18 Равномерный закон распределения вероятностей

18 Равномерный закон распределения вероятностей

Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

Числовые характеристики случайной величины X равномерно распределенной на интервале [a,b]:

Математическое ожидание по формуле.:

Дисперсия по формуле:

Среднее квадратическое отклонение:

19 Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса. Где а,ð-параметры X₁=a-ð; X₂=a+ð- точки перегиба f(a)-max

ð>0

Вероятность попадание случайной величины в [ α;β]

Числовые характеристики М.О непрерывной случайной.вел.

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение ð_x= в нашем случаи ð

20 показательным (экспоненциальным) называют распределение непрерывной случайной величины Х, которое описывает плотность

где λ-постоянная положительная величина Найдем интегральную функцию

Найдем вероятность попадание в интервале(а,в) непрерывной случайной величины Х, которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения. используем формулу P(a<x<b)=F(a)-F(b); P(a<X<b)=

Ecли в качестве переменной используется время, то -показательный закон надежности и λ –интенсивность отказов. Теорема: Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром λ, равны: m_x=ð_x=1/λ До-во ;

21 Функцией распределение (вероятностей) F(x_1,…,x_n)=Fx₁,…,Fx_n(x_1,…,x_n) (n-мерного) случайного вектора (Х₁,…,Х_n)называют функцию значение которой в точке (x_1,…,x_n)∈Rⁿ равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий (X₁<x₁),…,(X_n<x_n), т.е.

F(x_1,…,x_n)=)=Fx₁,…,Fx_n(x_1,…,x_n)=P{ X₁<x₁,…, X_n<x_n}. Свойства: 1) 2)F(x1,x2)-неубывающая функция по каждом из аргументов х1,х2

3) 4) 5) 6) непрерывная слева в любой точке (x1,x2)∈ R² по каждому из аргументов х1 и х2 функции. 7) Rⁿ-это вектор пространства

22 Плотность распределение случайного вектора и ее свойства. Если на пространстве событий = { } заданы две случайные функции = () и = (), то говорят, что задана двумерная случайная величина
(, ). Двумерная случайная величина называется (X,Y) непрерывной, если существует такая неотрицательная функция f(X,Y), называемая двумерной плотностью вероятности, что вероятность попадания случайной величины (X,Y) в область D равна двойному интегралу от плотности по этой области:

(7) Из равенства (7) следует формула для нахождения функции распределения двумерной непрерывной случайной величины по известной плотности распределения:

Свойства двумерной плотности вероятности 1) f(x,y) неотрицательная функция и определена на всей плоскости XOY 2)

в каждой точке непрерывности плотности 3) ; 4)

23 Числовые характеристики случайного вектора и свойства корреллиционного момента. мат.Ож. f(x1,…,xn) M[ ]= =(m1,…,mn) Дисперсия

D[ ð₁= ,…,ð_n= ;ð[ ; К оэффициентом корреляции двух случайных компонентов X и Y случайного вектора является нормированная ковариация r_XY = K_XY/( _{X Y}). Свойства ковариации (и коэффициента корреляции): 1) KXX = DX, KYY = DY, (rXX = rYY = 1);2) KXY = KYX, (rXY = rYX);3) |KXY| £ , (|rXY | £ 1). Начальным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число nr,s, определяемое формулой:nr,s = M[Xr Ys] = Центральным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число mr,s определяемое формулой mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =

24 Связь между независимостью и корреллириванностью случайных величин.Если , случайные величины Х и Y называются коррелированными. Если , то необязательно, что Х и Y независимы. В этом случае они называются некоррелированными. Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает их коррелированность. Поэтому для характеристики связи между Х и Y в чистом виде переходят к безразмерной характеристике, которая называется Коэффициент корреляции rxy характеризует степень линейной зависимости величин: Свойства коэффициента корреляции: 1) Абсолютная величина коэффициента корреляции двух случайных величин не превышает единицы: 2) │rxy│=1 если Y=aХ+b 3) Если величины X и Y независимы, то rxy = 0.

25 связь между функцией распределение случайного вектора и функцией распределение любого набора его компонент -случайный вектор; F(x1,…,x2)-интегральная форма распределение; f(x1,…,x2)плотность вероятности; i1<i2<…<ik =(X_i1,X_i2,…X_ik) новый вероятность. F(X_i1,X_i2,…X_ik)- интегральная форма распределение ; f(x_i1,x_i2,…x_ik)- плотность вероятности

j₁,j₂,…,j₅ (X_j1,X_j2,…,X_j5) не войли в .

26 равномерное распределение случайного вектора. Пусть - маленькое множество около точки .Будем говорить, что стягивается в точку , если максимальное расстояние от любой точки до то точки стремится к нулю. Рассмотрим

считая, что этот предел существует и не зависит от способа стягивания к почти во всех точках,

т.е. за исключением множества, площадь которого равна нулю. Для непрерывного случайного вектора это условие выполняется.Плотность – это функция. Ее проще задать, чем меру, поэтому непрерывный случайный вектор обычно задают плотностью.Пусть - область на плоскости. Положим где - это площадь

27 нормальный закон распределение двумерного случайного вектора. Плотность вероятности двумерного нормального закона распределения

где – математические ожидания компонент ; – средние квадратические отклонения компонент ; – коэффициент корреляции между компонентами двумерной случайной величины .Компоненты распределены нормально соответственно по законам , . Равенство является необходимым и достаточным условием независимости компонент . В этом случае плотность двумерного вектора можно рассматривать как произведение двух плотностей нормального распределения случайных величин : .

28Первое неравенство Чебышева. Пусть Х – неотрицательная случайная величина (т.е. для любого ). Тогда для любого положительного числа а справедливо неравенство Второе неравенство Чебышева. Пусть Х – случайная величина. Для любого положительного числа асправедливо неравенство . Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину У = (Х – М(Х))^2. Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа b, как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство . Положим b = a2. Событие {Y>b} совпадает с событием {|X – M(X)|>a}, а потому ,

29 Теорема Чебышёва. Пусть случайные величины Х₁, Х₂,…, Х_k попарно независимы и существует число С такое, что D(X_i) < C при всех i = 1, 2, …, k. Тогда для любого положительного выполнено неравенство

30 Теорема. (Ляпунова) Если случайные величины X1, X2, … Xn взаимно независимы; имеют математические ожидания m1, m2, … mn, дисперсии D1, D2, … Dn и третий абсолютный центральный момент, тогда при выполнении условия: Распределение суммы этих величин близко к нормальному. Условие Ляпунова означает, что отклонение от нормального закона распределения, вносимое в распределение суммы величин каждым из отдельных слагаемых, должно быть ничтожно мало.

31 Теорема Бернулли. Пусть производится h независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Частота появления события в этих h опытах является случайной величиной с математическим ожиданием и дисперсией .Теорема Бернулли. При увеличении числа независимых опытов – частота события сходится по вероятности к вероятности этого события, т.е. для любого e>0

Доказательство. Запишем неравенство Чебышева , где для случайной величины .

Так как p, q, e - постоянные, то , при . Поэтому

32 Статистической функцией распределения случайной величины называется частота события в данном статистическом материале: . Для того чтобы найти значение статистической функции распределения при данном , достаточно подсчитать число опытов, в которых величина приняла значение, меньшее чем , и разделить на общее число произведенных опытов. Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2),..., (xk; nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им частоты ni. Точки (xi; ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1; W1), (x2; W2),..., (xk; Wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты Wi. Точки (xi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni / h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni / h. Площадь i - го частичного прямоугольника равна hni / h = ni - сумме частот вариант i - го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению Wi / h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии Wi / h (Рис. 2). Площадь i - го частичного прямоугольника равна hWi / h = Wi - относительной частоте вариант попавших в i - й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

33 Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , то есть

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается также состоятельной. Теорема. Пусть Х1, Х2, …, Хn – выборка из генеральной совокупности и М(Хi) = М(Х) = а, D(Хi) = D(Х) = D. Тогда выборочное среднее - несмещенная и состоятельная, а для нормального распределения и эффективная, оценка математического ожидания

34 Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , то есть

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается также состоятельной. Теорема Пусть Х1, Х2, …, Хn – выборка из генеральной совокупности и М(Хi) = М(Х) = а, D(Хi) = D(Х) = D. Тогда исправленная выборочная дисперсия - несмещенная состоятельная оценка дисперсии D.

35 доверительный интервал доверительная вероятность. Будем считать, что независимая выборка взята из распределения, зависящего от скалярного параметра . Будем обозначать через распределение вероятностей, соответствующее значению неизвестного параметра. -доверительным интервалом называется интервал вида где такой, что Число называют доверительной вероятностью.

36 Отыскание доверительного интервала для мат. Ожид. Нормально распределенной случайной величины при известной дисперции. Из теории вероятностей интервальные вероятности для нормального распределения N(a,s) определяются формулой P (|X– a| ≤ e) = 2Ф(e/s) = 2Ф(t), (2) где t = e/s. Если задаться значением доверительной вероятности (надёжности) b, то можно найти вероятность попадания в интервал для неизвестного математического ожидания, используя формулу (2) (3)где b – вероятность покрытия математического ожидания а доверительным интервалом . Если приравнять правые части (2) и (3), то получим: b = 2×Ф(t). (4) где Ф(t) – функция Лапласа В результате можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала для математического ожидания, если известна дисперсия D = s^2:

1)Задать значение надёжности – b.

2)Из (4) выразить Ф(t) = 0,5×b. Выбрать значение t из таблицы для функции Лапласа по значению Ф(t)

4)Записать доверительный интервал по формуле (5) такой, что с вероятностью b выполняется неравенство:

доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины. (5)

.

Дата добавления: 2015-09-29