Билеты по геометрии (9 класс). Завести тетрадь и написать летом(!) вопросы по всем изученным темам (эти вопросы отмечены курсивом).

Билеты по геометрии (9 класс). Завести тетрадь и написать летом (!) вопросы по всем изученным темам (эти вопросы отмечены курсивом).

Билет №1.

1. Равнобедренный треугольник. Два свойства равнобедренного треугольника. Признак и равнобедренного треугольника.

2. Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусами описанной и вписанной окружностей (вывод формул). Формулы этой зависимости для правильных треугольника, четырехугольника, шестиугольника.

3. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит сторону АС в отношении 2:7, считая от вершины А. Найдите стороны отсеченного треугольника, если АВ=10см, ВС=18см, АС=21,6см.

4. а) Одна из сторон треугольника равна 8,а два из его углов равны 30⁰ 45⁰. Найдите все возможные значения периметра треугольника.

б) Один из углов треугольника 150⁰, а две из его сторон равны 2 и 7. Найдите все возможные значения площади треугольника.

5. В параллелограмме АВСD биссектрисы углов В и С пересекаются в точке L, лежащей на стороне АD. Найдите периметр параллелограмма АВСD, если известно, что СL=12 и S_ABL=15.

_________________________________________________________________

Билет №2.

1. Признаки равенства треугольников (доказательство одного из них на выбор члена аттестационной комиссии).

2. Деление отрезка на п равных частей.

3. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1:2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга.

4. а) В треугольнике АВС углы А и В равны 38⁰ и 86⁰ соответственно. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания сторон с вписанной в АВС окружностью.

б) В треугольнике АВС известно, что АВ= с, АС= b, ВС= а. Найдите длины каждого из шести отрезков, на которые разбивают стороны треугольника точки касания вневписанных окружностей.

5. Правильный 12-угольник А₁…А₁₂ вписан в окружность радиусом 7. Найдите площадь треугольника А₁А₂А₇.

_________________________________________________________________

Билет №3.

1. Пропорциональные отрезки в круге.

2. Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого п-угольника.

3. Найдите площадь треугольника с вершинами А(1;4), В(-3;-1), С(2;-2).

4. а) Напишите уравнение всех прямых, отсекающих от окружности х²+у²=25 хорду длины 6.

б) Найдите ГМТ точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин равностороннего треугольника равна квадрату периметра этого треугольника.

5. Площадь параллелограмма равна 45 , А=60⁰, АВ:AD=10:3. Биссектриса угла А пересекает сторону параллелограмма в точке М. Найдите длину отрезка АМ.

Билет №4.

1. Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых (доказательство одного из них на выбор члена аттестационной комиссии).

2. Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным второму катету b и острому углу .

3. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны 120⁰ и 64⁰.

4. а) В окружность вписан одиннадцатиугольник, одна из сторон которого равна радиусу окружности, а остальные 10 сторон равны между собой. Найдите углы одиннадцатиугольника.

б) на окружности с центром в точке О выбраны точки М и N. Вторая окружность вдвое меньшего радиуса касается первой в точке М и делит пополам отрезок ОN. Найдите угол ОNМ.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в параллелограмм, если его диагонали равны 12 и 3 .

_________________________________________________________________

Билет №5.

1. Теоремы об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей (доказательство одной из них на выбор члена аттестационной комиссии).

2. Вывод формулы площади треугольника S=1/2 ab∙sinC.

3. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.

4. а) Точка F лежит на стороне АВ правильного восьмиугольника АВСDМNPQ так, что АF=3 , FВ= . Найдите расстояние от точки F до прямых, содержащих стороны восьмиугольника.

б) АВСDЕF – правильный шестиугольник площади S. Какая фигура образуется при пересечении треугольников АСЕ и ВDF? Найдите ее площадь.

5. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

_________________________________________________________________

Билет №6.

1. Внешний угол треугольника (определение). Теорема о внешнем угле треугольника. Сумма внешних углов п-угольника.

2. Нахождение значений синуса, косинуса и тангенса угла в 45⁰.

3. Объясните, как разделить данный треугольник на два треугольника, площади которых относятся как 1:2.

4. а) В треугольнике АВС АВ=2, ВС=3 и угол ВАС в 3 раза больше угла ВСА. Найдите радиус описанной окружности.

б) В треугольник АВС А =45⁰, АВ=7, АС=4 . Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольника АСА₁ и ВАА₁, где АА₁ – высота треугольника АВС.

5. В треугольнике ВСЕ сторона СЕ=3ВС, С=60⁰. Около треугольника описана окружность радиусом 8 . В него вписана окружность с центром О. Луч СО пересекает ВЕ в точке К. Найдите КЕ.

Билет №7.

1. Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек.

2. Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора.

3. Найдите площадь трапеции с боковыми сторонами 13 и 20 и основаниями 6 и 27.

4. а) Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции (их длины а и b) и делящего трапецию на две равновеликие части.

б) Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований.

5. В равнобокой трапеции одно из оснований в 2 раза больше другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите меньшее основание трапеции, если ее площадь равна 27 .

________________________________________________________________

Билет №8.

1. Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника (с доказательством).

2. Выражение расстояния между двумя точками через координаты этих точек (три случая).

3. Найдите ГМТ, являющихся серединами равных хорд окружности.

4. а) В круговой сектор с углом 60⁰ помещен круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите отношение площади сектора и площади круга.

б) Найдите площадь фигуры и длину границы фигуры, являющейся общей частью двух кругов радиуса R каждый, если расстояние между их центрами также равно R.

5. Найдите площадь правильного многоугольника, если его внешний угол равен 30⁰, а диаметр описанной около него окружности равен 8 см.

_________________________________________________________________

Билет №9.

1. Признаки параллелограмма с доказательством.

2. Построение треугольника по трем сторонам.

3. Один из углов равнобедренного треугольника 120⁰. Найдите отношение сторон этого треугольника.

4. а) В равнобедренную трапецию с острым углом вписана окружность. Какой процент площади трапеции занимает площадь четырехугольника с вершинами в точках касания?

б) Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1:2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

5. К окружности проведены касательные МА и МВ (А и В – точки касания). Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 20см, а расстояние от точки М до хорды АВ равно 9см.

_________________________________________________________________

Билет №10.

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников (доказательство всех 5 признаков).

2. Окружность (определение). Формула для вычисления длины окружности (без вывода). Вывод формулы длины дуги окружности.

3. Докажите, что если диагонали четырехугольника АВСD взаимно перпендикулярны, то АВ²+СD²=ВС²+АD².

4. а) В треугольнике АВС точки А₁ В₁ и С₁ делят стороны ВС, АС и АВ соответственно в отношениях: ВА₁:А₁С=3:7; АВ₁:В₁С=1:3; АС₁:С₁В=1. Найдите отношение площадей треугольников АВС и А₁В₁С₁.

б) В прямоугольнике АВСD АD:АВ=5:3. На сторонах АВ, ВС, СD и DА выбраны точки Е, F, М и Р соответственно так, что АР:РD=2:3, ЕFМР – роб. Найдите отношение площадей прямоугольника и ромба.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВСD, если она касается стороны ВС в точке Р и известно, что ВD=ВС=15см, СР=12см.

_________________________________________________________________

Билет №11.

1. Параллелограмм (определение). Свойства параллелограмма с доказательством (не менее четырех свойств).

2. Построение биссектрисы угла. Свойство биссектрисы угла треугольника.

3. Докажите, что в прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу относятся как квадраты катетов.

4. а) Две медианы треугольника равны 3 и 4. В каких пределах может изменяться третья медиана? При каких ее значениях треугольник будет прямоугольным?

б) Две высоты треугольника равны 2 и 3. В каких пределах может изменяться третья высота? При каких ее значениях треугольник будет прямоугольным?

5. В остроугольном треугольнике АВС А=60⁰, ВС=10см, отрезки ВМ и СК – высоты. Найдите длину отрезка КМ.

_________________________________________________________________

Билет №12.

1. Прямоугольник (определение). Свойства прямоугольника (все общие и одно особое). Признаки прямоугольника.

2. Нахождение катета и острых углов прямоугольного треугольника по данным гипотенузе и другому катету.

3. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

4. а) Найдите расстояние от центра окружности радиуса 9см до точки пересечения двух взаимно перпендикулярных хорд длиной 16см и 14см соответственно.

б) Точка А лежит внутри круга с центром О и радиусом R так, что ОА= а (а <R). Докажите, что для любой хорды МN, проходящей через точку А, выполняется соотношение МА∙АN=R²– a ².

5. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна 14см. Боковая сторона равна 4 см, а одно из оснований трапеции является диаметром описанной окружности.

_________________________________________________________________

Билет №13.

1. Ромб (определение). Свойства и признаки ромба.

2. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой (2 случая).

3. Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в 2 раза меньше расстояния от этой же точки до вершины.

4. а) Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 3 и 5см. В каких пределах может изменяться периметр треугольника?

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки 5 и 12 см точкой касания вписанной в треугольник окружности. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса его меньше угла?

5. Две стороны параллелограмма равна 13 и 14см, а одна из диагоналей равна 15см. Найдите площадь треугольника, отсекаемого от параллелограмма биссектрисой его угла.

_________________________________________________________________

Билет №14.

1. Решение треугольника: найти неизвестные элементы треугольника, если известны две его стороны и угол между ними.

2. Вписанный четырехугольник.

3. Докажите, что градусная мера угла, вершина которого лежит вне окружности, равна полуразности градусных мер дуг, заключенных между его сторонами.

4. а) Постройте отрезок длины , где а>b, если а и b – длины двух данных отрезков.

б) Постройте треугольник по трем точкам касания его сторон с вписанной в треугольник окружностью.

5. В треугольник АВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник DEF так, что его гипотенуза DF параллельна стороне АС, а вершина Е лежит на стороне АС. Найдите высоту треугольника АВС, проведенную к стороне АС, если АС=16, DF=8.

_________________________________________________________________

Билет №15.

1. Средняя линия треугольника и трапеции (определение). Теоремы о средней линии треугольника и трапеции.

2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него.

3. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 2 , а основания равны 5 и 8. Найдите диагональ трапеции.

4. а) В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10см, а основание 6см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах треугольника.

б) На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность.

5. Найдите площадь параллелограмма КМNО, если его большая сторона равна 4 , диагональ МО=5, МКО=45⁰.

______________________________________________________________________________

Билет №16.

1. Признаки подобия треугольника (с доказательством).

2. Построение касательной к окружности (2 случая).

3. Стороны прямоугольника равны 5 и 4см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите длины этих частей.

4. а) АВСD – квадрат со стороной а. Вершины С, А и В являются серединами отрезков ВМ, ND, DF соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника NFМ.

б) Квадрат АВСD со стороной 8см повернули вокруг его центра О так, что точка К, лежащая на стороне АВ, где АК=1, перешла в точку на стороне ВС. Найдите всевозможные расстояния между точкой D и ее образом D₁ при этом повороте.

5. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60⁰, а площадь равна 24 , вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

______________________________________________________________________________

Билет №17.

1. Вывод формулы площади треугольника S=1/2∙а∙h_a.. Формула Герона.

2. Решение треугольника: найти неизвестные элементы треугольника, если известны его сторона и два прилежащих к ней угла.

3. Сумма углов выпуклого многоугольника в 2 раза меньше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника.

4. а) Найдите угол между векторами и , если =4, ,

(3 +2 )(2 –3 )=42.

б) Дано =5, =4, . Вычислите

5. Средняя линия трапеции равна 15м, сумма углов при одном из оснований равна 90⁰. Найдите площадь трапеции, если одна боковая сторона рана м, а разность оснований равна 10м.

______________________________________________________________________________

Билет №18.

1. Вывод формул площади параллелограмма S= а ∙ h_a; S=1/2∙ d₁ ∙ d₂ ∙sin().

2. Вывод формулы радиуса описанной и вписанной окружностей (для треугольника).

3. Диагональ параллелограмма делит его угол на части, равные 45⁰ и 30⁰.Найдите отношение сторон параллелограмма.

4. а) Постройте отрезок , где а и с – длины данных отрезков.

б) По данным четырем отрезкам a, b, c, d постройте трапецию с основаниями а и b. При каком соотношении между длинами этих отрезков это возможно?

5. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что сумма углов В и С равна углу АКВ, АК=5м, ВК=16м, КС=2м. Найдите сторону АВ.

______________________________________________________________________________

Билет №19.

1. Трапеция (определение). Вывод формулы площади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции (без доказательства).

2. Уравнение окружности (вывод). Взаимное расположение прямой и окружности в координатах.

3. Точки М, N, Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС, причем МN||АС, NР||АВ. Найдите стороны четырехугольника АМNР, если АВ=16см, АС=24см, РN:МN=2:3.

4. а) Найдите острые углы треугольника АВС, если С=90⁰, АС=2 , ВК=1, где СК – высота треугольника.

б) В треугольник АВС вписана окружность. С₁, В₁ – точки ее касания со сторонами АВ и АС соответственно; АС₁=7, ВС₁=6, В₁С=8. Найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника АВС окружностей.

5. На стороне АВ параллелограмма АВСD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны АD. Найдите углы параллелограмма.

______________________________________________________________________________

Билет №20.

1. Теорема Пифагора (прямая и обратная) с доказательством.

2. Правильный многоугольник (определение). Построение правильного четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника.

3. Две стороны треугольника равны 17см и 28см, а высота, проведенной к большей из них, равна 15см. Найдите медиану треугольника, проведенную к меньшей из данных сторон.

4. а) Средняя линия трапеции равна 8см и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2см. Найдите основания трапеции.

б) Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности, описанной около правильного треугольника, до трех его вершин постоянна и равна удвоенному квадрату стороны этого треугольника.

5. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно основанию АС проведена прямая ВD. Через точку К – середину высоты ВН, проведен луч АК, пересекающий прямую ВD в точке D, а сторону ВС – в точке N. Определите, в каком отношении точка N делит сторону ВС.

______________________________________________________________________________

Билет №21.

1. Теорема синусов.

2. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой (2 случая).

3. Известно, что в равнобокую трапецию с боковой стороной, равной 5, можно вписать окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

4. а) Найдите площадь квадрата, вписанного в ромб со стороной 6см и углом 30⁰ (сторона квадрата параллельна диагонали ромба).

б) Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции (их длины а и b) и делящего трапецию на два подобных четырехугольника.

5. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8см, боковая сторона равна 9см, а диагональ равна 11см. Найдите меньшее основание трапеции.

______________________________________________________________________________

Билет №22.

1. Теорема косинусов.

2. Описанный четырехугольник.

3. Докажите, что биссектриса АА₁ треугольника АВС вычисляется по формуле АА₁ = .

4. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами трех попарно касающихся окружностей радиусов 1; 1 и –1.

б) Круги радиусов 1; 6 и 14 касаются друг друга. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в центрах данных кругов.

5. В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Касательная МК к этой окружности пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и К. Найдите периметр треугольника ВМК, если ВЕ=6.

___________________________________________________________________________

Билет №23.

1. Выражение координат середины отрезка через координаты его концов (рассмотреть все случаи).

2. Решение треугольника: найти неизвестные элементы треугольника, если известны три его стороны.

3. Докажите, что медиана треугольника со сторонами а,b,c, проведенная к стороне а, вычисляется по формуле .

4. а) Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а также продолжений его обоих катетов, имеет радиус R.. Найдите периметр треугольника.

б) В прямоугольном треугольнике АВС С=90⁰, СD – высота, а один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках АСD и ВСD проведены биссектрисы DK и DР соответственно. Найдите площадь треугольника АВС, если КР=4.

5. В треугольнике СЕН С=45⁰, точка Т делит сторону СЕ на отрезки СТ=2м и ЕТ=14м, СНТ= СЕН. Найдите площадь треугольника СНТ.

______________________________________________________________________________

Дата добавления: 2015-09-30