Модель — способ замещения реального объекта, используемый для его изучения. 1 страница

Вопрос №1

Модель — способ замещения реального объекта, используемый для его изучения.

Моделирование — исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя.

Материальные или Идеальные

Материальные модели:

Пространственные, Физические, Аналоговые

Идеальные модели

Формальные, Неформальные

Формальные модели

Вербальные, Пиктографические, Математические

Неформальные модели – это свой или чужой жизненный опыт

Вопрос №2

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Вопрос №3

1. Постановка задачи и ее качественный анализ.

2. Собственно построение модели

2.1. Структурный синтез – это формирование математических зависимостей.

2.1.1. Аналитический подход связь определяется из анализа фундаментальных законов. Плюс имеется высокая научная ценность. Минус низкая практическая ценность.

2.1.2. Экспериментальный подход. Здесь структура модели задает произвольно. Минус имеется высокая научная ценность. Плюс низкая практическая ценность.

2.1.3. Экспериментально-аналитический подход. При таком подходе структура модели выводится аналитически, а параметры подбираются исходя из экспериментальных данных.

Идентификация моделей – определение параметров модели

3. Математический анализ, чисто математический этап. Который сводится к анализу модели.

4. Подготовка исходной информации. Исходных параметров и граничных условий.

5. Численное решение модели.

6. Получение результатов, оценка адекватности и применение модели.

· Не верно численное решение.

· Не верна модель.

Вопрос №4

С точки получения модели можно разделить на два типа:

· Аналитическая модель строится с использованием тех фундаментальных законов, по которым функционирует объект моделирования.

· Экспериментальная модель строится, если с помощью эксперимента.

Вопрос №5

Оценка точности модели это тоже самое что оценка адекватности модели. Различают качественную и количественную оценку адекватности модели.

· Качественная оценка – это оценка того как модель соответствует фундаментальным законам по которым функционирует объект моделирования.

Количественная оценка – оценивается по количественной мере близости: – зависит от: количества точек N, от модели и от . . Адекватной называется модель которая нас устраивает.

Вопрос №6

Классификация математических моделей основывается на классификации используемых математических средств.

· Линейные или нелинейные модели;

· Сосредоточенные или распределённые системы;

· Детерминированные или стохастические;

· Статические или динамические;

· Дискретные или непрерывные.

Вопрос №7

Фактор – переменная величина, по предположению влияющая на результат эксперимента.

Уровень фактора – фиксированное значение фактора относительно начала отчета.

Различают:

Контролируемые и управляемые факторы.

Контролируемые, но неуправляемые факторы.

Неконтролируемые факторы.

Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположению зависящая от факторов.

Пассивный эксперимент – эксперимент, при котором уровни факторов регистрируются исследователем, но не задаются.

Активный эксперимент – эксперимент, при котором уровни факторов задаются исследователем.

План эксперимента – совокупность данных, определяющие число, условие и порядок эксперимента.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего поставленным требованиям.

Качественный эксперимент – устанавливает только факт существования, какого либо явления, но не дает каких либо количественных характеристик.

Количественный эксперимент – устанавливает факт существования, какого либо явления и дает его количественные характеристики.

Функция отклика – зависимость математического ожидания от факторов.

Вопрос №8

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ОСОБЕННОСТИ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Y=f(x,a) a- параметр объекта.

В природе нет детерминированных моделей, т.е. принимаем допущение что случайные составляющие малы и не оказывают влияния на процесс исследования.

Особенности проведения эксперимента:

1) При проведении каждого эксперимента, нужно обязательно дожидаться завершения переходного процесса. Для этого нужны предварительные оценки инерционности объекта и запаздывания, чтобы знать когда получить результат.

2) Важно уметь выделить интегрирующую составляющую. Если она есть в объекте, то вообще статического режима нет. При наличии интегрирующих составляющих можно в качестве выходной величины использовать скорость изменения, она будет установившейся.

3) Необходимо контролировать все возмущения. Это относится как к тем переменным, которые не входят в модель (о части из них мы даже можем не знать), так и к тем, которые участвуют в модели, но в процессе эксперимента могут изменяться. Но во всех случаях надо искать возможности обеспечения постоянства этих переменных.

Вопрос №9

Есть две задачи построения моделей:

· Подбор структуры модели для обеспечения погрешностей меньше заданных.

· При заданной структуре модели обеспечить наименьшую погрешность путем подбора оптимальных параметров

. Вопрос №10

Этот метод аппроксимации применяется для определения коэффициентов модели, исходя из обеспечения минимума квадратичной меры близости. Возможно повышение точности в каких-либо точках, т.е. используются весовые множители.

Существует два класса задач:

1) Подобрать структуру модели и ее параметры, чтобы погрешность не превышала заданное значение.

2) Для заданной структуры подобрать параметры так, чтобы погрешность была минимально возможной.

Первая задача решается путем сведения к последовательности задач второго типа.

Часто структуру модели из графических эксперим. данных не определить, поэтому ограничиваются полиномом 2-3 степени, т.е. модель можно записать так:

где:

Вопрос №11

Метод предназначен для построения модели вида:

y=f(x₁)f(x₂)…

x1	x2	…	xn	y
°	°		°	°	1
°	°		°	°	1

Проводим эксперимент, в котором все переменные меняются. Построение модели реализуется путем последовательности этапов:

1) Полагаем что у зависит только от первой переменной y=f(x). Методом наименьших квадратов по данным столбца x₁ и y строят подходящую модель. Вид этой модели можно подобрать из графического представления:

. Если все значения очень близки к единице, то это означает, что и остальные переменные не оказывают взаимного влияния. Если отклонение от единицы есть, то это объясняется влиянием остальных переменных.

2) Предполагаем, что . Снова подбирая (визуально) вид частной модели, методом наименьших квадратов определяют в ней коэффициенты . Если коэффициенты будут не равны 1, то

добавляют еще одну переменную и т.д.

Понятие близости – это понятие субъективное. Если перебрав все переменные мы не получим значение близкое к 1, необходимо вернуться на предыдущий этап и сменить модель.

Так или иначе здесь можно сформировать подходящую структуру. Задача определения параметров модели должна быть корректной. Она называется корректной по Адамару:

1) Задача определения параметров модели имеет решение

2) Задача отыскания параметров модели должна иметь единственное решение.

3) Малому изменению условий задачи должно соответствовать малое изменение решения. Условие задачи – это экспериментальные данные, а решение – это найденные коэффициенты.

Если третье условие не выполняется, то трудно интерпретировать коэф. в модели. Первые 3 условия выполняются всегда, если мера близости квадратичная, а искомые параметры линейно входят в модель, являются коэффициентами.

Вопрос №12

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СТАТИКИ. СВОЙСТВА КОФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ.

При построении стохастических моделей её условно представляют виде суммы детерминированной и центрованной составляющих,

Под получением модели обычно понимают расчет коэффициентов и параметров по данным эксперимента. Первым этапом построения модели, в широком смысле слова, является получение экспериментальных данных.

Параметры полученной модели имеют случайный характер и нельзя пренебрегать случайными составляющими, поэтому и техника эксперимента сложнее:

1) дублирование экспериментов с целью получения более надежных данных;

2) оценка выполнения первой и второй предпосылки регрессионного анализа;

3) создание условий для повышения вероятности выполнения третьей предпосылки (рандомизация)

Построение модели базируется на регрессивном анализе – изучение взаимосвязи между неслучайными х со случайными у.

Построение стохастической модели складывается из:

2) Проведение эксперимента с использованием рандомизации

3) Оценка воспроизводимости процесса

4)Расчёт коэффициентов модели

5) Увеличение доверительных интервалов коэффициентов, расчёт статистической значимости.

6) Оценка адекватности модели

7) Анализ диаграмм остатков.

Необходимо помнить, что стохастическая (вероятностная) модель даёт расчетные значения с некоторым разбросом, который можно оценить с использованием дисперсии предсказания выходной величины:

при расчёте значения даём в виде

т.е. результаты зависят от плана эксперимента.

Вопрос №13

ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА КАК ИНСТРУМЕНТА ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ СТАТИКИ

Регрессионный анализ используется для выявления связей между неслучайными Х и случайными У. Для применения метода регрессионного анализа необходимо выполнение 3 предпосылок. Их несоблюдение приводит к некорректности многих вычислительных формул и к некорректности интерпретации результатов.

1) Выходная величина У подчинена нормальному закону распределения используем предельную теорему статики: Если причиной изменчивости какой-либо величины является множество источников с любым законом распределения, но все с примерно одинаково воздействуют на У, то распределение У будет близко к нормальному.

Если оно отклоняется от нормального при проверке, то необходимо найти небольшое число сильнодействующих возмущений и устранить их. Это не касается процессов, у которых с теоретической точки зрения законы распределения ненормальные. Регрессионный анализ применять нельзя.

В последнем случае модно поступить следующим образом:

1.Найти и устранить причину ненормальности

2.Подобрать какое-то преобразование у, которое приведет распределение к нормальному. Нередко таким преобразованием является логарифмирование.

2) Дисперсия У одинакова во всех точках допустимой области и не зависит от Х.

Осуществляем проверку однородности оценок дисперсий выходных величин.

Для этого проводим эксперимент несколько раз, получаем У и находим дисперсию разброса по формуле:

m – количество дублей.

Дисперсия – строго постоянное число, а оценка -всегда случайная величина. Поэтому, если дисперсия во всех точках одна и также, то из этого не следует, что оценки должны быть одни и те же. Но они должны находиться в определенном соотношении между собой (проверяется с помощью критерия Кохрена)

если расчетное значение критерия Кохрена меньше табличного, тогда процесс считается воспроизводимым.

3) Х устанавливаются с пренебрежимо малой погрешностью. Поэтому Х неслучайны.

Для выполнения этого условия проводим рандомизацию. Основная цель её – обеспечение случайного порядка чередования экспериментов в каждой строке плана.

Вопрос 14ОСОБЕННОСТИ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. РАНДОМИЗАЦИЯ.

Рандомизация – это обеспечение случайного порядка чередования экспериментов в каждой строке плана. Типовой способ обеспечения этой случайности заключается в следующем:

Во все клетки с будущими значениями экспериментальных данных вписываются табличные случайные числа с равномерным законом распределения. Эксперименты реализуются в порядке возрастания случайного числа. Это приводит к тому, что значения эксперимента в одной строчке плана будут получены при различных значениях Х-ов,

каждый раз устанавливаемых с малой погрешностью. Поэтому при усреднении у в строке мы, тем самым, усредняем и х в этой строке, т.е. у_ср получается при более точном, как бы постоянном значении х. Т.е. вынуждаем быть справедливой 3 гипотезу регрессионного анализа.

15 ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ПОСТРОЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ПРОЧЕЕ

После проведения эксперимента приступают к обработке его результатов, используя метод наименьших квадратов. Поскольку экспериментальные данные являются случайными значениями, то и рассчитываемы значения коэффициентов тоже будут являться случайными величинами.

Для того, чтобы найти доверительный интервал коэф-ов(а сами коэф. находятся методом наименьших квадратов по средним значениям экспериментальных данных в каждой строке) модно воспользоваться информационной матрицей Фишера:

S² – дисперсия воспроизводимости, является мерой естественного разброса у. Она зависит от условий эксперимента и человека, проводящего эксперимент.

воспроизводимых процессов.

Матрица Фишера состоит из: дисперсий коэффициентов В (S_b²) на главной диагонали и ковариаций коэффициентов во всех остальных.

Ковариация характеризует взаимосвязь коэффициентов. Если 0 то коэф несвязанны друг с другом.

Оценка статистической значимости коэффициентов

Коэф незначим, если его влияние меньше естественного разброса случайной величины. Для этого сравниваем модуль коэффициента с доверительным интервалом.

t– коэф. Стьюдента (табл.)

Коэф. статически незначим если его модуль меньше его доверительного интервала.

Коэффициенты могут быть статистически незначимы из-за:

1) соотв. фактор не оказывает влияния на вых У.

2) мал диапазон изменения фактора

3) влияние одного из факторов экстремально

Если один из коэффициентов обнулить, то необходимо пересчитать все остальные.

Если ковариации близки к 0, то можно подобрать начальные условия так, что ковариации будут равны нулю, т.е. матрица распадётся на систему нормальных уравнений, которые можно безболезненно выкинуть.

коэффициентов, то отбрасываем один и пересчитываем всё заново и так повторяем.

Оценка адекватности

Производится с помощью критерия Фишера.

найденных значимых коэффициентов без b₀.

Для каждой вероятности получаем свою матрицу

Если модель неадекватна, тогда:

* усложняем структуру модели

*сужаем диапазон экспериментирования

*снижаем требования к точности модели (повышаем вероятность, с которой нужно сделать вывод об адекватности)

Анализ остатков

Остаток – разница между экспериментальным и расчётным значением.

Анализ проводят путем построения графика зависимости остатка от порядкового номера эксперимента.

* дискретный дрейф – модель неприемлима (половина экспериментов при одних условиях, а половина при других).

* единичные выбросы – эксперимент ликвидируется и обработка повторяется заново.

* ненормальные диаграммы – дрейф в объекте.

16.ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. КРИТЕРИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЛАНОВ

Существует 2 основные группы свойств моделей:

1) Критерии, характеризующие коэффициенты модели

2) Критерии по предсказывающим свойствам

Критерии	Интерпретации
D-оптимальность	Обеспеч min средней обобщенной дисперсии коэф
A-оптимальность	Обеспеч min средней дисперсии коэф
E-оптимальность	Обеспеч отсутствие слишком больших дисперсий для отдельных коэффициентов

Min дисперсия оценки коэф	Обеспеч min самой большой оценки дисп коэф
Ортогональность	Ковар всех пар коэф равны 0. Коэф опред независимо. Необх ортогон план эксперимента

Критерии оптимальности планов по предсказательным свойствам модели

Критерии	Интерпретации
G-оптимальность	Обеспечив минимум max знач дисперсии предсказания ф-ии

Q-оптимальность	Обеспечив min средн дисперс предсказания
Рототабельность	Дисперсия предсказания ф-ий в различных направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана одинакова.

Униформность

Обеспечив примерное постоянство диспресии предсказания внутри сферы определ радиуса

Дополнительные критерии:

1) Композиционность – возможность достраивания плана, использ уже имеющ значения до другого, который позволяет получить боле сложную модель.

2) Насыщенность – характеризует соотношение количества экспериментов и число коэффициентов модели

Слабонасыщенный – если число экспериментов >>определяемых коэффициентов

Насыщенный – число экспериментов немного больше числа определяемых коэффициентов.

Сверхнасыщенный – число экспериментов < числа определяемых коэффицинтов.

Рекомендации по предпочтению того или иного плана: 1) Если план используется для построения модели, с помощью которой с помощью которой будет определяться оптимальное условие проведение процесса, то используем рототабельные и униформные планы

2) Если план будет использован для решения задач интерполяции, то выбираем D-оптимальный план.

3) Если план используется для составления модели использующейся для сопоставления влияние различных факторов, то используются ортогональные планы.

17.ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Предназначен для построения линейных много мерных моделей и неполных квадратичных (не содержит квадраты).

Планы удовлетворяют условиям D, G, A, E – оптимальности

Для выполнения условия ортогональности переходим к диапазону [-1;1]:

ПФЭ представляет из себя такой план, в котором все переменные изменяются только на 2 уровнях

и в план включены все возможные сочетания уровней переменных.

Общее число экспериментов: N=2ⁿ, где n – число переменных.

Обработка результатов эксперимента:

- рандомизация

- анализ воспроизводимости (Кохрен)

- расчет коэффициентов

- оценка доверительных интервалов

- оценка значимости

- проверка адекватности

Если любая пара столбиков в плане ортогональна, то вся матрица ортогональна. Т.е. система нормальных уравнений распадается на совокупность уравнений и ковариации равны 0.

Для любого I дисперсия одинакова.

Поскольку ПФЭ – это частный случай плана регрессионного анализа, то нужно оценивать воспроизводимость по критерию Кохрена, проводить рандомизацию и усреднить у по нескольким дублям.

Оценка статической значимости коэф., оценка адекватности модели осуществляются как обычно.

уравнении в модели с нормированными переменными. Поэто для расчета к при конкретных значениях х, х надо подставлять в нормированном виде. В общем случае модно вместо х-ов подставлять их выражения через

реальные переменные и тогда получится уравнение относительно используемых величин.

Ценность модели в нормированных переменных заключается еще и в том, что коэф-ты отражают силу влияния фактора в диапазоне его варьирования. Таким свойством коэф-ты не обладают в уравнениях с исходными переменными в модели.

20.ПЛАНИРОВАНИЕ ВОРГО ПОРЯДКА. РОТОТАБЕЛЬНЫЕ ПЛАНЫ.

С помощью ПФЭ и ДФЭ нельзя построить полную квадратичную модель, т.к. через 2 точки провести кривую нельзя. Кривую второго порядка можно провести через 2 точки, поэтому для построения полных квадратичных моделей нужно использовать трехуровневые полные факторные эксперименты.

Число экспериментов: N=3ⁿ.

Чаще всего применяют композиционные планы, которые позволяют достроить ПФЭ или ДФЭ так, чтобы можно было получить квадратичную модель. Обычно это пятиуровневые планы, среди которых наибольшее распространение получили:

*ортогональные центральные композиционные планы ОЦКП

*Рототабельные центральные композиционные планы.

При применении ПФЭ или ДФЭ мы получаем модель вида: y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…

В неё Х подставляют в нормированном виде. При необходимости можно вернуться обратно в реальные переменные, используя формулу нормирования.

РЦКП

Существует 3 видов: простой, ортогональный, униформный.

Рототабельные планы отличаются от ортогональных общим числом экспериментов вследствие изменения числа экспериментов в нулевой точке.

Второе отличие – величина звёздного плеча. Это особенно важно в тех случаях, когда значения переменных в ядре плана близки к физической реализуемости процесса, т.к. звездное плечо может вывести процесс из рабочего диапазона переменных.

18.ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Основная задача ДФЭ – снижение числа экспериментов, только недостатком является то, что не все коэффициенты модели могут быть найдены независимо один от другого.

Водится понятие реплики – полный план эксперимента.

Число экспериментов рассчитывается как: N=2ⁿ^-^p. p – реплика.

1) Строится ПФЭ для числа переменных, соответствующих числу экспериментов.

Для формирования дополнительных столбиков вводятся генерирующие соотношения, которые представляют собой эффекты взаимодействия возможно более высокого порядка, которые на практике как правило отсутствуют.

X₄=X₁X₂X₃; X₅=X₁X₃

Перед реализацией экспериментов по плану надо провести анализ разрешающей способности плана, т.е. найти взаимосвязь искомых коэффициентов. Для этого вводится понятие определяющего контраста ОК и обобщающего определяющего контраста ООК, если нужно.

ОК получается из генерирующего соотношения путём умножения правой части на переменную, стоящую в левой. ООК объединяет полученные равенства.

1= X₁X₂X₃X₄; 1= X₁X₃X₅

X₁X₃X₅= X₁X₂X₃X₄

На основании ООК записывается система взаимосвязи коэффициентов:

X₁=X₃X₅= X₂X₃X₄

b₁=b₁+b₃₅+b₂₃₄

Получим b₃:

X₃=X₁X₅= X₁X₂X₄

b₃=b₃+b₁₅+b₁₂₄

Получим b₅:

X₅=X₁X₃= X₁X₂X₃X₄X₅

b₅=b₅+b₁₃+b₁₂₃₄₅

Вывод: в зависимости от структуры плана оказываются взаимосвязанными разные коэффициенты. Если взяли бы для X₅ другое генерирующее соотношение, то получили бы

другую систему оценок, т.е. выбором генерирующего соотношения можно связать между собой желаемые переменные. Т.е. можно связать важную переменную с той, о которой заранее известно что она не оказывает существенного влияния.

Предварительные исследования объекта, которые желательно проводить перед применением ДФЭ должны определить те эффекты, которые несущественны в данной модели или в данном процессе, тогда можно получить модель с коэффициентами которые нас интересуют. Если хотят получить только линейную модель то дробность реплики может быть достаточно высокой и можно не проводить оценку взаимосвязи коэффициентов.

Дробность реплики и регулирующее соотношение следует выбирать так, чтобы получить интересующие нас коэффициенты.

19.ПЛАНИРОВАНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОРТОГОНАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ.

Число экспериментов: N=3ⁿ.

*ортогональные центральные композиционные планы ОЦКП

*Рототабельные центральные композиционные планы.

При применении ПФЭ или ДФЭ мы получаем модель вида: y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…

ЦОКП

Строится на базе ПФЭ или ДФЭ путем добавления центральной и звёздных точек.

Общее число элементов: N=2ⁿ^-^p+2n+1

N	X₁	X₂	X₃
	+1	+1	+1

..	..	..	...
	-1	-1	-1

	+α
	-α
		+ α
		- α

зависит от размерности (числа переменных):

n	α

	1.215

1.414

План 5 уровневый, сохраняет ортогональность во всех точках кроме b₀.

Порядок расчета совпадает с предыдущими планами

- рандомизация

- анализ воспроизводимости

- расчет коэффициентов

- оценка доверительных интервалов

- оценка значимости

- проверка адекватности

Такой план реализуют в тех случаях, когда линейная и неполная квадратичная модели оказываются неадекватными, а изменять диапазон варьирования переменных нежелательно.

21.ОТСЕИВАЮЩИЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

При построении модели любого процесса нужно учесть все существенные переменные и отбросить несущественные, усложняющие модель. Отсеивание переменных основано на содержательном анализе, исходя из содержательной сущности явлений. Считается,

Дата добавления: 2015-09-30; просмотров: 24 | Нарушение авторских прав

12 3 Следующая ⇒

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.077 сек.)

<== предыдущая лекция

следующая лекция ==>