1. B 13 . Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов. 5 страница

Ре­ше­ние.

Най­дем диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

10. B 13. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 2, бо­ко­вое ребро равно 4. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: . Пло­щадь ос­но­ва­ния

.

Тогда объем пи­ра­ми­ды

.

Ответ: 12.

Ответ: 12

Вариант № 3714293

1. B 13. Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, каж­дое из них равно 3. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

.

По­сколь­ку , далее имеем:

.

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

2. B 13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной фи­гу­ры равен раз­но­сти объ­е­мов ци­лин­дра с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 5 и вы­со­той 5 и ци­лин­дра с той же вы­со­той и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 2:

.

Ответ: 105.

Ответ: 105

3. B 13. Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где – пло­щадь грани, а – вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда пло­щадь грани

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

4. B 13. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ребро , ребро , ребро . Точка — се­ре­ди­на ребра Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки и .

Ре­ше­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и , по­это­му углы и — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние — пря­мо­уголь­ник.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

Ответ:5.

Ответ: 5

5. B 13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ци­лин­дра равен

.

Ответ: 3,75.

Ответ: 3,75

6. B 13. Диа­го­наль куба равна . Най­ди­те его объем.

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль куба в раз боль­ше его ребра. По­это­му ребро куба равно

Тогда объем куба .

Ответ: 729.

Ответ: 729

7. B 13.

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 6. Най­ди­те объем шара.

Ре­ше­ние.

..

Ответ: 24.

Ответ: 24

8. B 13. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка — центр ос­но­ва­ния, вер­ши­на, , . Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . Он пря­мо­уголь­ный, т. к. — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию , а зна­чит и пря­мой . Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

9. B 13. Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где — пло­щадь грани, а — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда

Ответ: 5.

Ответ: 5

10. B 13. В тре­уголь­ной приз­ме две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Их общее ребро равно 10 и от­сто­ит от дру­гих бо­ко­вых ребер на 6 и 8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой приз­мы.

Ре­ше­ние.

Для вы­чис­ле­ния бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой, где – длина бо­ко­во­го ребра, а – пе­ри­метр пер­пен­ди­ку­ляр­но­го се­че­ния приз­мы:

.

Ответ: 240.

Ответ: 240

Вариант № 3714356

1. B 13. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 6. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Най­дем тре­тье ребро из вы­ра­же­ния для объ­е­ма:

.

Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да

.

Ответ: 22.

Ответ: 22

2. B 13. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка — центр ос­но­ва­ния, вер­ши­на, , . Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . Он пря­мо­уголь­ный: т. к. — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию , а зна­чит и пря­мой . Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

.

Ответ: 6

3. B 13. Около куба с реб­ром опи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

Пусть длина ребра куба равна а, а его диа­го­наль равна d. Ра­ди­ус опи­сан­но­го шара R равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли куба:

.

По­это­му объем шара равен

Тогда

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

4. B 13. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, впи­сан­ной в ци­линдр, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен , а вы­со­та равна 2.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка вы­ра­жа­ет­ся через ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти как . Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы тогда равна

.

Ответ: 36.

Ответ: 36

5. B 13. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 6, бо­ко­вое ребро равно 10. Най­ди­те ее объем.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем, что по­ло­ви­на диа­го­на­ли ос­но­ва­ния равна 8. Тогда диа­го­наль ос­но­ва­ния равна 16, а сто­ро­на – и пло­щадь

Тогда объем пи­ра­ми­ды

Ответ: 256.

Ответ: 256

6. B 13. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вы­со­та ко­то­рой равна 6, а ос­но­ва­ние – пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 3 и 4.

Ре­ше­ние.

Объем пи­ра­ми­ды с пло­ща­дью ос­но­ва­ния и вы­со­той равен

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

7. B 13. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та и сто­ро­на та­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны диа­мет­ру сферы, то есть это куб со сто­ро­ной 2. Пло­щадь по­верх­но­сти куба со сто­ро­ной :

Ответ: 24.

Ответ: 24

8. B 13. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник катет ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся боль­шей диа­го­на­лью ос­но­ва­ния. Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его удво­ен­ной сто­ро­не: . По­сколь­ку имеем:

Ответ: 2.

Ответ: 2

9. B 13. Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

,

где – пе­ри­метр ос­но­ва­ния, а –апо­фе­ма. Апо­фе­му най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: . Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти

Ответ: 360.

Ответ: 360

10. B 13. Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния равен 90°. Вы­чис­ли­те объем ко­ну­са, де­лен­ный на . Ре­ше­ние.

В тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния r, вы­со­той h и об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са l, углы при об­ра­зу­ю­щей равны, по­это­му вы­со­та ко­ну­са равна ра­ди­у­су его ос­но­ва­ния: h = r. Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Ответ: 9.

Ответ: 9

Дата добавления: 2015-09-29