|
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ: «ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА»
1. С помощью функции Ляпунова вида исследовать устойчивость точки системы.
2. Построив (каким-либо образом) функцию Ляпунова, исследовать устойчивость нулевого решения, используя теоремы Ляпунова (об устойчивости и асимптотической устойчивости) или Четаева (о неустойчивости).
(Устойчива) |
(Неустойчива) |
(Неустойчиво) | (Устойчиво) | Пилявский Д. Белоглазов А. Внуков В. Голованов Д. Клименко И. Погребная М. Сидорова Н. |
(Устойчива) |
(Неустойчива) |
(Неустойчиво) | (Устойчиво) | Савостина М. Белоножко Е. Гречихин А. Клещёв А. Курапова Э. Середа Е. Тимоничев Д. |
Замечание 1. Данную домашнюю работу сдаем в пятницу 1 июня 2012 года.
Замечание 2. Теорема Четаева. Пусть система , где , , имеет нулевое решение. Пусть в некоторой области существует функция такая, что:
1) ( – граница области ); 2) ( – окрестность нуля); 3) в области при , где – непрерывная функция. Тогда нулевое решение системы неустойчиво.
Замечание 3. Пример построения функции Ляпунова методом разделения переменных: Исследовать на устойчивость нулевое решение системы:
Решение. Найдем функцию Ляпунова .
Так правые части данной системы – функции , - представляют собой суммы функций, зависящих только от одной переменной, то будем искать функцию в виде
.
Найдем производную функции в силу данной системы:
.
Потребуем от функции условия разделения переменных (т.е. – есть функция, представляющая собой сумму функций, зависящих только от одной переменной). Это возможно лишь при выполнении условия .
Откуда получаем, что . Записанное равенства, в силу того, что каждая часть последнего равенства зависит только от одной переменной, возможно только при условии, что каждая часть этого равенства есть постоянная, причем одна и та же, то есть .
Пришли к двум УРП:
1)
2)
Пусть , тогда , а .
Убедимся, что – функция Ляпунова в , где есть :
1) ;
2) , если , то есть .
Таким образом, в существует функция Ляпунова , а значит нулевое решение системы устойчиво.
Дата добавления: 2015-09-30; просмотров: 34 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Наприкінці X – в першій половині XІ ст. адміністративним осередком земель Волині і Підкарпаття був Володимир – місто, що його заснував і назвав власним ім’ям князь Володимир Святославич. Він | | | Шарлин Харрис Мёртвые и забытые 1 страница |