принадлежности: математический маятник, секундомер GShock с ценой деления с, линейка с ценой деления мм.

Теоретическая часть:

Ускорение свободного падения у поверхности Земли зависит от широты, времени суток и других факторов. Приблизительно оно может быть вычислено (в м/с²) по эмпирической формуле:

где — широта рассматриваемого места, — высота над уровнем моря в метрах.

g = 9.82 м/с²

Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Колебательные процессы могут происходить как в механических системах (колебания маятника часов, вибрации деталей различных машин и конструкций и т. д.), так и в немеханических системах (акустические волны, переменный ток в электрических цепях и т. д.). Колебания называются периодическими, если значения физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени T, т. е. изменяются во времени согласно зависимости

x = f (t) = f (t + T) = f (t + NT),

где N – числа натурального ряда, N = 1, 2, 3, …

Период колебаний T – величина, равная промежутку времени, в течение которого система совершает одно полное колебание, т. е. промежутку времени, в течение которого система проходит все возможные состояния и возвращается в исходное состояние. Период легко определить экспериментально, как отношение промежутка времени t 1, в течение которого совершается некоторое количество полных колебаний N 1, к количеству этих колебаний:

T = t 1 / N 1.

Частота колебаний ν – величина, равная числу колебаний, совершаемых системой за единицу времени, и определяемая как:

ν = N 1 / T 1 = 1/ T.

В СИ период колебаний измеряется в секундах (с), а частота в герцах(Гц).

1 Гц – это частота такого колебательного процесса, когда за одну секунду совершается одно полное колебание.

Колебания реализуются в системах, обладающих свойствами упругости и инертности, то есть содержащих элементы, обладающие упругостью, и элементы, обладающие инертностью (массой), например, в простейшем случае пружина с закрепленным на ней грузом (телом) – пружинный маятник. Если такую систему вывести из состояния равновесия внешним воздействием и далее предоставить самой себе, то система начнет совершать свободные (или собственные) колебания. При отклонении системы от положения равновесия, благодаря упругости, в системе возникают внутренние силы, стремящиеся возвратить колеблющееся тело в начальное положение, но благодаря инертности, тело не останавливается, а по инерции проскакивает положение равновесия, и отклоняется от него в противоположную сторону. Это отклонение вновь сопровождается возникновением внутренних сил, возвращающих тело к равновесию с противоположной

стороны и в дальнейшем, также проскакиваемом по инерции. В результате такого совместного проявления эффектов упругости и инертности в системе возникает повторяющееся во времени движение около положения равновесия, то есть возникают свободные колебания, период которых зависит от коэффициента упругости упругого элемента (пружины) и инертности инертного элемента (массы тела).

Если силы сопротивления столь малы, что ими можно пренебречь, и величина возвращающей силы пропорциональна смещению, то свободные колебания, возникающие в системе, будут гармоническими. На колеблющееся тело массой m действует одна лишь возвращающая сила и сообщает ему ускорение а, определяемое на основании второго закона динамики:

ma = F возвр или ma = - kx.

Учитывая, что ускорение равно второй производной от смещения по времени

, получим:

Или, разделив обе части уравнения на m, имеем:

Это дифференциальное уравнение 2-го порядка, обыкновенное, с постоянными коэффициентами и с нулевой правой частью. Как известно из математики, решение этого уравнения, показывающее, как от времени t изменяется смещение x, описывается синусоидальной функцией и имеет вид:

(3)

где и – константы, значение которых определяются из начальных условий (конкретней – начальным смещением, а также значением и временем действия силы, выведшей систему из равновесия).

Сравнивая выражение (3) с выражением (1), видим, что константа c 1 есть амплитуда колебаний А, – начальная фаза , а угловая частота и период колебаний системы равны:

или ;

(4)

Поскольку решение уравнения (2) описывает гармонические колебания, то это уравнение (2) (а также записанное в форме ) называют дифференциальным уравнением гармонического колебательного движения.

Из формулы (4) видно, что период (и, соответственно циклическая частота) собственных колебаний системы зависит только от ее упругих и инертных свойств, т. е. от ее коэффициента упругости и массы. Период не зависит от амплитуды и характеристик внешнего воздействия, то есть силы, которая вывела систему из равновесия.

Простейшей механической колебательной системой является математический маятник. Это тело, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити, длина которой значительно больше размеров тела, так что тело можно считать материальной точкой.

Как видно из рис.1, маятник возвращается к положению равновесия под действием составляющей силы тяжести на направление вдоль касательной к его траектории и равной:

mg sin .

Как известно из математики, при достаточно малых углах отклонения

α ≤ 0,1 рад. (α ≤ 6 ): sin x / l

Рис. 1.Математический маятник

Тогда

.

Сравнивая это выражение с формулой F возвр = - kx, получим, что при малых отклонениях k = mg / l, и, соответственно, период малых колебаний математического маятника равен:

= 2 . (5)

Таким образом, период свободных колебаний математического маятника зависит только от длины нити и величины ускорения свободного падения в месте нахождения маятника. Отметим также, что период не зависит от его массы. Это получилось из-за того, что возвращающая сила для математического маятника и, соответственно, коэффициент «k» в свою очередь оказались пропорционально массе.

Из формулы (5) вытекает возможность определения величины ускорения свободного падения путем определения периода малых свободных колебаний математического маятника с известной длиной нити l, согласно выражению:

(6)

Методика эксперимента:

В работе используется математический маятник. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях от положения равновесия период колебаний равен: 2 .

Для увеличения точности измерения периода нужно измерить время t достаточно большого числа N полных колебаний маятника.

Тогда период: T= t N

Ускорение свободного падения может быть вычислено по формуле:

Проведение эксперимента:

· Измерить длину нити L маятника.

· Возбудить колебания маятника, отклонив шарик в сторону на 2-3 см и отпустив его

· измерить в 10-ти экспериментах время t 20-ти полных колебаний маятника.

· Вычислить среднее значение t_ср.

· Вычислить ускорение свободного падения по формуле (6).

· Вычислить погрешность.

· Записать результат с учётом погрешности.

Результаты измерений записанный в таблицу (см. Таблица 1.)

№ эксперимента											Ср.
Число полных колебаний N
Время 20 колебаний t, с	26.78	26.15	26.45	26.57		26.34	26.09	26.38	26.50	26.66	26.49
Длина подвеса L, см	45.5		45.5	45.5	45.5	45.6	45.5	45.4	45.5	45.6	45.56
Расстояние пройденное линейкой (Реакция человека), см

Таблица 1.

Вычисления:

Среднее время колебаний:

t_ср = (26.78+26.15+26.45+26.57+27+26.34+26.09+26.38+26.50+26.66)/10=26.49 с

Средняя длина подвеса:

L_ср = (45.5+46+45.5+45.5+45.5+45.6+45.5+45.4+45.5+45.6)/10 = 45.56 см

Среднее расстояние, пройденное линейкой:

(25+8+4+15+22+19+10+19+21+25)/(100*10)=0.17 м

Среднее значение ускорения свободного падения:

g = (4* *0.455*400)/(26.49)²=10.01 м/с²

Расчёт погрешности измерения времени колебаний:

приборная погрешность для секундомера =(2/3)*0.01=0.007 с

среднеквадратичная дисперсия:

= 0.087 с

случайная погрешность: =2.3*0.087=0.2

расчёт времени реакции человека:

время реакции человека выразим из формулы расчёта высоты свободно падающего тела:

t = = 0.18 c

полная погрешность измерения времени колебаний: = = 0.26 с

Расчёт погрешности измерения длины подвеса:

приборная погрешность для линейки: =(2/3)*0.1=0.066 см

среднеквадратичная дисперсия:

=0.053 см

случайная погрешность: =2.3*0.053=0.12 cм

полная погрешность измерения длины подвеса: = = 0.13* м²

Расчёт полной погрешности измерения ускорения свободного падения:

= g

= 10.01* = 0.26м/с²

Значение ускорения свободного падения с учётом погрешности:

g = 10.01 0.26 м/с²

Вывод и анализ результатов: в данной лаболаторной работе найдена величина ускорения свободного падения g=10.01 0.26 м/с² . Для места проведения эксперимента значение g=9.82 м/с².

Если учесть погрешность точное значение входит в окончательный результат, поэтому эксперимент можно считать успешным.

Дата добавления: 2015-09-30