( Фихтенгольц Г.М. Основы Мат Анализа 2 стр.87-102)

(Фихтенгольц Г.М. Основы Мат Анализа 2 стр.87-102)

§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И РЯДЫ МНОГОЧЛЕНОВ

272. Промежуток сходимости степенного ряда.

Изложенная в предыдущем параграфе теория находит себе важное приложение при изучении свойств степенных рядов, расположенных либо просто по степеням переменной x:

(1)

либо же — в общем случае — по степеням двучлена х - x₀:

(2)

(a₀, a_1, a₂ , … означают здесь постоянные коэффициенты). С подоб­ными рядами в конкретных случаях мы уже не раз встречались (особо см. § 6 главы XV). Теперь же мы займемся изучением в общем виде, так сказать, самого этого аналитического ап­парата для представления функций. Очевидно, можно ограничиться рядами (1), так как ряд (2) приводится к (1) заменой переменной.

Попытаемся, прежде всего, выяснить строение «области сходимости» степенного ряда, т. е. множества Х = {x} тех значений x = Х. переменной, для которых ряд (1) сходится. Путь к этому открывает следующая

Лемма. Если ряд (1) сходится для значения х = x, отличного от 0, то он абсолютно сходится для любого значения х, удовлетворяющего неравенству:

|x| < |x|

Из сходимости ряда:

вытекает, что его общий член стремится к '0 [п°235, 5°], я следовательно, ограничен [п°38, 5)]:

(n = 0, 1, 2,...). (3)

Возьмем тетерь любое х, для которого |x| < |x|, и составим ряд

(4)

Так как [см. (3)]:

и члены ряда (4) оказываются меньшими соответствующих членов сходящейся геометрической прогрессии (со знаменателем |x\x | < 1):

то, по теореме I п°237, ряд (4) сходится. В таком случае, как мы знаем, ряд (1) сходится абсолютно, что и требовалось доказать.

При х = 0 сходится, очевидно, всякий ряд (1). Но есть степенные ряды, которые — помимо этого — не сходятся ни при одном значении х. Примером такого «всюду расходящегося» ряда может служить ряд n!xⁿ, как в этом легко убедиться с помощью признака Даламбера.

Подобные ряды для нас не представляют интереса.

Предположим же, что для ряда (1) среди значений X переменной, при которых он сходится, есть и отличные от 0. Рассмотрим множество {|х|}; оно либо ограничено сверху, либо нет.

В последнем случае, какое бы значение х ни взять, необходимо найдется такое X, что | х | < | X |, а тогда по лемме при взятом значении х ряд абсолютно сходится. Ряд оказывается «всюду сходящимся».

Пусть теперь множество {| х |} сверху ограничено, и R будет его точная верхняя граница (так что 0< Я< ∞). Если |x| > R, то это значение х заведомо разнится от всех x, и ряд расходится.

Возьмем теперь любое х, для которого |x| < R. По определению точной границы [п° 6], необходимо найдется такое X, что |x|<|x| ≤ R; а это по лемме снова влечет за собой абсолютную сходимость ряда (1).

Таким образом, доказана общая

Теорема.

Для каждого степенного ряда (1), если только он не является всюду расходящимся, существует такое положительное число R (оно может быть и +∞), что ряд абсолютно сходится для |x| < R и ряд расходится для |x| > R

(если R< ∞)

Это число R называется радиусом сходимости ряда.

Тем самым разрешен вопрос об «области сходимости» X ряда: она представляет собою сплошной промежуток от — R до R; лишь о концах его нельзя сделать общего утверждения: как увидим из примеров, там может иметь место как сходимость (абсолютная или нет), так и расходимость. Промежуток X называется промежутком сходимости ряда.

Для всюду расходящегося ряда принимают R = 0: его «промежуток сходимости» сводится к точке х=0.

ПРИМЕРЫ. 1) Для ряда

R= ∞, промежуток сходимости (-∞;+∞)

2) В случае прогрессии

R= 1, промежуток сходимости (-1;+1)

3) Ряд

имеет R = 1, промежуток сводимости [— 1, +1|: оба конца включаются, во сходимость там неабсолютная [п° 255].

4) Для ряда

R = 1, промежуток сходимости (- 1, +1]: левый колец не включается, а на правом — ряд сходится неабсолютно

[п° 256].

5) Наконец, рассмотрим ряд

здесь тоже R = 1, промежуток СХОДИМОСТИ [-1, + 1], ряд сходится абсолютно и на концах (ввиду сходимости ряда )

Все сказанное сохраняет силу и для общего ряда (2), лишь роль точки 0, играет точка X₀: промежуток сходимости простирается от Хо — R до Хо + R (со включением концов или нет, смотря по случаю).

ЗАМЕЧАНИЕ.

ЕСЛИ повторить изложенные соображения для ряда

(1а)

расположенного по степеням комплексной переменной z, с комплексными же коэффициентами [п°.254], то окажется, что и дня таких рядов теорема справедлива: для каждого ряда (1а) (если исключить всюду расходящиеся!) существует такое число R, 0 < R ≤ ∞, что для | z | < R ряд абсолютно сходится, а для | z | > R — расходится. Но на «комплексной плоскости> точки, для которых | z | < R, заполняют круг радиуса R (с центром в точке z = 0); таким образом, здесь появляется круг сходимости (вместо промежутка сходимости), и становится понятным происхождение названия радиуса сходимости.

273. Непрерывность суммы степенного ряда.

Пусть ряд (1) имеет радиус сходимости R > 0, Прежде всего можно утверждать;

1°. Какое бы положительное число r<R ни взять, ряд (1) будет сходиться равномерно относительно х в замкнутом промежутке [-r,r].

Действительно, так как r < R то при х = r ряд (1) сходится абсолютно, т. е. сходится положительный ряд:

(5)

При |x| < r члены ряда (1) по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов этого ряда, который, таким образом, играет роль мажорантного ряда, в по признаку Вейерштрасса ряд (1) для указанных значений х сходится равномерно.

Хотя число г и может быть взято сколь, угодно близкий R, но из доказанного все же не вытекает равномерная сходимость в промежутке (-R, R): это видно хотя бы на примере прогрессии

Теперь, как следствие теоремы 1, п° 266, получаем:

2°. Сумма f(х) степенного ряда (1) внутри его промежутка сходимости представляет собой непрерывную функцию от х.

Какое бы значение х = х0 внутри промежутка сходимости, т. е. между -R и R, ни взять, можно выбрать число 0< г< Я так, чтобы было |х0| < г. Применив упомянутую теорему 1 в промежутке [-r, г], ввиду 1°, установим непрерывность функции f(х) в этом промежутке, следовательно, в частности, и при х = х0.

[Обращаем внимание читателя на то, что мы избежали применений теоремы 1 в промежутке (-R, R)„ где равномерная сходимость не может быть гарантирована.]

Непрерывность суммы степенного ряда может быть использована для доказательства теоремы о тождестве степенных рядов (напоминающей подобную же теорему для целых многочленов):

3°. Если два степенных ряда

^и

в окрестности точка x = 0 имеют одну и ту же сумму, то эти ряды тождественны, т. е. соответственные коэффициенты их попарно равны:

Полагая x = 0 в тождестве требуется доказать, что сразу убеждаемся в равенстве .Отбрасывая эти члены в обеих частях написанного тождества и деля их на x (в этом, случае мы вынуждены считать х неравным 0, получим новое тождество).

Оно также имеет место в окрестности точки x = 0, но исключая саму эту точку, так что безоговорочно положить в этом тождестве х = 0,мы не имеем права. Лишь непрерывность сумм обоих рядов при х = 0 позволяет нам заключить, что тождество все же выполняется и в исключенной точке, а тогда полагая х = 0 — получим, что a1 = b1. Отбрасывая эти члены, деля на х неравное 0 и снова опираясь на непрерывность (как и только что), найдем, что a1 = b2, и т. д. Общее утверждение оправдывается с помощью математической индукции.

Эта теорема, устанавливающая единственность разложения функций в степенной ряд, впервые была указана Эйлером.

274. Непрерывность на конце промежутка сходимости.

Рассмотрим теперь более тонкий вопрос о поведении степенного ряда (1) вблизи одного из концов x = R его промежутка сходимости (считая R конечным). При этом мы можем ограничиться правым концом х = R, все сказанное о нем, с помощью простой замены х на - х, переносится и на случаи левого конца х =R.

В виде дополнения к теореме 2 о непрерывности суммы степенного ряда в открытом промежутке (— R, R), имеет место

4°. Теорема Абеля.

Если степенной ряд (1) сходится (хотя бы неабсолютно) при х = R, то его сумма f(х) при этом значении непрерывна слева, т. е. f(R-0) =

Для доказательства можно было бы установить, что предположения теоремы влекут за собой равномерную сходимость ряда (1) в замкнутом промежутке [0, R] а затем применить общую теорему 1

[п° 266.] Мы предпочитаем дать прямое доказательство.

Без умаления общности можно считать R = 1 (к этому случаю вопрос сводится заменой х на Rx). Итак, зная, что сходится ряд

требуется доказать, что

С этой целью, считая впредь 0< x < 1, умножим по правилу Коши ряд (1) на прогрессию

мы получим

где A_{n =} a₀,+ a₁ + a₂ … a₀

Вычтем почленно теперь ряды

A = (1-x) A_nxⁿ

И

a_nxⁿ = (1-x) A_nxⁿ

пологая что A - A_n = a_n, приведём к тождеству

А - a_nxⁿ = (1-x) а_nxⁿ

Так как а_n —> 0 [п*235, 2'], то по произвольно заданному e > 0 найдется такой номер N, что |а_n| < 1\2, лишь только n > N.

Разобьем сумму ряда в правой части (6) на две суммы

(1-x) а_nxⁿ и (1-x) а_nxⁿ

Вторая оценивается сразу и независимо от х:

| (1-x) а_nxⁿ | ≤ (1-x) |а_n|xⁿ < (ε\2)(1-x) xⁿ < e\2

Что же касается первой, то она стремится к 0 при х ~> 1, и при достаточной близости х к 1 будет

| (1-x) а_nxⁿ | < e\2

так что окончательно

|A - (1-x) а_nxⁿ | < e

что и доказывает высказанное утверждение.

Отсюда вытекает такое простое

Следствие.

Если для функции f(x), получено разложение в степенной

ряд лишь в открытом промежутке

f(x) = а_nxⁿ (-R < x < R)

но функция определена и непрерывна, а ряд продолжает сходиться а на конце этого промежутка, скажем, при х = R, то разложение остается верным и для х = R

В этом легко убедиться, переходя в написанном равенстве к пределу при х -> R — 0.

275. Почленное интегрирование степенного ряда.

По отношению к интегрированию и дифференцированию степенные ряды — в пределах их промежутка сходимости—ведут себя, как обыкновенные целые многочлены.

5°. Степенней ряд (1) в промежутке [0, х], где |x| < R, всегда можно интегрировать почленно, так что — обозначая через f(x) сумму ряда: = a₀x+(a₁\2)x²+(a₂\3)x³+…+(a_n\n)xⁿ+…, (7)

Для доказательства возьмем r между |х| и R. В силу 1° ряд (1) сходится равномерно в промежутке [-r, r], а тогда по теореме 4 п° 269 в промежутке [0, х] ряд можно почленно интегрировать.

Проиллюстрируем многообразные приложения этой теоремы на примерах.

1) Почленным интегрированием прогрессий

1\(1+x) = 1 – x + x² + … + (-1)^n-1x^n-1+…

1\(1+x²) = 1 – x² + x⁴ + … + (-1)^n-1x^2(n-1)+…

в промежутке [0, х], где |х| < 1, сразу получаются разложения

= ln(1+x) = x – x²\2 + x³\3 + … + (-1)^n-1x^n-1\n…

= arctg(x) = x – x³\3 + x⁵\5 + … + (-1)^n-1x^2n-1\(2n-1)…

которые в п* 257 и 256 были установлены гораздо более сложным путем.

Так как первый ряд сходится при х = 1, а второй — при x = ±1, то соответствующие разложения (по следствию из теоремы Абеля) имеют место и при этих значениях.

2) Возьмем известное нам разложение в ряд функции

(1 + x)^-1\2 [n* 258] и заменим в нем х на —х² (считая | х | < 1); в результате найдем, что

(-1< x < 1).

Проинтегрируем теперь этот ряд почленно в промежутке

[0, х] (- 1 < х < 1) окончательно получим новое для нас разложение арксинуса:

По следствию из теоремы Абеля [п" 274], это разложение имеет место и на концах х = ±1 промежутка, поскольку ряд справа сходится и в этих точках.

3) Особую роль почленное интегрирование играет при разложении в бесконечные степенные ряды многих интегралов, не выражающихся через элементарные функции в конечном виде

[n° 165]. Например, исходя из известного разложения

найдём

Подобные разложения с успехом могут быть использованы для приближенных вычислений и для составления таблиц значений интегралов, не выражающихся в конечном виде.

276. Почленное дифференцирование степенного ряда.

6°. Степенной ряд (1) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно, так что для суммы f(х) ряда существует производная и выражается так:

(8)

Какое бы значение x = x₀ — R < x₀ < R, ни взять, можно выбрать два числа r₀, и r так, чтобы было | x₀| < r₀ < r < R.

Ввиду сходимости ряда (5), его общий член ограничен:

(n=1,2,3,…; L=const).

Тогда, при | x| = r₀,

так что члены ряда (8), для указанных значений х, не превосходят соответствующих членов мажорантного ряда

в сходимости которого легко убедиться с помощью признака Даламбера (приняв во внимание, что — r₀\r < 1). Поэтому в промежутке [- r₀, r₀] ряд (8), составленный из производных членов ряда (1), сходится равномерно, и — по теореме 5 п°270 — почленное дифференцирование ряда (1) оправдано для всего промежутка [- r₀, r₀] и, в частности, для точки х = х₀.

ЗАМЕЧАНИЕ.

МЫ доказали в 5° и 6°, что ряды (7) и (8) сходятся в открытом промежутке (— R, R), следовательно, их радиусы сходимости не меньше R. Но ведь, в свою очередь, ряд (1) получается почленным дифференцированием (7) и почленным интегрированием (8), так что и R не может быть меньше упомянутых радиусов сходимости. В совокупности из сказанного вытекает, что радиусы сходимости всех трех рядов (1). (7), (8) равны между собой.

ПРИМЕР. Чтобы показать теорему 6° в действии, рассмотрим дифференциальное уравнение

xu’’ + u’ +xu = 0

(простейший случай так называемого уравнения Бесселя*, часто встречающегося в математической физике и ее приложениях). Поставим себе задачей: найти такое его решение и, которое разлагалось бы в ряд для всех х.

Напишем разложение искомой функции в виде ряда с неопределенными коэффициентами:

и, считая его всюду сходящимся, дважды продифференцируем почленно; мы получим

Подставляя это в уравнение, придем к тождеству

а тогда, по теореме 3°,

(n=2,3,…).

Отсюда, прежде всего, по индукции заключаем, что все коэффициенты с нечетными значками (m=1,2,3,…); что же касается коэффициентов с четными значками а_2m, то по рекуррентной формуле

они выразятся через а₀:

Итак, с точностью до произвольного множителя ай, получается окончательно ряд

Что этот ряд действительно всюду сходится, легко проверить непосредственно. А из самого способа его получения явствует, что представляемая им функция *) удовлетворяет уравнению.

Обращаем внимание читателя на своеобразное использование метода неопределенных коэффициентов; здесь этих коэффициентов бесконечное множество, и пришлось прибегнуть к теореме о тождестве степенных рядов, вместо обычно применяемой теоремы о тождестве многочленов.

277. Степенной ряд как ряд Тейлора. Последняя теорема 6° открывает возможность последовательного многократного дифференцирования степенного ряда. Таким образом, по-прежнему обозначая через f(x) функцию, представляемую степенным рядом (1) в его промежутке сходимости, будем иметь повсюду внутри этого промежутка:

Если положить во всех этих равенствах х = 0, то придем к хорошо нам знакомым выражениям коэффициентов степенного ряда:

[ср. п°252, (7)]. Если бы речь шла о ряде общего вида (2) [п°272], то пришлось бы здесь лишь вместо значения х — 0 подставить х — ха. Итак:

7°. Функция, представляемая степенным рядом в его промежутке сходимости, имеет, внутри этого промежутка производные всех порядков. Самый ряд, по отношению к эгкой функции, является не кем иным, как ее рядом Тейлора.

Это замечательное предложение проливает свет на вопросы разложения функций в степенные ряды, которыми мы занимались в предыдущей главе. Мы видим, что если функция вообще разлагается в степенной ряд, то необходимо—в ряд Тейлора; поэтому-то мы и ограничивались исследованием возможности для функции быть представленной именно своим рядом Тейлора.

278. Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Класс функций, допускающих разложение в степенной ряд, крайне ограничен. Теорема 7° предыдущего номера говорит о том, что функция, разлагающаяся в каком-либо промежутке в степенной ряд, во всякой случае должна иметь здесь производные всех порядков; да и это тяжелое условие, как мы знаем из § 6 главы XV [особо cu. n° 259I], далеко не обеспечивает возможности степенного разложения.

В этой связи приобретает важность доказанная Вейерштрассом (в 1835 г.) теорема, которая устанавливает для произвольной непрерывкой функции возможность разложения в равномерно, СХОДЯЩИЕСЯ ряд, составленный из целых многочленов. Мы сформулируем ее на языке последовательностей:

Теорема Вейерштрасса.

Если функция f(x) непрерывна в конечном замкнутом промежутке [а, Ь], то существует последовательность целых многочленов {Рn(х)}г которая в этом промежутке равномерно сходится к f{x).

Предположим сначала, что речь идет о промежутке [0, 1].

Тогда требованиям теоремы удовлетворяет конкретная последовательность многочленов (9)

Для доказательства этого нам понадобится ряд простых тождеств.

Прежде всего, при любом натуральном n,

(10)

что сразу получается из разложения (а + b)ⁿ по биномиальной формуле Ньютона, если взять а = х, b=1— х. Далее,

(11)

Действительно, отбрасывая слагаемое, отвечающее v = х каждое из остальных можно переписать в виде

или, если ввести значок

Вынося nх за скобки, в скобках подучим сумму

равную 1 в силу (10). Аналогично и

(12)

Наконец, умножая (10) на п²x², а (11) на — (2nх—1), сложим эти тождества почленно с (12). В результате мы придем к тождеству

или, после упрощений,

Если принять во внимание, что — при любом х —

то получится неравенство

(13)

которым мы непосредственно и воспользуемся.

Фиксируем по произволу х в промежутке [0, 1]. Ввиду (10), можно написать

Вычтем последнее равенство почленно из (9):

(14)

Для оценки этой разности отдельно рассмотрим слагаемые, отвечающие близким к х точкам v\n, и прочие слагаемые. Точнее говоря, по заданному

числу е > 0— ввиду непрерывности, а следовательно [п*75] и равномерной непрерывности функции f(x) — найдется такое число, из

следует |f(x’’)-f(x’) < e (0≤x’,x’’≤1)

Вот мы и разобьем сумму в (14) на две, £i и £„ относя в первую слагаемые, для которых , а во вторую —те, для которых .

В первом.случае, очевидно,

Во втором же, вводя наибольшее значение М для f(x) имеем такую оценку;

Но здесь так что тем более

Окончательно, используя неравенство (13), получаем

Если взять то (независимо от х!) будет и

а тогда, по совокупности,

что и доказывает требуемое утверждение — пока для промежутка [0, 1].

Случай же произвольного промежутка [а, Ь] приводится к рассмотренному простым преобразованием переменной: х = а +у(Ь — a), где 0 ≤ y ≤ 1

Построенная по непрерывной функции от последовательность многочленов Вn(у) сходится к ней равномерно для у в [0, 1]. Тогда

последовательность многочленов будет сходиться к

функции f(x) равномерно для х в [а, Ь].

Теорема доказана.

Переходя обычным образом от функциональной последовательности к функциональному ряду [см. п" 263 и 264], можно представить теорему Вейерштрасса и в такой форме:

Каждая непрерывная в промежутке [а, Ь] функция f(x) разлагается в этом промежутке в равномерно сходящийся ряд

составленный из целых многочленов.

Подобное разложение в отношении практических применений, разумеется, уступает разложению в ряд Тейлора, но, благодаря чрезвычайной общности, имеет большое теоретическое значение. В частности, отсюда вытекает, что каждая непрерывная функция может быть задана единым аналитическим выражением* [п" 18; ср. точку зрения Эйлера, п*21].

Дата добавления: 2015-09-30