В основе теории подобия лежат три теоремы.

В основе теории подобия лежат три теоремы.

1-я теорема подобия.

Подобные явления имеют одинаковые по величине критерия подобия. Таким образом, первая теорема подобия устанавливает связь между константами подобия и позволяет вывести уравнения для критериев подобия. Теорема указывает, что при выполнении опытов необходимо и достаточно измерять лишь те величины, которые входят в критерии подобия изучаемого явления.

Эта теорема была высказана еще И.Ньютоном в 1686г.

2-я – теорема подобия.

Любая зависимость между переменными, характеризующими явление, может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия.

Эта теорема утверждает, что операция интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих явление, не изменяет вида критериев подобия. Например, уравнение скорости частицы жидкости v=dt/dt и уравнение после интегрирования, если за период времени t скорость сохраняет свое значение, дают возможность получить один и тот же критерий гомохронности (Н₀)

3-я теорема подобия. Необходимым и достаточным условием физического подобия является подобие условий однозначности при равенстве критериев, составленных из условий однозначности. Условиями однозначности являются:

- геометрическое подобие систем;

- одинаковость дифференциальных уравнений, описывающих данное явление.

- существование и единственность решения уравнений при заданных граничных условиях;

- известность численных значений коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальное уравнение.

Совокупность всех перечисленных условий называется условиями однозначности явления.

Теория подобия дает общие методологические указания, как поступать в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающих явление, устанавливает пути для правильной постановки опыта и дает указания по обработке полученных результатов.

Критериев подобия очень много и их можно получить для любого явления. Например:

а) Критерии подобия движения жидкости (газа) – критерий Эйлера, Е_u.

Запишем для двух подобных явлений уравнение движения газа в форме Эйлера:

; (4.28)

(4.29)

Выразим параметры первого явления через параметры второго. В этомслучае

; ; ; .

С учетом того, что коэффициенты подобия , , , и являются постоянными величинами, можно записать, подставив параметры (4.28) в выражение (4.29)

. (4.30)

Из условия (4.29) следует, что для выполнения (4.30) необходимо, чтобы

, (4.31)

откуда

(4.32)

или (4.33)

Очевидно, что на основе выражения (4.32) можно сделать вывод о том, что в двух подобных явлениях комплекс параметров , один и тот же, что соответствует выражению (4.33).(«idem» - означает одно и то же).

Подобные безразмерные комплексы называют критериями подобия. Их называют, как правило, именами выдающихся ученых. Так, критерий - критерий Эйлера. Он характеризует соотношение между силами инерции и давлением газа.

Гидродинамические условия движения потока, соотношение сил инерции и сил трения характеризуются критерием Рейнольдса вида

,

где - коэффициент динамической вязкости, ;

- скорость потока;

- коэффициент кинематической вязкости, .

б) Критерии теплового подобия

Тепловое подобие – это подобие температурных полей и тепловых потоков.

В технике широкое распространение получил метод теплового подобия. Благодаря применению этого метода расчет теплообмена в некоторых конкретных условиях значительно упрощается в связи с возможностью использовать для расчета экспериментальных зависимостей, полученных в других условиях. Для этого необходимо соблюдать равенство соответствующих критериев в данных условиях и в условиях эксперимента.

Конвективный теплообмен характеризуется пятью критериями подобия:

1. Критерий Нуссельта Nu

(4.33)

где - характерный линейный размер;

- коэффициент теплоотдачи;

- теплопроводность теплоносителя.

Критерий Нуссельта представляет собой безразмерный критерий теплоотдачи, характеризующий условия теплообмена на границе между стенкой и газом, т.е. характеризует интенсивность теплообмена.

2. Критерий Рейнольдса Re

; (4.34)

характеризует соотношение, сил инерции и сил вязкости в потоке (или сил трения)

3. Критерий Пекле Pe

? (4.35)

где - скорость потока;

- коэффициент кинематической вязкости;

- характерный размер;

– физический параметр или коэффициент температуропроводности, который характеризует скорость изменения температуры.

,

где с_p - удельная изобарная теплоемкость теплоносителя;

Если в критерий Пекле вместо коэффициента подставить его значение и помножить числитель и знаменатель на избыточную температуру , т.е

, (4.36)

числитель критерия - характеризует теплоту, переносимуюконвекцией, а знаменатель - теплоту, переносимую теплопроводностью. Таким образом, чем больше величина критерия Pе, тем большая доля тепла, переносимая в теплоносителе за счет конвекции по сравнению с долей тепла, переносимой теплопроводностью.

4. Критерий Прандтля P_r

; или (4.37)

Критерий Прандтля характеризует физические свойства теплоносителя.

Для жидкостей критерий P_r сильно зависит от температуры (Pr=1...2500).

Для газов критерий Pr не зависит от температуры (P=0,67...1,0).

5. Критерий Фурье (F₀)

(4.38)

где - время;

- характерный параметр (например, толщина стенки );

Критерий Фурье характеризует подобие конвективного теплообмена при нестационарных процессах (в него входит время ).

С учетом выше изложенных теорем подобия, рассмотрим исследуемое явление, которое характеризуется n – критериями подобия, полученными из уравнения, описывающее явление и условия однозначности: К_1, К_2, К₃...К_n.

Если в критерий К₁ входит интересующий нас параметр, то согласно 2 - ой теоремы подобия можно записать

/ (4.39)

Такое уравнение называют критериальным.

В явном виде критериальное уравнение записывается в виде произведения критериев в некоторой степени.

(4.40)

где А – коэффициент пропорциональности;

a, b... m – показатели степени, определяемые опытным путем.

Так для расчета конвективного теплообмена используется зависимость вида

.

Наиболее распространенной формулой, справедливой для конвективного теплообмена при течении жидкости (газа) с невысокой скоростью по каналу любого поперечного сечения, является формула академика М.А. Михеева, полученная на основе отработки большого числа опытов, которая имеет следующий вид:

. (4.41)

Так температура поперек пограничного слоя изменяется от температуры в ядре потока t_я до температуры его у стенки t_f, а физические параметры входящие в критерии подобия, являются функцией температуры, то для правильного использования формулы (4.41) всегда необходимо указывать, при какой температуре должны определяться критерии подобия. В данной формуле каждый критерий подобия снабжен индексом f.

Коэффициент называется коэффициентом неизотермичности и определяется следующим выражением

, (4.42)

где - число Прандтля для жидкости (газа), вычисленное при температуре ядра потока;

Рr_ст - то же число, но вычисленное при температуре стенки.

Наличие этого коэффициента в формуле (4.41) объясняется следующим обстоятельством. Как показывает опыт, при одинаковых условиях теплообмена между стенкой и газом и при одной и той же разности температур t_f - t_ст (или t_ст - t_f) величина теплового потока будет различна в зависимости от его направления: от жидкости в стенку и наоборот.

Без коэффициента формула (4.41) дала бы для коэффициента теплоотдачи один и тот же результат, что не согласуется с опытом.

Для капельных жидкостей формула (4.41) справедлива только при отсутствии кипения жидкостей.

В развернутой формуле выражение (4.41) примет вид:

. (4.43)

Определяющим геометрическим параметром, характеризующим геометрическое подобие явлений, в данной формуле служит эквивалентный диаметр d_э Он определяется по формуле

, (4.44)

где F – площадь поперечного сечения канала;

П – смоченный периметр.

Для трубы диаметр d_э равен диаметру трубы; для кольцевой щели - (рис. 4.11).

Выражения (4.41) и (4.43) используются для расчета каналов всевозможных форм при критерии Рейнольдса от 10⁴ до 5·10⁶ и P_r =0,6... 2500 как для случая нагрева, так и для случая охлаждения жидкости (газа). Для газов =1 и формула (4.41) примет следующий простой вид

(4.45)

Однако эта формула непригодна для расчета при околозвуковых и сверхзвуковых скоростях потока газа.

Расчетное выражение (4.41) или (4.43) справедливо для длинных труб, у которых отношение длины к диаметру . Для коротких труб значение коэффициента , полученное по формуле (4.41), необходимо умножить на поправочный коэффициент , который берется из таблицы 4.11.

Таблица 4.10 – Значения коэффициента

/d Re
1·10^4	1,65	1,50	1,34	1,23	1,17	1,13	1,07	1,03	1,00
2·10^4	1,51	1,40	1,27	1,18	1,13	1,10	1,05	1,02	1,00
5·10^4	1,34	1,27	1,18	1,13	1,10	1,08	1,04	1,02	1,00
1·10^5	1,28	1,22	1,15	1,10	1,08	1,06	1,03	1,02	1,00
1·10^6	1,14	1,11	1,08	1,05	1,04	1,03	1,02	1,01	1,00

Для расчета коэффициента от газов к стенке в случае больших дозвуковых скоростей газов также применяется формула Илюхина Н.А. и Гухмана А.А.

(4.46)

где - температура торможения в газовом потоке;

«» - характеристики газа у поверхности стенки за исключением плотности газов при термодинамической температуре газа.

Дата добавления: 2015-09-30